Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
2 монеты
zip

Шпаргалка «Экзаменационная» по Теории вероятностей и математической статистике (Бойко С. Н.)

1. Относительная частота и статистиче-ское определение вероятности.

В качестве статистической вероятности события принимают относительную ча-стоту или число, близкое к ней.

Относительной частотой события назы-вают отношение числа испытаний, в ко-торых события появилось, к общему числу фактически произведенных испы-таний. Таким образом, относительная частота события А определяется форму-лой W(A) = m/n, где m - число появления события, n - общее число испытаний.

2. Аксиоматическое определение веро-ятности.

1.1 Вероятностное пространство. В. п – это тройка ( Ω, £, P), где Ω - простран-ство элементарных событий (т.е некото-рое множество), в котором выделена алгебра случайных событий £ (т.е под-множеств в Ω, которые наз-ся случайны-ми событиями), а P – это ф-ция на £, ко-торая каждому событию А £ сопостав-ляет число Р(А), называемое вероятно-стью события А, так что выполняются аксиомы:

А1. Р(А) ≥ 0;

А2. Р(Ω) = 1;

А3. (Теорема сложения вероятностей для несовместных событий) Если собы-тия А и В несовместны, то Р( А + В) = Р(А) + Р(В).

А4. Для любой убывающей последова-тельности А1 А2 … An событий из £ такой, что An = имеет место равенство

3. Классическое определение вероятно-сти.

Пусть пространство Ω состоит из n эле-ментарных событий, которые предпола-гаются равновозможными. Обозначим |А| число элементов множества А.

Определение. Вероятностью события называется число Р(А), равное отношению числа элемен-тарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий .

Из определения следует, что вероятность каждого элементарного события . В этом проявляется пред-положение о равновозможности элемен-тарных событий.

4. Теорема сложения вероятностей.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятно-сти их совместного появления,

Р(А+В) = Р(А )+ Р(В) - Р(АВ)

Тогда из аксиомы А3 получаем

Р(А+В) = Р(А) + Р(ВА) и Р(В) = Р(АВ) + Р(ВА)

Следствие. Вероятность суммы трех событий равна

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(ВС) - Р(СА) + Р(АВС).

Док-во. Имеем Р(А + В + С) = Р((А + В) + С) = Р(А + В) + Р(С)-Р((А + В)С) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) + Р(С) - Р(АС+ ВС), но Р(АС + ВС) = Р(АС) + Р(ВС) - Р(АС*ВС), а АС*ВС = АВС

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Пусть ( Ω, £, P) – вероятностное про-странство и В £ - случайное событие с Р(В) ≠ 0. Условной вероятностью собы-тия А £ при условии, что событие В произошло наз-ся число

Из этого видно, что ( Ω, £, P) удовлетво-ряет аксиомам А1-А3 и, следовательно, явл-ся вероятностным пространством.

Теорема умножения вероятностей.

Р(АВС) = Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А),

Т.е вероятность произведения двух собы-тий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое собы-тие произошло.

Следствие. Вероятность произведения трех событий

Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С),

7. Независимые события. Вероятность определения хотя бы одного события.

Определение. Событие А называется не-зависимым от события В, если , т.е вероятность события А не зависит от того произошло ли событие В или нет.

Это соответствует интуитивному пред-ставлению о независимости события А от В.

В силу теоремы умножения вероятно-стей, если событие А не зависит от В, то Р(АВ)=Р(А)Р(В) и наоборот. Поскольку это условие симметрично относительно А и В, то если событие А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Определение. События А и В называются независимыми, если дня них выполняется теорема умножения вероятностей для независимых событий, т.е. Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Определение. События называют-ся независимыми (или независимыми в совокупности), если для любых k из них выполняется условие . Собы-тия называются попарно незави-симыми, если предыдущее условие вы-полняется при k=2,

Показать полностью…
Похожие документы в приложении