Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
2 монеты
doc

Шпаргалка «Экзаменационная» по Физике (Уруцкоев Л. И.)

3.Основные определения векторного анализа: градиент, поток вектора, циркуляция, дивергенция, ротор.

Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей. Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность S, будет равна потоку векторного поля через поверхность S.

Дивергенция — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (т.е. операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), насколько расходятся входящий и исходящий поток. С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

— точка поля является источником;

— точка поля является стоком;

— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Дивергенция вектора плотности тока дает минус скорость накопления заряда в обычной трёхмерной физике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нем или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах).

Ротор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль. 6. Работа электрических сил. Потенциал электростатического поля.

Рассмотрим электрическое поле, созданное неподвижным зарядом q, в котором перемещается заряд из точки 1 в точку 2. Если на траектории движения заряда выделить очень малый отрезок dl, то элементарная работа dA=FdlcosT=q0EdlcosT=(qq0/4пr2e0)dr, где

Т – угол между радиус-вектором r и перемещением dl, dr – проекция перемещения dl на направление радиус-вектора, Е – напряженность поля точечного заряда q на расстоянии r от него.

Работа, совершаемая силами электрич. поля по перемещ-ю заряда, не зависит от пути перехода, а является функцией нач. и конечн. расстояний между зарядом q, создающим поле, и зарядом q0, в нем перемещающимся. То есть электростатические силы консервативны.

Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным.

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии, т.е. А1,2=U1-U2:

А12=(qq0/4пe0)(1/r1-1/r2)= U1-U2

Функция U рассматривается как потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов q0 и q, находящихся на расстоянии r друг от друга.

Отношение потенциальной энергии поля к величине пробного заряда, помещенного в данную точку поля U/q0=φ, зависящее от положения пробного заряда, но не зависящее от его численной величины, характеризует свойства электрич. поля в данной точке и называется потенциалом этой точки φ. Тогда работа по перемещению заряда q0 в электростатич. поле определяется произведением величины переносимого заряда на разность начальной и конечной точек пути А12=q0(φ1-φ2).

Потенциал бесконечно удаленной точки φ∞ равен нулю, т.к. φ∞=U∞/q0=0.

Поэтому можно определить потенциал электрического поля как физ. величину, равную работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда (q0=+1) по любому пути из данной точки в бесконечность φ1=А∞/q0.

Потенциал φ – скалярная величина, явл. энергетич. характеристикой электростатич. поля.

Если поле образовано несколькими неподвижными зарядами, потенциал его φ в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности. 9. Поле внутри проводника и у его поверхности. Свойства замкнутой проводящей оболочки. Электростатическая защита.

К проводникам относятся вещества, содержащие большое количество свободных зарядов.

Идеальные проводники – металлы, т.к. они содержат неограниченное кол-во свободных электронов. Свободные заряды перемещаются под действием внешнего эл. поля и через какое-то время создают обратное поле, компенсирующее внешнее. Поэтому напряженность эл. поля внутри проводника равна нулю и весь объем проводника явл. эквипотенциальной областью. Рассмотрим замкнутую поверхность S, проходящую внутри проводника. Т.к. во всех токах поле равно 0, то поток вектора сквозь эту поверхность нулевой. Т.е. (по теореме Гаусса) заряд, охваченный замкнутой поверхностью, тоже равен 0. Т.е. нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника в оч. тонком слое. Поэтому если удалить вещ-во из внутренней области проводника, то распределение его зарядов не изменится: в полом проводнике, как и в сплошном, заряды располагаются только на внеш. поверхности, а на внутренней поле нулевое.

Поэтому полые проводники применяют для электростатической защиты различных установок от эл. полей.

Электростатическая защита - помещение приборов, чувствительных к электрическому полю, внутрь замкнутой проводящей оболочки для экранирования от внешнего электрического поля, т.к. замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно не зависящие друг от друга. 12.Электрический ток в жидкостях. Законы электролиза Фарадея.

Электролиты – водные растворы неорганич. соединений, проводящих ток за счет высоких концентраций ионов. Эти ионы возникают в процессе электролитической диссоциации в ходе растворения или расплавления электролита.

Прохождение тока в электролите описывается законом Ома: ј=σЕ.

Электрич. ток в электролите возникает при сколь угодно малом приложенном напряжении. Носителями заряда являются положительно и отрицат. зараженные ионы. Проводимость электролита растет при повышении температуры, т.к. уменьшается вязкость и увеличивается степень диссоциации. Ионная проводимость связана с переносом вещества и выделением на электродах веществ, входящих в состав электролитов – электролизом. Явление электролиза описывается законами Фарадея:

1-й закон Фарадея: количество выделившегося на электродах вещества пропорционален электрическому заряду, прошедшему через электролит, т.е m=kq (k-электрохим. эквивалент)

2-й закон Фарадея: электрохим. эквивалент вещ-ва прямо пропорционален его хим. эквиваленту:

k=(1/F)*(M/n).

