Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Курсовая «Статистические методы обработки экспериментальных данных» по Теории вероятностей и математической статистике (Ситникова Т. С.)

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный университет печати

Факультет полиграфической техники и технологии

Курсовая работа по теме

«Статистические методы обработки

экспериментальных данных»

Вариант №15

Выполнила: студентка Сивова Д. О.

Группа: ДТмат 2-1

Проверила: Ситникова Т.С

Москва 2010

Интервалы 1.5;3.5 3.5;5.5 5.5;7.5 7.5;9.5 9.5;11.5 11.5;13.5

Частоты, n_i 3 6 9 12 15 21

Исходные данные.

13.5;15.5 15.5;17.5 17.5;19.5 19.5;21.5 21.5;23.5

14 10 8 7 5

Расчетная часть

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

Статистическое распределение - соответствие между результатами наблюдений и их частотами и относительными частотами.

Интервальное распределение – наборы троек ( Ii ; ni ; wi ) для всех номеров i, а точечное – наборы троек ( xi ; ni ; wi ).

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой в порядке возрастания xi соединяют точки ( xi ; wi).

Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале Ii, как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте wi ; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна Hi=wi/h – плотности относительной частоты.

Полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения.

В работе используются следующие обозначения:

i – порядковый номер;

Ii – соответствующий интервал разбиения;

ni – частота выборки ( количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii );

xi – середина интервала Ii ;

wi= – относительная частота ( n – объём выборки);

- плотность относительной частоты ( h – шаг разбиения, то есть длина интервала Ii )

Объем выборки: ;

Длина интервала разбиения (шаг): h = 2

i I_i x_i n_i W_i H_i

1 1.5;3.5 2.5 3 0,027 0,01

2 3.5;5.5 4.5 6 0,054 0,03

3 5.5;7.5 6.5 9 0,082 0,04

4 7.5;9.5 8.5 12 0,110 0,06

5 9.5; 11.5 10.5 15 0,136 0,07

6 11.5; 13.5 12.5 21 0,191 0,10

7 13.5;15.5 14.5 14 0,127 0,06

8 15.5;17.5 16.5 10 0,091 0,05

9 17.5;19.5 18.5 8 0,072 0,04

10 19.5;21.5 20.5 7 0,063 0,03

11 21.5;23.5 22.5 5 0,045 0,02

∑: 110 1

Полигон относительных частот

Гистограмма относительных частот

2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.

i x_i n_i x_i n_i 〖(x_i-x ̅)〗^2 n_i

1 2.5 3 7,5 300 2 4.5 6 27 384

3 6.5 9 58,5 225

4 8.5 12 102 324

5 10.5 15 157,5 60

6 12.5 21 262,5 0

7 14.5 14 203 56

8 16.5 10 165 160

9 18.5 8 148 288

10 20.5 7 143,5 448

11 22.5 5 112,5 500

∑: 110 1387 2745

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

для математического ожидания

выборочная средняя

x ̅=1387/110= 12,5

для дисперсии

исправленная выборочная дисперсия

s^2=2745/109= 25,18

В статистических расчётах используют приближённые равенства:

, . MX ≈ x ̅

DX≈s^2

выборочная средняя

исправленная выборочная дисперсия

и параметры

3. Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.

При выдвижении гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Полигон относительных частот в первом приближении представляет собой график плотности распределения вероятностей.

Существует три основных вида распределений – нормальное, показательное и равномерное.

Нормальное ( или гауссовское ) распределение с параметрами и , где , :

,

е=2,71828… , =3,14159…

Показательное ( или экспоненциальное ) распределение с параметрами и , где , :

Равномерное распределение на отрезке , где :

По виду графиков полигона и гистограммы основных распределений делаем вывод: распределение нормальное.

4. Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров a и .

Все параметры распределений тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины:

, .

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, то есть используют приближённые равенства

, , что позволяет найти значения параметров распределения.

x ̅= a s^2=σ^2

x_i u_i=(x_i-x ̅ )/s

φ(u_i) f(x_i )=1/s φ(u_i)

2.5 -2 0,051 0,007

4.5 -1,6 0,117 0,016

6.5 -1,2 0,189 0,029

8.5 -0,8 0,273 0,037

10.5 -0,4 0,370 0,047

12.5 0 0,399 0,055

14.5 0,4 0,369 0,048

16.5 0,8 0,288 0,038

18.5 1,2 0,191 0,025

20.5 1,6 0,109 0,014

22.5 2 0,051 0,007

После чего на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения:

5. Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия Пирсона.

Группировка исходных данных

Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определённое значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков. Обозначим через i количество результатов измерений, попавших в i-тый промежуток. Очевидно, что i=n.

Критерий 2 будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n100;

в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, то есть i5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало, то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

То есть само разбиение имеет вид:

Таким образом, мы приходим к следующему интервальному распределению:

z_(i-1); z_i -∞;5.5 5.5;7.5 7.5;9.5 9.5;11.5 11.5;13.5 13.5;15.5 15.5;17.5 17.5;19.5 19.5;+∞

v_i 9 9 12 15 21 14 10 8 12

5.2 Вычисление теоретических частот

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими. Эмпирические частоты i определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты ’i , находят с помощью равенства

’i=npi ,

где n – количество испытаний, а piP(zi-1

Показать полностью…
Похожие документы в приложении