Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
2 монеты
doc

Лекции по Теории автоматического управления (Иванова А. Е.)

Предисловие

Автоматизация машин, агрегатов, производственных процессов, систем управления имеет огромное значение для развития экономического и военного потенциала страны. Теория автоматического управления изучается во всех технических вузах, ей придается статус общеинженерной дисциплины при подготовке студентов технических специальностей.

Предлагаемое учебное пособие написано на основе лекций, читаемых авторами для студентов специальностей энергетического профиля 180101, 180102, 180400, 180408, 180700, 181300, 200400, 200404, 210211.

В книге приведены основные сведения по теории линейных систем автоматического управления, даны примеры, позволяющие усвоить основные теоретические положения.

Для освоения дисциплины требуется надлежащая математическая подготовка. В частности по линейным дифференциальным уравнениям, линейной алгебре, функциям комплексного переменного. Не менее важно овладение специальной терминологией.

Основные разделы книги следующие: общие сведения, математическое описание, описание типовых звеньев, передаточные функции систем, устойчивость, качество регулирования и синтез систем.

Авторы признательны проф. Андрееву Н.К. за полезные советы, высказанные при рецензировании книги, и благодарят сотрудника кафедры АТПП Филиппову М.Н. за помощь при подготовке рукописи.

Управление – это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели.

Регулирование – частный случай управления техническими системами. Регулирование направлено на достижение объектом заданного состояния.

Объектом управления (регулирования) являются устройства, реализующие физические, химические, биологические и иные процессы, связанные с движением массы, энергии и информации.

Управление объектом осуществляется посредством управляющего устройства. Применительно к техническим системам используются термины регулирующее устройство или регулятор.

Система – набор взаимодействующих элементов, обеспечивающих общий режим функционирования. Под элементом подразумевается любое техническое устройство, выполняющее назначенную функцию.

Управляющее устройство и объект управления образуют систему управления. Она называется разомкнутой, если сигнал передается в одном направлении, от управляющего устройства к объекту управления, рис. 1.1. Система называется замкнутой, если сигнал передается не только от управляющего устройства к объекту управления, но и обратно, от объекта управления к управляющему устройству, рис. 1.2. В замкнутой системе различают соответственно канал прямой связи и канал обратной связи. Если устранить обратную связь, замкнутая система становится разомкнутой.

Система управления (регулирования) характеризуется состоянием: значением всех параметров и показателей в данный момент времени.

Параметром называют количественную характеристику, показателем – качественную.

Система автоматического управления (САУ) или система автоматического регулирования (САР) – это совместное действие управляющего устройства (регулятора) и объекта управления (регулирования).

Изменение параметров объекта управления происходит под влиянием воздействий. Термином «воздействие» объединяют причины, изменяющие параметры объекта: электрические и др. сигналы, давление, смещение и т.п. Воздействия классифицируют на:

-задающие - команды управляющему устройству (регулятору);

-управляющие (регулирующие) - изменяют параметры, определяющие состояние объекта;

-возмущающие - случайные воздействия окружающей среды на объект управления.

Каждому воздействию присваивается обозначение: задающее – u (t), управляющее – x (t), управляемое – y (t), возмущение – z (t). Все они функции времени.

Наряду с термином «воздействие» употребляют термин «сигнал».

Направление, в котором действуют (распространяются) воздействие (сигнал), на схемах обозначают стрелками.

Рис. 1.1. Управление по разомкнутой схеме.

z (t)

u (t) x (t) y (t)

y (t)

Рис. 1.2. Управление по замкнутой схеме.

Рис. 1.3. Развернутая функциональная схема замкнутой САУ.

Штриховыми линиями очерчено управляющее устройство.

1.2. Принципиальная схема

автоматического управления.

Рассмотрим схему, представленную на рис. 1.3. На ней обозначены шесть элементов, выполняющие функции, необходимые для осуществления процесса автоматического управления.

Задающее устройство (ЗУ) – вырабатывает команды управляющему устройству (регулятору).

Сумматор (С) – устройство, алгебраически суммирующее сигналы, поступающие от задающего устройства и по каналу обратной связи. Затушеванный сектор означает, что сигнал обратной связи имеет знак, противоположный знаку сигнала от задающего устройства.

Усилитель (У) – устройство, усиливающее сигнал, поступающий от сумматора.

Исполнительный механизм (ИМ) – вырабатывает воздействие, способное изменить управляемый параметр объекта управления.

Объект управления (ОУ) – устройство, процесс в котором изменяют для достижения поставленной цели.

Измерительное устройство (ИУ) – регистрирует сигнал, свидетельствующий об изменении параметра объекта управления, преобразует его и посылает в сумматор.

Взаимодействие элементов обеспечивается движением сигналов. Направление указывается стрелками.

Проанализируем работу схемы.

На вход объекта управления ОУ подается управляющее воздействие x (t). На выходе снимается сигнал y (t), свидетельствующий о состоянии объекта. Под влиянием возмущения z (t) величина y (t) отклоняется от назначенной. Сигнал регистрируется измерительным устройством ИУ и поступает на сумматор С. Линия, по которой объект управления посылает информацию о состоянии объекта в управляющее устройство УУ, образует обратную связь ОС. Назначение сумматора – сравнить сигнал от объекта управления с задающим сигналом u (t). Последний поступает от задающего устройства ЗУ. Сумматор вычитает один сигнал из другого и формирует сигнал рассогласования (ошибки): (t) = u(t) – y (t). Сигнал рассогласования может быть отрицательным или положительным, смотря по тому, больше регулируемая величина y (t) чем задаваемая u (t) или меньше. При любом неравенстве на усилитель У и далее на исполнительный механизм ИМ поступает сигнал, по знаку противоположный регулируемой величине. Получается, что управляющее устройство вырабатывает сигнал, обратный по знаку воздействия внешнего возмущения z (t). Тем самым действие возмущения нейтрализуется, процесс возвращается к норме, регулируемый параметр y (t) становится тем, который отвечает назначению.

1.3. Принципы управления.

По отклонению. Воздействие на объект вырабатывается как функция отклонения управляемой величины от предписанного значения. Регистрируется отклонение управляемой величины y (t) от заданного значения u (t), рис. 1.2. Управляющее устройство сравнивает значения y (t) и u (t), вырабатывает регулирующее воздействие x (t) и устраняет рассогласование. То есть, как было описано при анализе работы функциональной схемы на рис. 1.3. Регулирующее воздействие осуществляется независимо от числа, природы и места появления возмущений. На практике системы с таким управлением получили преимущественное распространение.

Отметим: системы регулирования по отклонению являются замкнутыми.

По возмущению. Воздействие на объект вырабатывается как компенсирующее отрицательное воздействие возмущений. Из действующих на систему возмущений выбирают основное (оно должно быть измеряемым). Управляющее устройство сравнивает возмущающий сигнал z (t) с задаваемым u (t) и формирует регулирующее воздействие x (t) на объект. Чем достигается компенсация помехи, рис. 1.4.

