Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
2 монеты
doc

Шпаргалка «Экзаменационная» по Теории вероятностей и математической статистике (Ситникова Т. С.)

1. Пространство элементарных событий Ω. Примеры построения Ω.

Случайного событие, которое при осуществлении некоторых условий может как произойти, так и не произойти. Например как однократное подбрасы-вание монеты. Он имеет два взаимно исключающих исхода: выпадение герба (Г) и выпадение «решетки» (Р). Эти исходы являются случайными: невозможно заранее определить, какой из них осуществится в результате опыта.

Предположим, что в результате некоторого опыта происходит один из взаимно исключающих друг друга исходов, которые мы будем обозначать Ω и называть элементарными событиями.

Определение. Совокупность всех элементарных событий (ω обозначим через Ω. и будем называть пространством элементарных событий.

Пример 1. Монета подбрасывается три раза. Описать пространство элементарных событий Ω.

Решение. Обозначим через Г выпадение герба, а через Р - выпадение «решетки». Тогда

Ω = {(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}.

2. Основные операции над событиями. Алгебра событий. Достоверные, противоположные, несовместные события. Примеры.

Событием А называется любое подмножество пространства элементарных событий Ω: À € Ω.

Пример Монета подбрасывается три раза.описать события А — (выпало ровно две "решетки") и В = (выпало не менее двух "решеток").

Решение. Исходя из построенного Ω({(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}.). получаем А = {(РРГ), (РГР),(ГРР)}, А = {(РРГ),(РГР),(ГРР),(РРР)}.

Операции над событиями

1. Суммой А+В событий А и В называется объединение множеств

À U Â. Событие А +В состоит в том, что произошло по крайней мере одно из событий А или В.

2. Произведением АВ событий А и В называется пересечение множеств À n  . Событие АВ происходит тогда, когда происходит и А, и В.

3. Разностью А\В событий А и В называется множество элементов А, не входящих в В. Событие А \В состоит в том, что А произошло, а В - нет.

Определение. Пусть Ω - пространство элементарных событий, a F - некоторый класс подмножеств Ω. F называется алгеброй событий, если для любого А , В е F

A + B € F, AB € F, A\B € F

Примером алгебры событий может служить множество всех

подмножеств Ω. Основные типы событий

1. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, то есть событие, совпадающее со всем Ω.

2. Невозможным называют событие, которое не может произойти, то есть событие Ø.

3. Событие Ā называется противоположным (дополнительным) к А, если Ā = Ω\А.

4. События А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием, то есть если АВ=Ø.

Пример. Имеется партия деталей, некоторые из которых бракованные. Произвольно выбираются три детали. Пусть А1, А2 и A3 события, соответствующие тому, что отсутствует брак у первой, второй, третьей детали. Выразим через эти события следующие:

а) все детали без брака = А1А2А3;

б) все детали имеют брак = Ā1Ā2Ā3;

в) первая деталь бракованная, вторая и третья - нет = Ā1А2А3,

г) только одна из деталей имеет брак = = Ā1А2А3 + А1 Ā2А3 + А1А2 Ā3;

д) ровно две детали имеют брак = Ā1 Ā 2А3 + А1 Ā 2 Ā3+ Ā1 А2 Ā3

е) хотя бы две детали имеют брак = Ā1 Ā 2А3 + А1 Ā 2 Ā3+ Ā1 А2 Ā3+ Ā1Ā2Ā3.

3. Различные способы определения вероятности.

Пусть пространство элементарных событий Ω. состоит из конечного числа элементарных событий {ω1, ω2,…,ωn } , которые равноправны по отношению друг к другу. Вероятность Р(А) события А можно определить как долю тех элементарных событий, в результате которых это событие осуществляется: Р(А) =m/n, где n - общее число элементарных событий в Ω, a m - число тех из них, которые входят в А , или, как говорят, благоприятствуют А . аксиоматическое определение вероятности.

Числовая функция Р(А) , определенная на алгебре событий F, называется вероятностью, если вы-полнены следующие условия:

1) Р(А) ≥ 0 для любого А € F

2)P(Ω) = 1 ; 3)если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Число Р(А) называется вероятностью события А. Определение. Тройка (Ω, F, Р) называется вероятностным пространством.

Р(А) = m/n, формула, первоначально принятая за определение вероятности.

Пример 10. Монета подбрасывается три раза. найти Р(А) и Р(В) .

Решение. В Ω входит восемь элементарных событий ({(ГГГ), (РГР), (ГРГ), (ГГР), (РРГ), (РГГ), (ГРР), (РРР)}), в А - три, в В - четыре. получаем А = {(РРГ), (РГР),(ГРР)}, В = {(РРГ),(РГР),(ГРР),(РРР)}. Поэтому Р(А)=3/8, Р(В)=4/8 =1/2.

4. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Пусть задано вероятностное пространство (Ω,F,P) и A € F, В € F. Тогда вероятность появления хотя бы одного

из событий А или В равна

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Следствие (вероятность противоположного события).

