Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Лекция «Решение систем линейных уравнений» по Моделированию систем (Нечаев А. В.)

Решение систем линейных уравнений

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

2. итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:

(13) Рисунок 8.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

Ах = b, (14)

где: . (15)

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A не равен 0 то система (13), или эквивалентное ей матричное уравнение (14), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A не равно 0 существует обратная матрица А-1. Умножая обе части уравнения (14) на матрицу А-1 получим:

(16)

Формула (16) дает решение уравнения (14) и оно единственно.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.

lsolve(А, b) Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.

Аргументы:

А - квадратная, не сингулярная матрица.

b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

МЕТОД ГАУССА

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему (13) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

решение которой находят по рекуррентным формулам:

. (17) В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

. Последний, (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы (13).

В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).

На Рисунке 9 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:

rref(A) Возвращается ступенчатая форма матрицы А.

augment(A, В)

Возвращается массив, сформированный расположением A и В бок о бок. Массивы A и В должны иметь одинаковое число строк.

submatrix(A, ir, jr, ic, jc)

Возвращается субматрица, состоящая из всех элементов с ir по jr и столбцах с ic по jc. Удостоверьтесь, что ir jr и ic jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен.

Рисунок 9.

МЕТОД ИТЕРАЦИИ Пусть дана линейная система (13). Введя в рассмотрение матрицы (15), систему (13) коротко можно записать в виде матричного уравнения (14). Предполагая, что диагональные коэффициенты aij не равны 0 (i = 1, 2, …, n), разрешим первое уравнение системы (13) относительно х1, второе - относительно х2 и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

(18) где при i не равно j

и αij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …, n).

Введя матрицы

и , систему (18) можно записать в матричной форме

x =  +  x, а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

x (k+1) =  +  x (k). (19)

Напишем формулы приближений в развернутом виде:

(19' )

Приведем достаточное условие сходимости метода итераций.

Теорема: Процесс итерации для приведенной линейной системы (18) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы  меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть

(20)

Следствие 1. Процесс итерации для системы (18) сходится, если:

1)

Показать полностью…
Похожие документы в приложении