Рис. 1.4. Регулирование по возмущению.

Практически регулирование по возмущению не всегда удается организовать, т.к. возмущений обычно несколько и не все можно измерить. Кроме того, система разомкнутая. В управляющее устройство не поступает сигнал о текущем значении регулируемой величины. С течением времени отклонение y (t) от заданного значения может превысить допустимые пределы.

Комбинированное. Регулирование по отклонению и по возмущению осуществляется одновременно, рис. 1.5. В схему вводятся два управляющих устройства: по каналу обратной связи и по каналу возмущения.

Рис. 1.5. Комбинированное регулирование

Управляющее устройство УУ2 компенсирует отрицательное влияние основного возмущения, а УУ1 – всех других. Комбинированное регулирование позволяет получать высококачественные САР.

Как упоминалось выше, системы с компенсацией разомкнутые. Разомкнутыми могут быть так же системы с программным управлением, в которых требуется изменять управляемую величину заранее предписанным образом. Закон изменения управляемой величины задается программой управляющего устройства или оператором.

Все остальные виды САР выполняются замкнутыми или комбинированными.

Замкнутыми выполняются системы автоматической стабилизации, системы с программным управлением и следящие системы.

В следящих системах значение регулируемой величины заранее неизвестно: это значение является функцией некоторой внешней величины, способной изменяться непредсказуемым способом. Зарегистрировав изменение внешней величины, задающее устройство вырабатывает сигнал на соответствующее изменение регулируемой величины. Работа системы предусматривает постоянное отслеживание поведения внешней величины.

На принципе комбинированного управления создаются системы автоматической стабилизации, следящие, самонастраивающиеся (системы экстремального регулирования). В последних оптимальный режим работы характеризуется экстремальным значением показателя эффективности процесса. Осуществляется автоматический поиск обеспечивающих экстремальность управляющих воздействий.

1.4. Задачи теории

автоматического управления.

Основные задачи теории автоматического управления следующие:

- разработка методов анализа САУ;

- разработка методов синтеза САУ;

- разработка принципов построения и методов коррекции динамических свойств САУ.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. – М.: Наука, 1974. – 992 с.

2. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления. – СПб.: Политехника, 1998.

3. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования. – М.: Высшая школа, 2004. – 365 с.

4. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. – М.: Высшая школа, 1989.

2.1. Дифференциальное и операторное

уравнения, передаточная функция и характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Чтобы произвести расчет САУ, надо иметь математическую модель системы. Обычно математической моделью является дифференциальное уравнение, которое получают, анализируя физический, механический или иной процесс.

Рассмотрим математическую модель разомкнутой системы, которая выражается дифференциальным уравнением общего вида:

(2.1)

где y – управляемая величина, x – управляющая величина; обе – функции времени; коэффициенты ai, bi – постоянные. Правая часть описывает воздействие, левая часть – изменение управляемой величины.

Решение уравнения (2.1) дает полное представление об изменении управляемой величины.

Однако в теории автоматического управления предпочитают иметь дело не с дифференциальным уравнением, а с операторным уравнением, точнее – с его особой формой, которая получила название «передаточная функция».

Операторное уравнение получают, применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению.

Суть преобразования Лапласа в том, что функцию от времени преобразуют в функцию от комплексного временного ( - действительная часть,  - мнимая часть, j = ). Функцию от времени называют «оригинал», а ее преобразование по Лапласу – «изображение». Для изображения используют прописные буквы.

Символически преобразование Лапласа принято обозначать прописной буквой L. Например,

, , .

(Читается: «изображение функции x(t) есть X(p)» и т. д.)

При преобразовании Лапласа коэффициентымножители не меняются, а изображение производной представляется произведением комплексного переменного p на изображение функции. Например,

, . Более высокие производные представляются произведением p в соответствующей степени на изображение функции:

, и т. п.

Формально оператор дифференцирования заменяется комплексной переменной p в соответствующей степени:

на p , на p2 , на pn .

Преобразование Лапласа, будучи применено к дифференциальному уравнению, преобразует его в алгебраическое. Например,

. Обратный переход из комплексного пространства во временное достигается обратными преобразованием Лапласа, символ L-1 . Например,

, и т. д.

. Дополнительно о преобразовании Лапласа рекомендуется прочитать в Приложении 1. В Приложении 2 дана таблица, показывающая преобразование Лапласа некоторых функций.

Применив преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению общего вида (2.1) , получаем

Или (2.2)

Введем обозначения:

b0pm + b1pm-1 +…+ bm-1 p + bm = В(p) , (2.3)

a0pn + a1pn-1 +…+ an-1 p + an = D(p) . (2.4)

Комплексный полином В(р) описывает управляющее воздействие на систему. Комплексный полином D(p) описывает изменение управляемой величины. Введенные обозначения позволяют представить уравнение (2.2) краткой записью:

D(p) Y(p) = B(p) X(p).

Уравнение (2.2) и его краткую запись называют операторным уравнением.

Особую роль в математическом описании линейных систем автоматического управления играет отношение Y(p) / X(p). Его называют передаточной функцией и обозначают W(p).

. (2.5)

Уточним, что выражение (2.5) является передаточной функцией разомкнутой системы, поскольку получено из дифференциального уравнения (2.1) , записанного для разомкнутой системы.

Операторное уравнение можно записывать, используя передаточную функцию:

Y(p) = W(p) X(p). (2.6)

Как было сказано, комплексный полином D(p) описывает изменение управляемой величины. То есть, характеризует процесс, который происходит в системе под влиянием управляющего воздействия. Поэтому полином D(p) называют характеристическим. Приравнивая его к нулю, получают характеристическое уравнение системы:

a0pn + a1pn-1 + …+ an-1p + an = 0 . (2.7)

Характеристическое уравнение позволяет найти корни и получить решение дифференциального уравнения. Характеристический полином, характеристическое уравнение служат основой исследования системы на устойчивость.

Для преобразования Лапласа необходимо, чтобы начальные условия были нулевыми, а дифференциальные уравнения – линейными. Однако, линейность уравнений, описывающих реальные технические системы, скорее исключение, чем правило. В случае слабо нелинейной зависимости (типа слабо искривленной линии, участок которой можно заменить прямой с пренебрежимой погрешностью), осуществляют линеаризацию и ведут расчеты на отрезке прямой.

Пример 2.1.

Записать передаточную функцию и характеристическое уравнение для системы, поведение которой описывается дифференциальным уравнением

, Производим замену символов в дифференциальном уравнении:

на p, p2, p3 ;

y (t) на Y (p) ;

x (t) на X(p) .

Получаем операторное уравнение:

(2p3 + 6p2 +10p +25) Y(p) = (3p2 + 10p +100)X(p) .

Отношение Y(p) / X(p) есть передаточная функция W(p) . Значит, искомая передаточная функция есть

.

Комплексные полиномы имеют вид:

В(p) = 3p2 + 10p + 100 ,

D(p) = 2p3 + 6p2 + 10p +25 .