M/n – отношение молярной массы к валентности, F=9,65*10-4Кл/моль -число Фарадея, показывающее, какое кол-во тока должно пройти через раствор, чтобы на электроде выделился 1 моль вещ-ва.

21. Энергия уединенного проводника. Энергия конденсатора.

Уединенный проводник - проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал прямо пропорционален его заряду. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину называют емкостью уединенного проводника. Она определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу, и зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника,т.к. избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

Единица электроемкости—фарад(Ф): 1Ф—емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Работа против кулоновских сил при заряде проводника идет на увеличении электрической энергии проводника, которая аналогична механической потенциальной энергии.

Работа dA по перенесению заряда dq из бесконечности на уединенный проводник определяет величину электрической энергии этого проводника

→ Для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. Но на практике необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, т.е. обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов. Обычно конденсатор состоит из двух электродов в форме пластин (обкладок), разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок.

Энергия заряженного конденсатора .

15. Электростатическое поле в диэлектрике. Полярные и неполярные диэлектрики.

Диэлектрик— вещество, плохо проводящее или совсем не проводящее электрический ток. Так как положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицательным зарядом –Q, находящимся в центре «тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрич. моментом.

1 гр. диэлектриков (N2,О2,СО2,СН4...) -вещ-ва, молекулы которых имеют симметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы равен нулю. Такие диэлектрики называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

2 гр. диэлектриков (H2O,NН3,SO2...) -вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Такие диэлектрики называются полярными. При отсутствии внешнего поля дипольные моменты полярных молекул ориентированы в пространстве хаотично, их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

3 гр. диэлектриков (NaCl,КВr...) –вещ-ва, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы предст. собой простра-нственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы. При наложении на ионный кристалл электрич. поля происходит некоторая деформация кристаллической решетки, приводящая к возникн-ю дипольных моментов.

При помещении диэлектрика во внеш.электрич. поле он поляризуется - приобретает отличный от нуля диполь.момент где рi — дипольный момент одной молекулы.

Если внести диэлектрик в поле,его поляризация вызовет уменьш-е в нем поля по сравнению с первонач.внешн.полем, т.к. появление связанных зарядов приводит к возникновению допол-нительного электрического поля Е' (создаваемого связанными зарядами), которое направлено против внешнего поля Е0 (создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика или .

24. Дифференциальная форма уравнения непрерывности. Условие стационарности.

Уравнения непрерывности выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины, это локальная форма закона сохранения. В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла - основных уравнений классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус:

В условиях стационарности р=const, и тогда из уравнения непрерывности получается условие стационарности тока: divj = 0.

Оно означает, что поле вектора j не имеет точечных источников, а его линии замкнуты сами на себя. 18. Связь между векторами D и Е.

Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородн. изотропн.й среде напряженность поля Е обратно пропорциональна . Вектор напряженности Е, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчетах электростатических полей. Поэтому необходимо характеризовать поле еще вектором электрического смещения (Кл/м2), который для электрически изотропной среды, по определению, равен

Вектор электрического смещения можно выразить как

Связанные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных электрич. зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатич. поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряжен-ности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вызвать перераспределение свободных зарядов, создающих поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами, но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично, как и поле Е, поле D изображается с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности, но линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, а линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту поверхность

где Dn — проекция вектора D на нормаль n к площадке dS.

42. Опыт Эйнштейна-да Газа. Опыт Барнета. Магнетомеханическое отношение. Спин электрона.

Магнитный момент создаваемого е тока вращения можно равен Pm = IS (S - площадь орбиты) Pm = eVr/2; Момент обусловлен

движением эл-на по орбите, вледствие чего назыв.орбитальным моментом е. Направление вектора Pm образует с направлением движения е левовинтовую систему. Движущийся по орбите электрон обладает моментом

импульса M=mVr. Вектор М назыв. орбитальным механическим моментом е. Он образует с направлением движения е правовинтовую систему. Следовательно

направления векторов Pm и M противоположны. Отношение магнитного момента элементарной частицы к её механич. моменту назыв. магнитомеханическим отношением. Для е оно равно Pm/M=- e/2m. Вследствие вращения вокруг ядра е оказывается подобным волчку. Это обстоятельство лежит в основе т.н. магнитомеханических явлений, заключающихся в том, что намагничивание магнетика приводит к его вращению и, наоборот, вращение магнетика вызывает его намагничивание.

Существование первого явления было доказано экспериментально Эйнштейном и де Гаазом, второго-Барнетом. Опыт Эйнштейна и де Газа осуществлялся следующим образом: тонкий железный стержень подвешивали на упругой нити и помещали внутрь соленоида. Закручивание нити при намагничивании стержня постоянным магн.полем получалось весьма малым. Для усиления эффекта был применен метод резонанса – соленоид питался переменным током, частота к-рого подбиралась равной собственной частоте механич. колебаний системы.