Р(А)=1-Р(А). Определение. События А1,А2,...,Аn называются попарно несовместными, если Ai ∙Aj=ᴓ для всех i≠j .

Пример. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?

Решение. Введем событие А= (5 очков выпало на первой кости) и В= (5 очков выпало на второй кости). Тогда

Р{А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) =1/6+1/6-1/36=11/36

5. Определения условной вероятности, зависимых и независимых событий. Примеры.

Определение. Пусть (Ω F,P) - произвольное вероятностное пространство. Если A, B € F,

Р(А) > 0, то условная вероятность события В при условии что событие А произошло, определяется формулой

P(B/A)=P(AB)/P(A)

Определение. Пусть A, B € F. События A и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

6.Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Пусть A, B € F. Тогда Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А), то есть вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную веро-ятность второго при условии, что первое произошло.

Следствие. Если А1,А2,...,Аn - произвольные события,

то P(A1*A2*..,*An) = P(A])*P(A2/A1)*…*P(An/Al*..*,An-1). В частности, P(А1 *А2*А3) = Р(A1) • Р(А2 / A1 ) • Р{A3 /A1 • А2).

Пример.В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд, не возвращая, два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть А = (первый шар белый), В = (второй

шар белый). Тогда P(A) = 5/9. Если событие А произойдет, то в

урне останется 4 белых и 4 черных шара. Поэтому P(B/A)=4/8=1/2

Значит, искомая вероятность равна P(AB) = P(A)*P(B/A) = 5/9*1/2=5/18 .

классическое определение вероятности: Р(АВ) = C25 / C29 =5/18

7. Формула полной вероятности.

Пусть задано вероятностное пространство (Ω, F, Р), А € F, и попарно несовместные события Н1,Н2,...,Нп € F. Если Р(Нk)>0 (k=1,…,n) и А с Н1 + Н2 + … +Нn, то имеет место формула полной вероятности

События Н1,Н2,...,Нn обычно называют гипотезами, в предположении которых может произойти событие А

Пример. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, а во второй 1 белый и 4 черных. Из первой урны во вторую переложены два шара. Найти вероятность того, что вынутый из второй урны шар окажется белым.

Решение. Обозначим A=(вынутый из второй урны шар - белый), H1= (оба переложенных шара - белые), Н2= (переложены разноцветные шары), H3 =(оба переложенных шара – черные. Найдём вероятности Нi : P(H1)=C22/C25=1/10; P(H2)=C12*C13/C25 ; P(H3)= C23/ C25 =3/10/

Если выполнено Н1, то во второй урне будет 3 белых и 4 черных шара, следовательно Р(А/Н1)=3/7, Р(А/Н2)= 2/7, Р(А/Н3)=1/7. Применяем ф-лу полной вероятности: Р(А)=1/10*3/7+6/10*2/7+3/10*1/7=18/7*10=9/35

8. формулы Байеса.

Пусть выполнены все условия формулы полнойвероятности. Тогда

I=1,2,…,n Эти формулы называют также формулами вероятностей гипотез: Р(H1) - априорные (до опыта) вероятности, Р(Нi/А) -апостериорные (после опыта) вероятности.

Пример 5. В первой урне 15 синих и 5 красных шаров, во второй урне 8 синих и 12 красных. Из наугад выбранной урны

наудачу извлекают шар. Вынутый шар оказался синим. Найти вероятность того, что он извлечен из первой урны.

Решение. Введем события А = (извлечен синий шар), Н1 = (выбрана первая урна), Н2= (выбрана вторая урна). Так

как урна выбирается наугад, то

P(H1)=P(H2)=1|2, кроме то-

го, по условию Применяя формулу Байеса, находим искомую вероятность

9. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула k успехов в n испытаниях: Рп(к) = Ckpkqn-k.

. Одинаковые независимые между собой испытания, в каждом из которых рассматривается некоторое событие А, наступающее с положительной вероятностьюр, называются испытаниями Бернулли. Наступление события А называется успехом, а ненаступление - неудачей. Испытаниям Бернулли отвечает следующее вероятностное пространство:

неудача) или = 1 (успех) }, F - множество всех подмножеств О., Р(со) = рк • qn~k,

k=∑n i=1ωi, q=1-p

Теорема. Пусть производится серия из п испытаний Бернулли. Тогда вероятность Рп (к) события, состоящего в том, что успех (событие А) наступит ровно к раз, равна

Pn(k) = Cknpkqn-k.

Пример. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар потом возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что извлечено не более двух белых шаров?

Решение. Так как вынутые шары возвращают в урну, то вероятность извлечь белый шар в каждом испытании одинакова и равна

Тогда

10. Сформулируйте локальную предельную теорему Муав-ра—Лапласа.

Теорема. Пусть в схеме испытаний Бернулли 0

Показать полностью…
Похожие документы в приложении