Характеристическое уравнение получается, если приравнять нулю комплексный полином знаменателя передаточной функции:

2p3 + 6p2 + 10p + 25 = 0 .

2.2. Частотные характеристики.

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p =  + j. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = j, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:

. (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полином В(j) в развернутом виде,

, представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо –1, либо +1.

Частотный полином D(j) в развернутом виде имеет ту же структуру:

D(j) = D1() + jD2() ,

Следовательно комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

. Первое слагаемое обозначим U(), второе V(). U() называют действительной частотной характеристикой, V() - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи

W(j) = U() + jV() . (2.9)

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.

V()

М

A V

0 U U()

Рис. 2.1.

Для заданной частоты U() и V() – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости. Соединив прямой А начало координат с точкой М , получим прямоугольный треугольник. Для него справедливы соотношения: , ,

, . (2.10)

Все величины – функции частоты .

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

W(j) = U( ) + jV() = A ( cos () + j sin () ).

По формуле Эйлера . Поэтому

. (2.11)

А() называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. () называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.

Пример 2.2.

Записать комплексную частотную характеристику, частотные характеристики, амплитуду и фазу для системы, описываемой дифференциальным уравнением

. Преобразуя по Лапласу, получаем операторное уравнение

(p2 + 3p + 1) Y(p) = 2 X(p)

и передаточную функцию:

. Подстановкой p = j превращаем передаточную функцию в комплексную частотную характеристику:

. Действительная частотная характеристика

.

Мнимая частотная характеристика

. Амплитуда

. Фаза .

Пример 2.3.

Найти комплексную частотную характеристику, амплитуду и фазу пропорционально-интегрального регулятора (ПИ-регу-лятора). Его уравнение

.

(T – постоянная времени, k – коэффициент усиления).

Продифференцируем исходное уравнение,

и преобразуем по Лапласу:

. Из операторного уравнения составим передаточную функцию:

. Полагая p = j, записываем комплексную частотную характеристику

,

находим частотные характеристики:

U() = k , V() = - ,

и амплитудную частотную характеристику:

.

Фаза в функции частоты имеет выражение

. Пример 2.4.

Найти логарифмическую амплитудную частотную характеристику ПИ-регулятора.

Воспользуемся выражением для амплитуды и запишем общий вид ЛАЧХ:

L() = 20 lg A() = 10 lg(k2T22 + 1) – 20 lg T .

Выделим асимптотические прямые.

В области  1 . В первом слагаемом следует пренебречь единицей. В таком случае

L2 = 20 lg k + 20 lg T - 20 lg T = 20 lg k.

Для построения графика надо найти точки пересечения прямой L1 c осями координат и с прямой L2 . (По ординате откладывают L1, L2, по абсциссе lg ).

Точка пересечения с осью ординат находится из условия lg  = 0. Получается: L1 = -20 lg T = 20 lg (1/T).

Точка пересечения с осью абсцисс находится из условия L1 = 0. Получается: lg = lg (1 / T) .

Точка пересечения прямой L1 с прямой L2 находится из условия L1 = L2 . Получается: lg  = lg (1 / kT) .

Вид графика показан на рис. 2.1.

Рис. 2.2. Асимптотическая логарифмическая

амплитудная частотная характеристика ПИ-регулятора

2.3. Математические модели входных воздействий.

В дифференциальном уравнении (2.1) правая часть есть сумма воздействующего на вход системы сигнала x(t) и его производных. В реальных условиях на вход системы воздействуют сигналы произвольного характера. То есть, математически они описываются произвольными зависимостями входной величины от времени. Однако, в теоретических исследованиях принимают, что воздействия оказываются в виде единичного скачка, единичного импульса, гармонического колебания, сигнала постоянной скорости. Эти воздействия называют типовыми.

Ступенчатая функция (единичный скачок). В момент t = 0 воздействие мгновенно достигает величины x = 1, далее со временем не меняется. График показан на рис. 2.3.

Единичную ступенчатую функцию записывают символом 1(t).

t  0 1(t) = 0,

t = 0 1(t) = 1,

t  0 1(t) = 1.

Если воздействие ступенчатое, но отличается от единичного в А раз, его обозначают А(1). А(1) = А1(t).

Импульсная функция (единичный импульс). Это такой импульс величина которого равна бесконечности, длительность - нулю, а площадь – единице. В математике известен как дельта функция. Обозначается .

t  0 (t) = 0,

t = 0 (t) = ,

t  0 (t) = 0.

Единичный импульс есть производная от единичной ступенчатой функции:

Импульсную функцию можно трактовать как предел прямоугольного импульса, у которого высота стремится к , а время его действия – к нулю.

Гармоническая функция. Это функция, изменяющаяся по закону синуса или косинуса.

Записывается либо как

либо как .

Величина воздействия колеблется между значениями A и -A.

Линейная функция.

. Воздействие возрастает пропорционально времени.

Квадратичная функция.

. Воздействие возрастает пропорционально квадрату времени.

2.4. Переходная функция.

С момента воздействия x(t) на вход системы, управляемая величина y(t) начинает изменяться. Процесс, происходящий в это время, называют переходным. Аналитическая зависимость y(t), описывающая переходной процесс, называется переходной функцией. Будет система управляться лучше или хуже – зависит от переходной функции.

Переходной процесс обуславливается внутренними свойствами системы и видом воздействия. Чтобы иметь возможность сравнивать переходные процессы разных систем, принято оказывать воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обозначают h(t).

Первую производную от переходной функции называют весовой функцией и обозначают w(t).

Переходные функции подразделяются на три вида в зависимости от того, как ведет себя производная w(t) = dh/dt.

1. Монотонные. Первая производная не меняет знак: dh/dt либо  0, либо  0. Пример на рис. 2.4.

2. Колебательные. dh/dt регулярно меняет плюс на минус и наоборот. Пример на рис. 2.5.

3. Апериодические. dh/dt меняет знак один раз. Пример на рис. 2.6.

h (t) 1

2

0 t

Рис. 2.4. Монотонно меняющиеся кривые

h (t)

0 t Рис. 2.5. Затухающие колебания

h (t)

1

2

0 t

Рис. 2.6. Апериодические кривые

Все функции могут быть получены как решение одного дифференциального уравнения при разном значении его коэффициентов или, что все равно, при разном значении коэффициентов характеристического уравнения. Решение характеристического уравнения общего вида (2.7) дает n корней (комплексных, действительных, мнимых). Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения есть сумма n экспонент,

, где ci – постоянные интегрирования, pi – корни характеристического уравнения. Действительные корни, p =   , обеспечивают неограниченный рост или уменьшение до нуля соответствующих экспонент. Комплексные корни, p =    j , обеспечивают возрастающие или затухающие колебания. Экспоненты с чисто мнимыми корнями, p =  j , обеспечивают гармонические колебания (колебания с постоянной амплитудой).

В зависимости от коэффициентов, наличие, количество тех или иных видов корней будет меняться, что и обеспечивает тот или иной вид кривых переходного процесса.

