Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
2 монеты
zip

Шпаргалка «Экзаменационная» по Математике (Афанасьева С. Г.)

1. Множество и подмножество. Объединение, пересечение, разность, дополнение множеств. Декартово произведение множеств. Мощность множества.

Множество – совокупность, объединение некоторых объектов, которые называют элементами множества.

Заданные множества – множества, о элементах которых можно сказать, принадлежат они этому множеству или нет.

Конечные множества – содержат конечное число элементов.

Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечное число элементов.

Пустое множество – не содержит ни одного элемента.

Числовое множество – множество, элементами которого являются числа.

Множество А называют подмножеством В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, обозначается «А с В»

Операции над множествами.

Объединение множеств – множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат или одному или другому множеству (А + В)

Пересечение множеств – множество, состоящее из элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В одновременно (А * В)

Разность множеств – это множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В (А / В)

Если В с А, то разность А / В называется дополнением множества В до множества А.

Декартово произведение множества.

Упорядоченная пара – два элемента, расположенные в определенном порядке (а, в)

Декартовым произведением двух непустых множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида (х,у), обозначается А*В.

Декартово умножение – операция, с помощью которой находится декартово произведение множеств.

Разбитие множества на классы – представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств.

Мощность множества.

Это обобщение на произвольные множества понятия «число элементов».

Взаимно однозначное соответствие – соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу 1-го множества соответствует 1 и только 1 элемент 2-го множества, а каждому элементу 2-го – 1 и только 1 элемент 1-го множества.

Эквивалентные множества – множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие (А~В)

Конечное множество – множество, которое не имеет собственное подмножество, эквивалентное ему самому.

Бесконечное множество – множество, которое имеет собственное подмножество, эквивалентное ему самому.

Счетное множество – множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.

Т.1. Объединение конечного множества счетных множеств, является счетным множеством.

Т.2. Множество рациональных чисел является счетным множеством.

Т.З. Множество действительных чисел на отрезке [0;1] имеет мощность, большую мощности счетного множества. Такое множество называется несчетным.

Теорема Кантора.

Множество, элементами которого являются все подмножества некоторого множества А, имеет мощность, большую, чем мощность множества А.

2. Высказывания. Операции с ними.

Высказывание - повествовательное предложение, о котором, можно сказать истинно оно или ложно.

Отрицание- операция, синоним частица не, обозначается ,­

Дизъюнкция- логическое высказывание, которое получается путем объединения двух простых утверждений при помощи слова «или»,обозначается v.

Конъюнкция- логическое высказывание, которое получается путем объединения двух простых утверждений союзом «и»,обозначается ^.

Импликация - приблизительный логический эквивалент оборота "если..., то..."; операция, формализующая логические свойства этого оборота.

Эквиваленция - логическое действие, состоящее в употреблении связок «если, и только если» в содержательных логических выводах и разговорном языке; выражается через импликацию и конъюнкцию.

Элементарное высказывание – высказывание, которое нельзя разложить на отдельные части, являющиеся самостоятельными высказываниями.

Составное высказывание – высказывание, которое можно разложить на отдельные части, являющиеся самостоятельными высказываниями

Абсолютно истинное высказывание – высказывание, истинное при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний, обозначается «и».

Абсолютно ложное высказывание – высказывание, ложное при любых значениях истинности, входящих в него элементарных высказываний.

Равносильные высказывания – высказывания, которые одновременно истины или одновременно ложны, при любых значениях истинности входящих в них элементарных высказываний, А=В.

Высказывательная форма – предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него конкретных значений переменных.

Логическая операция – образование составного высказывания из элементарных.

3.Определитель 2-го и 3-го порядка.Основные свойства.Минор и алгебраическое дополение.

Правило определителя 2-ого порядка:

Произведение элементов главной строки вычитаем произведение побочной диагонали.

Правило определителя 3-его порядка:

1.правило ∆

2.правило Сайреса

Свойства:

1)величина меняется,если его строки и столбы поменять местами.

∆=∆Т 2)при перестановки строк (столбцов) меняется знак определителя.

∆= - ∆

3)определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) =0

4)общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя

5)если элементы некоторой строки (столбца)=0,то определитель=0.

6)если соответственные элементы двух строк (столбцов) пропорциональны,то такой определитель=0.

Минор (Мik)=определитель 2-го порядка.

Алгебраическое дополнение-минор со знаком.

4.Понятие об определителе n-го порядка и его вычисление

Определитель n-го порядка приводится к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Так, вычисление определителя 5-го порядка приводится к вычислению пяти определителей 4-го порядка; вычисление каждого из этих определителей 4-го порядка можно, в свою очередь, привести к вычислению четырёх определителей 3-го порядка.

Однако, за исключением простейших случаев, этот метод вычисления определителей практически применим лишь для определителей сравнительно небольших порядков. Для вычисления определителя большого порядка разработаны различные, практически более удобные методы (для вычисления Определитель n-го порядка приходится выполнять примерно n3 арифметических операций).

Отметим ещё правило умножения двух определителей n-го порядка: произведение двух определителей n-го порядка может быть представлено в виде определителя того же n-го порядка, в котором элемент, принадлежащий i-й строке и k-му столбцу, получается, если каждый элемент i-й строки первого множителя умножить на соответствующий элемент k-го столбца второго множителя и все эти произведения сложить; иными словами, произведение определителя двух матриц равно определителю произведения этих матриц.

5.Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера:

x=∆x/∆,y=∆y/∆,z=∆z/∆

6.Матрицы,их виды.Операции над матрицами,их свойства.

Матрица-это совокупность чисел или объектов другой природы,предствленные в виде прямоугольной таблицы.

Классификация:

1.(m×1)-матрица-столбец

2.(1×n)-матрица-строка

3.(m×m)-квадратная матрица

4.если в диагональной матрице все элементы dik≠1,равны единице и называется единичным(Е)

5.матрица,у которой все элементы=0,называется нулевой.

6.квадратная матрица, все элементы которо, вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

7.транспортирование матрицы – преобразование состоящие, в замене строк, столбцами.

Операции над матрицами:

1)сумма матриц

Свойства:

1.коммутативность а+в=в+а

2.асссоциативность (а+в)+с=а+(в+с)

3.существование 0-ой матрицы:А+0=0

4.существование обратной матрицы:а+в=0,а= -в

2)произведение матрицы на число

Свойства:

1.Дистрибутивность, относительно матричной суммы α(А+В)=αА+αВ

2.Дистрибутивность, относительно скалярной суммы (α+В)А=αА+АВ

3.Ассоциативность относительно произведения скаляров (α*β)А=α(β*А)

3)умножение матриц

Свойства:

1.ассоциативность А(В*С)=(А*В)С

2.дистрибутивность А(В+С)+АВ+АС ; (А+В)С=АС+ВС

3.умножение на единичную матрицу Аε = εА + А

Показать полностью…
Похожие документы в приложении