Барнет приводил железный стержень в очень быстрое вращение вокруг его оси и измерял возникающее при этом намагничивание. Из результатов этого опыта Барнет получил для магнитомеханич. отношения величину, в 2 раза превышающую значение -e/2m (т.к. кроме орбитальных моментов,е обладает собственными механич. Ms и магнитным Pms моментами, для к-рых магнитомеханическое отношение равно -e/2m, т.е. соотв. опыту).

36. Магнитное поле прямого тока, бесконечного соленоида, тороида.

За модуль вектора магнитной индукции в том месте где расположена рамка с током принимают отношение максимального момента сил, действующих на рамку к произведению площади рамки на силу тока в ней:

Выражается магнитная индукция в теслах:

Модуль вектора магнитной индукции для поля прямого тока определяют по формуле: , где r — расстояние от данной точки поля до проводника с током.

Соленоид— катушка провода, намотанного на цилиндрическую поверхность.

Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида (см. рис. 162, б) показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида — неоднородным и очень слабым.

На рис. 175 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для соленоида длиной l, имеющего N витков, по которому течет ток, магнитная индукция поля равна: , магн.постоянная 0= 1.256×10-6 м*кг*с-2*А-2.

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида—кольцевой катушки, N витков которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует. Линии магнитной индукции в данном случае есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. Магнитная индукция внутри тороида (в вакууме):

27.Дифференциальная форма закона Ома.

Немецкий физик Ом экспериментально установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т.е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению U на концах проводника: где R — электрическое сопротивление проводника.

Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Из двух вышеуказанных уравнений получим

где величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной электрической проводимостью вещества проводника. Ее единица — сименс на метр (См/м). Учитывая, что U/l=Е — напряженность электрического поля в проводнике, I/S=j — плотность тока, полученное уравнение можно записать в виде . Это закон Ома в дифференциальном форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для переменных полей.

45. Природа электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле.

Явление электромагнитной индукции обнаружено в 1831 г. Фарадеем. Оно выражает взаимосвязь электрических и магнитных явлений.

Явление возникновения ЭДС в контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур, называется электромагнитной индукцией.

Индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению магнитного потока, которым он вызван.

Из закона Фарадея =–dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению ЭДС индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Т.е., возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического происхождения. Поэтому встает вопрос о природе сторонних сил в данном случае.

Природа ЭДС индукции заключается в возникновении вихревого электрического поля в любой области пространства, где существует переменное магнитное поле.

При изменении поля сильного электромагнита появляются мощные вихри электрического поля, которые можно использовать для ускорения электронов до скоростей, близких к скорости света. На этом принципе основано устройство ускорителя электронов — бетатрона. Электрический ток в бетатроне не возникает непосредственно в вакуумной камере без каких-либо металлических проводников.

39. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен, то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Т.е. магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I, помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Под действием силы Ампера проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна т.к. ldx=dS —площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Т.о. т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле: где dФ2—dФ1=dФ' — изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом, т.е. эта работа равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

33. Дивергенция, циркуляция, ротор и поток магнитной индукции.

Магнитная индукция (Тл)— векторная величина, показывающая, с какой силой магнитное поле действует на заряд , движущийся со скоростью . — такой вектор, что сила Лоренца , действующая на заряд , движущийся со скоростью , равна .

Она является основной характеристикой магнитного поля, аналогичной вектору напряжённости электрического поля.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS

называется скалярная физическая величина, равная где Bn=В cos  —проекция вектора В на направление нормали к площадке dS ( — угол между векторами n и В), dS=dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos  (определяется выбором положительного направления нормали n). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток.

Ротор — это предел отношения циркуляции вектора по некоторому контуру L к площади, ограниченной этим контуром.

Ротор магнитной индукции равен произведению некоторой постоянной на вектор плотности тока в данной точке.

Циркуляция вектора магнитной индукции B поля постоянных

токов по произвольному замкнутому контуру равна произведению 4π/c на алгебраическую сумму токов,

пронизывающих контур циркуляции.

Дивергенция вектора магнитной индукции равна нулю, ибо магнитных зарядов в природе не существует и магнитные линии, как известно, замкнуты.

30. Магнитное поле. Сила Лоренца. Сила Ампера.

Опыт показывает, что, подобно тому, как в пространстве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты.

Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока.

На рамку с током магнитное поле оказывает ориентирующее действие. Вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле, равна где dl—вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, В — вектор магнитной индукции. Направление вектора dF может быть найдено, согласно правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле где  — угол между векторами dl и В.

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой где В—индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q>0 направления I и v совпадают, для Q

Показать полностью…
Похожие документы в приложении