Аналитическое выражение кривой переходного процесса можно получить двумя путями. Первый – непосредственное решение дифференциального уравнения, описывающего систему. Надо положить величину входного воздействия x = 1 и выполнить нулевые начальные условия. Второй – на основе операторного уравнения. Надо ввести в него изображение единичного ступенчатого воздействия и выполнить обратное преобразование Лапласа.

В некоторых системах автоматического управления важную роль играют импульсные переходные функции. Их получают, подавая на вход системы единичный импульс. Импульсная переходная функция отличается от «ступенчатой», поскольку как было сказано выше, импульсная функция есть производная от ступенчатой:

.

Пример 2.5.

Процесс в объекте описывается дифференциальным уравнением Найти переходную функцию.

Вводим условие единичного ступенчатого воздействия, полагая x = 1. Ищем решение дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях. Решением будет переходная функция h(t), поэтому сразу можно y(t) заменить на h(t).

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма решений h1 + h2. Первое получают, решая однородное уравнение

. Решением будет Второе решение h2 есть частное решение неоднородного уравнения, которое можно выбрать как h2 = k. Общим решением будет:

C учетом того, что h = 0 при t = 0, окончательное выражение для переходной функции получается в виде:

.

Пример 2.6.

Найти переходную функцию для системы, описываемой дифференциальным уравнением

Запишем операторное уравнение

(5p + 1) Y(p) = (3p + 2) X(p)

в виде

Множитель при X(p) есть не что иное, как передаточная функция. X(p) – изображение произвольного воздействия. Воздействие в виде единичного ступенчатого скачка имеет изображение X(p) = 1/p. Если в операторном уравнении заменить X(p) на 1/p , то на Y(p) накладывается требование быть изображением переходной функции. Подчеркивая это, заменим Y(p) на H(p). Получаем операторное уравнение для переходной функции:

. Прежде чем воспользоваться таблицей изображений по Лапласу, представим правую часть уравнения в виде суммы:

.

В таблице находим оригиналы по их изображениям:

, , .

В нашем случае T = 5. Множители 3 и 2 сохраняют свое значение и место. Окончательно

,

или h(t) = 2 – 1,4e t / 5 .

Литература

1. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.

2. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1989. – 304 с.

3. МакаровИ.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). – М.: Машиностроение, 1977. – 464 с.

4. Гноенский Л.С., Каменский Г.С., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. – М.: Наука, 1969.

Системы автоматического регулирования удобно представлять в виде соединения элементов, каждый из которых описывается алгебраическим или дифференциальным уравнением не выше второго порядка. При этом, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать разные по своей физической природе элементы. Иными словами, у них одна математическая модель. Наиболее употребительные математические модели получили название типовых звеньев. Типовые звенья имеют одну входную и одну выходную величину.

Все конструктивное разнообразие САР можно представить небольшим числом типовых звеньев или их комбинаций.

Рассмотрим следующие типовые звенья.

Звенья, описываемые алгебраическими уравнениями:

- усилительное (пропорциональное),

- запаздывающее.

Звенья, описываемые дифференциальным уравнением первого порядка:

- инерционное,

- интегрирующее,

- дифференцирующее.

Звено, описываемое дифференциальным уравнением второго порядка. В зависимости от соотношения коэффициентов, оно может быть колебательным или апериодическим.

Характеристики типовых звеньев принято указывать для единичного ступенчатого входного воздействия.

Для полной характеристики типового звена следует указать его дифференциальное уравнение, операторное уравнение, передаточную функцию, комплексную, действительную, мнимую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную, логарифмическую фазовую частотные характеристики и переходную функцию.

3.1 Усилительное звено.

У этого звена выходная величина y(t) пропорциональна входной. Поэтому усилительное звено называют еще пропорциональным. Математическая модель

y(t) = k x(t) , (3.1)

где константа k - коэффициент усиления звена.

Операторное уравнение

Y(p) = k X(p) .

Передаточная функция представляет собой коэффициент усиления:

K(p) = = k . ( Здесь и далее передаточную функцию типового звена будем обозначать K(p) ).

Комплексная частотная характеристика имеет только действительную часть:

K(j) = k .

Формально, в соответствие с формулой (2.9), K(j) = U() + jV(). Действительная частотная характеристика U() = k, мнимая частотная характеристика V() = 0.

Амплитудная частотная характеристика:

Она не зависит от  - входной сигнал любой частоты изменяется в k раз.

Фазовая частотная характеристика:

φ (ω) = arctg 0 = 0.

Фазовый сдвиг отсутствует.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L (ω) = 20lg A (ω) = 20lg k .

От ω, следовательно и от lgω, не зависит. (Прямая, параллельная оси абсцисс).

Переходную функцию усилительного звена получают, положив x = 1(t) в уравнении y = kx. Переходная функция h(t) = k1(t) .

Регулирование объекта осуществляется с помощью устройств, динамические характеристики которых могут быть близкими или идентичными характеристиками типовых звеньев. В частности, используются регуляторы с характеристиками усилительного звена. Их называют П-регуляторы, имея ввиду пропорциональность входной и выходной величин.

3.2. Запаздывающее звено

В запаздывающем звене выходная величина начинает изменяться не мгновенно с воздействием входной величины, а некоторое время  спустя.

Уравнение звена:

y(t) = kx(t - τ) , (3.2)

где τ – время запаздывания.

Изображение функции с запаздывающим аргументом x(t - τ) по Лапласу есть . Следовательно, операторное уравнение будет

. Передаточная функция звена

. Комплексная частотная характеристика, если раскрыть ее формулой Эйлера через тригонометрические функции,

. Действительная частотная характеристика U(ω) = k cos ωτ , мнимая частотная характеристика V(ω) = – k sin ωτ.

Амплитудная частотная характеристика – постоянная величина:

. Амплитуда не зависит от частоты, входной сигнал не изменяется.

Составляя , обнаруживаем, что

откуда фазовая частотная характеристика:

φ (ω) = – ω τ .

Для фиксированного времени запаздывания τ зависимость от частоты линейная. Запаздывание по фазе нарастает с увеличением частоты.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

L() = 20 lg A() = 20 lg k .

Переходная функция запаздывающего звена h(t) = k1(t-) . На выходе звена получается скачок спустя  секунд после воздействия на входе, рис. 3.1 .

h(t)

k

0  t

3.3. Инерционное звено.

Другое название - апериодическое звено первого порядка. Описывается дифференциальным уравнением

, (3.3) где Т – постоянная времени звена, k – коэффициент усиления.

Операторное уравнение

(Tp + 1)Y(p) = kX(p) .

Передаточная функция

. При p = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент усиления. (p = 0 означает отсутствие изменения выходной величины, dy/dt = 0, что превращает инерционное звено в усилительное).

Комплексная частотная характеристика

. Действительная и мнимая частотные характеристики

, . При  = 0 амплитуда равна коэффициенту усиления, с увеличением  стремится к нулю.

Амплитудная частотная характеристика:

. Фазовая частотная характеристика:

. Она представляет собой кривую, асимптотически приближающуюся к величине  () = –/2.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика:

. Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области низких частот,  1, асимптотой будет 20lg . Прямая L2 пересекает ось абсцисс при lg  = lg(k/T), ось ординат при lg  = 0; L2 = 20 lg (k/T). Прямые L1 и L2 пересекаются в точке сопряжения. Приравняв , найдем частоту сопряжения: . (Ее также называют собственной частотой инерционного звена). Общий вид графика представлен на рис.3.2.

L()

L2

L1 20lgk

0 lg

Рис. 3.2. Общий вид асимптот ЛАЧХ инерционного звена

Переходная функция находится как решение уравнения (3.3) при x = 1 и у(0) = 0:

. h(t) возрастает экспоненциально и стремится стать равной k при t  .

Пример 3.1.

Построить график комплексной частотной характеристики инерционного звена для k = 10 , Т = 0,1 .

Построение выполняется по формуле

, где , .

Данные заносятся в таблицу 1. Таблица 1

Подставляя в формулы исходные

  2Т 2+1 U V

∞ 0 10 3,16

31,6 ∞2 1 2 1,1

11 0 10 5 9,1

0,91 0

0  5  2,9

 2,9 данные, получаем:

, . Вначале находим координаты пересечения:

U = 0 ,  = ∞, V(∞) = 0 .

V = 0 ,  = 0 , U(0) = 0 .

Затем задаем удобные для вычисления значения  .

, , .  = 3,16 , ( 2  10) , U(3,16) = 9,1 , V(3,16) =  2,9 .

 = 31,6 , ( 2  1000) , U(31,6) = 0,91 , V(31,6) =  2,9 .

Полученных значений U и V достаточно, чтобы приближенно провести контур кривой. Необходимые для уточнения хода кривой точки задаются по интуиции.

Кривая вычерчивается на комплексной плоскости. По оси абсцисс откладываются значения U() , по оси V() . Вид графика комплексной частотной характеристики показан на рис. 3.3 .

V A()

10

0 10

 =

Рис. 3.3 . График КЧ Рис. 3.4 . Зависимость амплитуды

от частоты

Пример 3.2.

Построить амплитудную частотную характеристику инерционного звена для К = 10 , Т = 0,1 .

Построение выполняется по формуле

. С заданными значениями k и Т

. Задавая  = 0 ; 10 ; 20 ; 30 ; 50 ; ∞ соответственно получаем А = 10 ; 7 ; 4,5 ; 3,2 ; 2 ; 0 .

График представлен на рис. 3.4 .

3.4. Интегрирующее звено.

Дифференциальное уравнение этого звена устанавливает пропорциональность скорости изменения выходной величины величине входного воздействия:

(3.4)

(Сама выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины,

. Отсюда и название звена – «интегрирующее» ) .

Операторное уравнение:

. Передаточная функция:

. Комплексная частотная характеристика

. Действительная частотная характеристика U() = 0. Мнимая частотная характеристика V() = - k / T.

Амплитудная частотная характеристика

. При  = 1 /T , амплитуда равна коэффициенту усиления. В области  1 /T амплитуда уменьшается с увеличением  и стремиться к нулю при неограниченном увеличении  .

Фазовая частотная характеристика от  не зависит:

,  = - 90 . Запаздывание по фазе постоянное при любой частоте.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

. В области низких частот   1 и в области высоких частот   1 вид функции один и тот же. Зависимость представляет собой прямую, которая пересекает ординату в точке с координатами lg  = 0, L() = 20 k/T и абсциссу в точке с координатами lg  = lg (k/T), L() = 0 . Рис 3.5.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика от частоты не зависит.

Переходная функция – прямая с уравнением

.

Рис. 3.5. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегрирующего звена

Характеристиками интегрирующего звена обладают так называемые интегральные регуляторы (сокращенно И-регуляторы). Их применение позволяет снизить ошибку регулирования.

3.5. Дифференцирующее звено.

Сначала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено. Дифференциальное уравнение этого звена устанавливает пропорциональность выходной величины скорости изменения входной величины:

. (3.5.)

Операторное уравнение: Y(p) = kp X(p) .

Передаточная функция

где k – коэффициент усиления.

Комплексная частотная характеристика

. Действительная часть U() = 0, мнимая часть V() = k.

Амплитудная частотная характеристика

. Амплитуда растет линейно с частотой.

Фазовый угол для всех частот 90, что означает постоянное опережение по фазе при любой частоте.

Переходная функция – в ответ на единичное ступенчатое воздействие – имеет вид:

. То есть, на выходе появляется единичный импульс, усиленный в k раз.

Осуществить практически идеальное дифференцирующее звено невозможно. Но реализуемы математические модели, в которых присутствует дифференцирующая составляющая dx / dt . Так, если записать в правой части инерционного звена вместо усилительного дифференцирующее воздействие, получается математическая модель, которую называют «реальное дифференцирующее звено».

. (3.6)

Операторное уравнение: (Tp + 1)Y(p) = kpX(p).

Передаточная функция

. Комплексная частотная характеристика

. Действительная и мнимая частотные характеристики

, . Амплитудная частотная характеристика

.

У идеального дифференцирующего звена с увеличением  амплитуда линейно возрастает до ∞ . У реального дифференцирующего звена амплитуда возрастает монотонно, стремясь к пределу k / T .

Фазовая частотная характеристика

 () = arctg .

При  = 0,  = 90 , как у идеального дифференцирующего звена. Но мере увеличения частоты опережение по фазе уменьшается до нуля.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

. Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области  1 L2 = 20 lg (k / T)

Прямая L1 пересекает ординату в точке с координатами lg = 0 , L1 = 20 lg k , абсциссу – в точке с координатами lg = lg(1 / k) , L1 = 0 . Cледует учесть, что k  1 и потому lg(1 / k) – число отрицательное. Прямая L2 параллельна оси абсцисс, пересекает ординату в точке lg = 0, L2 = 20lg(k /T) . Прямые L1 и L2 пересекаются в точке с абсциссой lg = lg(1 /T) . График представлен на рис. 3.6.

0 Рис. 3.6. Асимптоты ЛАЧХ

реального дифференцирующего звена.

Чтобы найти переходную функцию, в операторном уравнении заменим X(p) на 1/ p:

. Таблица преобразований Лапласа указывает, что

. Значит, переходная функция имеет вид

. В момент t = 0 h(0) = k /T. По мере увеличения t, функция h (t) экспоненциально уменьшается до нуля. Напомним: в идеальном дифференцирующем звене переходная функция имеет вид импульса.

3.6. Колебательное звено.

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии .

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания  и резонансной частотой ω0 . Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7):  = Т0 / 2Т , ω0 = 1 / Т . Если ввести  в уравнение (3.7) , оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2  Т + y = kx . (3.8)

Условие Т02 0, т.е. a1a2 > 0.

2. Характеристическое уравнение 3-й степени:

a0p3 + a1p2 + a2p + a3 = 0.

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

= a1(a2a3 - a10) - a3(a0a3 - 0·0)+0(a0a1 - a2·0).

Δ3 = a1a2a3 - a0a23.

Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3 > 0; Δ3 > 0, или, сокращая на a3, a1a2 – a0a3 > 0.

3. Характеристическое уравнение 4-й степени:

a0p4 + a1p3 + a2p2 + a3p + a4 = 0 .

Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:

= а1 - а3 + 0 – 0 .

Δ4 = a1a2a3a4 – a21a24 – a0a23a4 .

Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3, a4 > 0, Δ4 > 0, или сокращая на a4, a1a2a3 - a21a4 - a0a23 > 0 .

4. Характеристическое уравнение 5-й степени:

a0p5 + a1p4 + a2p3 + a3p2 + a4p + a5 = 0 .

Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условие устойчивости:

a0, a1, a2, a3, a4, a5 > 0,

(a1a2 – a0a3)(a3a4 – a2a5) – (a1a4 – a0a5)2 > 0 .

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.

Пример 5.3.

Дана система, характеристическое уравнение которой имеет вид :

T1 T1T2T3p3 + (T1T2 + T1T3 + T2T3)p2 + (T1 + T2 + T3)p + 1 + k = 0 .

Выяснить, будет ли система устойчивой, если T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, k = 19 ? Каким должен быть коэффициент усиления на границе устойчивости?

Записываем характеристическое уравнение 3-й степени в общем виде, сопоставляем его с заданным и заключаем:

a0= T1T2T3 , a2= T1+T2+T3 ,

a1= T1T2+T1T3+T2T3 , a3=1+k .

Все коэффициенты больше нуля, но надо проверить, будет ли определитель Гурвица больше нуля. Подставив числа в неравенство a1a2 - a0a3 > 0, обнаруживаем, что оно не выполняется: 66 - 120 0. Это не выполняется:

-5∙12 0 , a1a2 - a0a3 > 0 .

Это соблюдается: T12 , T2 , 1 > 0 , T2 – 0 ∙ T12 > 0 . Следовательно, разомкнутая система устойчива.

Составим характеристическое уравнение замкнутой системы. Это будет сумма полиномов числителя и знаменателя, приравненная к нулю:

T0 T12p3 + T0T2p2 + T0(k1k2 + 1)p + k1k2 = 0.

Выписываем коэффициенты:

a0 = T0T12, a1 = T0 T2 , a2 = T0(k1k2 + 1) , a3 = k1k2 .

Выясняем устойчивость:

T0T12, T0T2 , T0(k1k2 + 1) , k1k2 > 0 .

Замкнутая система будет устойчивой, если

T0T2 (k1k2 + 1) - k1k2 T12 > 0 .

На границе устойчивости определитель равен нулю, из чего заключаем:

.

5.3. Критерий Михайлова.

Устойчивость системы выясняется по характеристическому полиному передаточной функции:

D (p) = a0pn + a1pn-1 + …+ an-1p + an , (2.5)

где n – степень полинома.

Полагая p = j , преобразуем характеристический полином в комплексный частотный полином:

D (jω) = a0(jω)n + a1(jω)n-1 +…+ an-1(jω) + an .

В зависимости от степени числа (jω)n оно либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U(ω) и мнимую часть V(ω):

D(jω) = U(ω) + j V(ω) , (5.7)

U(ω) = an - an-2ω2 + an-4ω4 -… (5.8)

V(ω) = an-1ω - an-3ω3+an-5ω5 -…. (5.9)

U(ω) – четная функция ω, V(ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты 1 , из (5.8) и (5.9) получим числа U(1) и V(1) . Вместе они образуют комплексное число D(j1) . На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U,V) , рис. 5.1. Множество точек М(U,V) , отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U(0) = an , V(0) = 0 , рис. 5.1. По мере увеличения  от нуля до бесконечности, точка М(U,V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U,V) , то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение (5.7) в экспоненциальной форме,

, обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль комплексного частотного полинома |D(j)| , а угол () – аргумент. Модуль имеет величину , аргумент равен .

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома (2.5) . Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рис. 5.2. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке an, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n-м квадранте, - система устойчива.

V() V n = 2

n = 1

n = 3

V M(U,V)

n = 4

Рис.5.1. Рис. 5.2.

Вторая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности вектор комплексного частотного полинома D(j) последовательно поворачивается против часовой стрелки на угол n(/2), где n – степень характеристического полинома, и нигде не становится нулем, - система устойчива.

Обратим внимание на частоты, при которых годограф пересекает оси координат. Назовем их «частоты пересечения». Первая частота нулевая, с нее начинается годограф. При 1 = 0 U(0) = an , V(0) = 0 . Вторая отвечает точке пересечения годографом положительного отрезка оси ординат, U(2) = 0 , V(2) – некоторое число. Непрерывно увеличивая частоту, при некоторой, равной 3, получим пересечение годографа с отрицательной частью оси абсцисс. Очевидно, четвертым будет пересечение с отрицательной частью оси ординат при частоте 4. Далее последуют частоты пересечения 5, 6, …,n. Все они действительные положительные числа, каждое последующее больше предыдущего.

Третья формулировка критерия Михайлова: если частоты пересечения годографа с осями координат чередуются и образуют возрастающую последовательность вида ω1 ΔW Koc на порядок, как это часто имеет место, то

(6.12)

Таким образом в замкнутой системе изменение регулируемой величины, вызванное изменением параметров системы, уменьшается в раз.

Чувствительность системы S определяется как отношение относительного изменения передаточной функции замкнутой системы к относительному изменению передаточной функции объекта:

. Переходя к пределу, получаем:

. (6.13)

Сравним чувствительности замкнутой и разомкнутой систем. Замкнутая система имеет передаточную функцию

. Чувствительность замкнутой системы к изменению передаточной функции объекта равна

. (6.14)

Чувствительность разомкнутой системы

. Сравнение показывает, что чувствительность замкнутой системы меньше чувствительности разомкнутой системы, так как величина 1 + W(p) Kос(p) >> 1.

Чувствительность замкнутой системы к изменению передаточной функции звена обратной связи Кос(р) равна

. Если произведение WK достаточно велико, чувствительность становится равной единице. Система реагирует на изменение параметров звена обратной связи как будто она разомкнутая, то есть изменения передаточной функции Koc непосредственно сказываются на выходной величине. Отсюда практический вывод: звено обратной связи должно обладать стабильными характеристиками, не зависящими от внешних факторов.

Чувствительность можно определять по отношению к одному из параметров передаточной функции объекта. Пусть параметром, подверженным влиянию внешних факторов, будет λ (это Т или К , или что-то другое) .

Пример 6.3.

Передаточная функция разомкнутой системы

W = k1 Выяснить, во сколько раз понизится чувствительность замкну той системы по сравнению с разомкнутой системой, если включить жесткую обратную связь с коэффициентом усиления k2 ?

Сделать оценку для k1 = 100, k2 = 10 .

Чувствительность разомкнутой системы

. Замкнутая система имеет передаточную функцию . По условию задачи, Кос = k2 . Чувствительность замкнутой системы, следовательно,

. Сразу видно, что если k1 k2 велико, мало. Для заданных k1 и k2

. То есть в 1000 раз меньше, чем чувствительность разомкнутой системы.

Литература

1. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.

2. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования. – М.: Высшая школа, 2004. – 365 с.

3. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. – М.: Наука, 1971. – 744 с.

4. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.

7.1. Понятие синтеза системы.

Теория автоматического управления решает две главные задачи создания систем автоматического управления.

Первая – анализ. Система задана: имеется объект управления и управляющее устройство. Требуется найти переходные процессы, которые в ней возникают, выяснить устойчивость и качество.

Вторая – синтез. Система задана не полностью: имеется только объект управления. Требуется разработать управляющее устройство, при котором система обладает устойчивостью и удовлетворяет требованиям по качеству.

Практически большей частью принципиальная схема управляющего устройства известна, но надо внести изменения, поправки и приспособить его работу требованиям к системе. Эта процедура носит название коррекции. Коррекция осуществляется с помощью корректирующего устройства. В таком случае осуществляют не синтез системы в целом, а лишь синтез корректирующего устройства, входящего в систему.

Проектировать САР исключительно компьютерным моделированием не удается. Проблема в том, что свойства объекта управления почти всегда известны приблизительно, то есть коэффициенты в передаточной функции не точны. Кроме того, бывают противоречивыми требования к переходной функции.

Обычно, исходя из имеющихся сведений об объекте и общих требований к САР, сначала выбирают тип управляющего устройства – регулятора.

7.2. Синтез регулятора.

1. Пропорциональный регулятор (П-регулятор).

Его передаточная функция

Но этот регулятор имеет большую статическую ошибку. Поэтому применяется только там, где невелики требования к точности регулирования.

Но П-регулятор обладает важным достоинством – малым временем регулирования.

2. Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор)

Другое название – изодромный регулятор. ПИ-регулятор получают, соединяя параллельно усилительное и интегрирующее звенья, рис. 7.1 .

К1(р)

х К2(р)

Рис. 7.1. Структурная схема ПИ – регулятора

Передаточная функция имеет вид:

где k – коэффициент передачи регулятора, Т – время регулирования.

Изменяя параметры k и Т, можно настраивать регулятор: делать больше или меньше влияние входного воздействия на выходную величину.

Частотные характеристики:

, , .

Переходная функция ПИ-регулятора описывается линейной зависимостью

. Параллельное соединение усилительного и интегрирующих звеньев – не единственный способ получить ПИ-регулирование. Если охватить усилительное звено обратной связью через инерционное звено и последовательно присоединить интегрирующее, получиться то же самое, рис. 7.2 .

К1(р) К2(р)

Кос(р)

Рис. 7.2.

На схеме , , .

Найдем передаточную функцию регулятора при условии k >> 1.

. Полагая T3 / k3T2 = k , k3T2 = T , получаем:

. Вид передаточной функции тот же, что и полученный ранее, но настроечных параметров стало больше: k3 , T3 , T2 . Параметр k1 на регулирование не влияет.

3. Пропорционально-дифференциальный регулятор (ПД-регулятор)

Структурная схема представляет собой параллельное соединение усилительного и идеально-дифференцирующего звеньев, рис. 7.3.

К1(р)

К2(р)

Рис. 7.3. Структурная схема ПД-регулятора.

k – коэффициент передачи регулятора, Т – время дифференцирования. Измеряя параметры k и Т , можно настраивать регулятор, усиливать или уменьшать влияние входного воздействия x(t) на выходную величину y(t) .

Передаточная функция ПД-регулятора

. Идеальное дифференцирующее звено не реализуется. Поэтому составляют эквивалентную схему, охватив обратной связью через инерционное звено усилительное звено с большим коэффициентом усиления, рис. 7.4.

К1(р)

Кос(р)

Рис. 7.4.

На схеме K1(p) = k1 , Кос(р) = k2 / (T2 p + 1) .

Передаточная функция регулятора, при условии k1 >> 1, есть:

. Вводя новые обозначения k = 1 / k2 , Т = Т / k2 , находим:

. То есть схема, не содержащая дифференцирующего звена, работает как ПД – регулятор.

7.3. Коррекция систем.

Цель коррекции САУ заключается в том, чтобы удовлетворить требованиям по устойчивости и показателям качества переходных процессов. Достигают двумя способами.

Первый – изменением параметров системы. С изменением параметров меняются коэффициенты уравнений и частотные характеристики, а значит и качество процесса. Но результат удается получить не всегда и тогда применяют второй способ.

Второй способ – это изменение структуры системы путем включения дополнительных звеньев, которые называют корректирующими устройствами.

Основные виды коррекции следующие.

1. Последовательная коррекция.

Рассмотрим схему на рис. 7.5.

Х(р) Y(p)

К1 КК К3

Рис. 7.5.

Для замкнутой системы из последовательно соединенных звеньев необходимо получить заданного вида передаточную функцию. Для этого между звеньями K1(p) и K3(p) включается корректирующее звено KK(p) . Надо найти его передаточную функцию.

Заданная передаточная функция замкнутой системы выражается через передаточную функцию разомкнутой системы формулой

. Передаточная функция разомкнутой системы содержит в себе передаточную функцию корректирующего звена:

. Передаточные функции K1(p) и K3(p) известны. Введем K1(p) , KK(p) , K3(p) в и разрешим относительно KK(p) :

. Теоретическое выражение найдено. После этого решается задача физической реализации корректирующего устройства с передаточной функцией KK(p) .

2. Параллельная коррекция.

Рассмотрим схему на рис. 7.6.

Х(р) Y(p)

W1 K3 K4

KK

Рис. 7.6.

По отношению к схеме ставится задача получить заданного вида передаточную функцию системы путем подсоединения корректирующего звена

Находим передаточную функцию разомкнутой системы:

W2(p) = K3(p)K4(p), , .

Передаточная функция замкнутой системы

. По известным передаточным функциям находится передаточная функция корректирующего устройства:

. 3. Коррекция по возмущению.

Рассмотрим схему на рис. 7.7.

X(p) Е (р) Y(p)

Рис. 7.7.

Корректирующее устройство включается в дополнительную прямую связь. Управляющий сигнал X(p) по этой связи вводится в систему.

Методом обратного движения находим:

. Откуда

. Для данной схемы передаточная функция по ошибке имеет вид:

. Выражение показывает, что если выполнить условие KK(p)=1/K2(p) , то W(p) = 0 . Т.е. ошибка устраняется.

На практике применяют как отдельные виды коррекции, так и их сочетание.

Коррекция времени регулирования

Система конструируется так, чтобы обеспечить желаемую переходную функцию, прежде всего желаемое время регулирования.

Для разомкнутой системы нужная переходная функция достигается изменением характеристик объекта, последовательным включением звена. В замкнутой системе переходную функцию желаемого вида можно получить настройкой параметров контура с обратной связью.

Пусть дана разомкнутая система с передаточной функцией

.

Переходная функция такой системы имеет вид

. Для порога нечувствительности Δ = 0,05 h(∞) время регулирования (h(t) = k - Δ) будет

. . Составим систему, присоединив последовательно усилительное звено к звену с передаточной функцией W(p) и замкнем соединение обратной связью через другое усилительное звено, рис. 7.8.

K2(p) W(p)

K1(p)

Рис. 7.8 Пусть K1(p) = k1 , K2(p) = k2 , k2 > k1 . Запишем передаточную функцию замкнутой системы:

. Передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение

, где А = 1 + k1 k2 k , B = k k2 .

При единичном ступенчатом воздействии его решением будет

. Время регулирования

. Сравним tp2 и tp1 для параметров Т = 1 , k = 5 , k1 = 2 , k2 = 10 .

h(∞) = B / А . Δ = 0,05 h(∞) = 0, 025 .

. В замкнутой системе, по сравнению с разомкнутой, время регулирования сократилось в 100 раз.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – СПб, «Профессия», 2004. – 752 с.

2. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.

3. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования. – М.: Высшая школа, 2004. – 365 с.

4. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. – М.: Лаборотория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.

Приложение

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица преобразования Лапласа для некоторых

функций

№ Оригинал Изображение

1 f (t) F (p) 2 af (t) aF(p)

3 a f1(t) + b f2(t) a F1(p) + b F2(p)

4 pF (p) 5

6 1(t)

7 t 8 t n

9 10

11 1 12 f ( t -  )

13

14 15

16 sin t

17 18 cos t

19

20 21

22

Системы автоматического управления называется импульсной, если между двумя (или более) ее элементами информация передается посредством прерывистых сигналов-импульсов. Импульсные САУ в ряде случаев имеют преимущество перед непрерывными САУ. Например, при регулировании медленно протекающих процессов, таких как изменение температуры в печах, котлах, нагревателях; изменение расходов и давлений газов, жидкостей. Можно осуществлять управление несколькими объектами одним регулятором, а это упрощает САУ. Так же импульсные САУ применяются и в быстрых процессах, например в радиолокаторах, системах радиотелеуправления. На принципах импульсных САУ создается специальные цифровые системы управления, обладающие высокой точностью работы.

Принцип действия импульсной системы основан на совместной работе импульсного устройства с непрерывной частью. (Непрерывная часть системы работает на сигналах непрерывной формы). Для обработки импульсных сигналов ставится цифровая ЭВМ.

Схемы соединения для разомкнутых систем показаны на рис. 8.1.

а. ИУ НЧ

б. НЧ ИУ НЧ

в. НЧ ИУ

Рис. 8.1.

Схемы соединений без ЦВМ показаны на рис. 8.2.

а. ИУ Р ОР

НЧ

б. НЧ ИУ НЧ

Рис. 8.2.

Схемы соединений для замкнутых САР следующие.

1. Импульсное устройство включается перед непрерывной частью САР:

ИУ Р ОР

непрерывная часть

Рис. 8.3.

2. Импульсное устройство включается между двух непрерывных частей САР.

НЧ ИУ НЧ

Рис. 8.4.

Если для обработки сигналов применяется цифровая вычислительная машина, требуется два преобразователя: преобразователь «аналог-код», который непрерывный сигнал кодирует для ЦВМ, и преобразователь «код-аналог», который дискретный сигнал от ЦВМ преобразует в непрерывный сигнал для непрерывной части САР.

Преобразование сигналов импульсным устройством

Способы передачи сигналов можно разделить на непрерывные и дискретные. При непрерывном способе передается каждое мгновенное значение сигнала x(t), рис. 8.5. При дискретном способе передаются отдельные мгновенные значения непрерывного сигнала, рис. 8.6.

x(t) x(t)

x2 xi xn

x1 x3

0 t 0 t1 t2 t3 ti tn t

Рис. 8.5. Рис. 8.6.

Представление непрерывного сигнала отдельными мгновенными его значениями называется квантованием. Непрерывный сигнал называют аналоговым. Квантование – превращение аналогового сигнала в дискретный. Осуществляют квантование по уровню, по времени, совместное. Делается это импульсными устройствами разной физической природы.

Квантование по уровню. Назначаются уровни сигнала. Непрерывный сигнал x(t) расчленяется на уровни x1, x2, …, как показано на рис. 8.7. И фиксируется мгновенное значение уровня сигнала в соответствующий момент времени. Промежутки времени получаются произвольными.

Квантование по времени. Назначаются промежутки времени. По истечении назначенного промежутка времени фиксируется мгновенное значение сигнала, рис. 8.8. Уровни сигнала произвольные.

Квантование по времени и по уровню.

Непрерывный сигнал заменяется дискретными уровнями, ближайшими к значениям непрерывного сигнала в дискретные моменты времени, рис. 8.9.

Рис. 8.7.

x(t)

t1 t2 t3 t4 t

Рис. 8.8.

Рис. 8.9.

Импульсная модуляция.

Модуляцией сигнала называют изменение параметров импульсов по заданному закону.

Импульс характеризуется следующими параметрами:

- амплитуда (высота) А;

- чередование (период повторения) Т;

- ширина (длительность)  = jT;

- скважность j = /T;

- частота  = 2  / T .

Пояснение дано на рис. 8.10.

Скважность – величина, пропорциональная ширине импульса. Частота импульсов обратно пропорциональна чередованию.

Разновидности импульсной модуляции следующие.

Амплитудно-импульсная модуляция – АИМ

Образуются узкие импульсы постоянной ширины  и разной высоты А, которые следуют один за другим с постоянным периодом T, рис. 8.11. Огибающая представляет собой входной сигнал x(t).

Широтно-импульсная модуляция – ШИМ

Образуются импульсы постоянной высоты А и постоянного периода Т, но ширина импульсов меняется в зависимости от высоты огибающей, рис. 8.12.

Частотно-импульсная модуляция – ЧИМ

Образуются импульсы постоянной высоты и ширины, но переменного периода Т, рис. 8.13.

АИМ, ШИМ, ЧИМ имеют общее название: «квантование по времени». Как говорилось выше, применяется так же квантование по уровню. На выходе такого устройства образуется ступенчатый сигнал, рис. 8.14.

В импульсных САР применяют как раздельное, так и совместное квантование.

В импульсных САР применяют как раздельное, так и совместное квантование.

Рис. 8.10.

Рис. 8.11. Модулированная последовательность импульсов (АИМ)

Рис. 8.12. Модулированная последовательность импульсов (ШИМ)

Рис. 8.13. Модулированная последовательность импульсов (ЧИМ)

Рис. 8.14.

Показать полностью…
Похожие документы в приложении