Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Курсовая «Статистические методы обработки экспериментальных данных» по Теории вероятностей и математической статистике (Куликов В. С.)

1. Интервальное и точечное статистические распределения результатов наблюдений.

I - порядковый номер;

- интервал разбиения;

- середина интервала ;

- частота;

- относительная частота ( -объем выборки);

-плотность относительной частоты (h - шаг разбиения, т.е. длина интервала );

i

1 0;4 2 39 0.26 0.065

2 4;8 6 34 0.227 0.0568

3 8;12 10 25 0.167 0.0418

4 12;16 14 15 0.1 0.025

5 16;20 18 12 0.08 0.02

6 20;24 22 9 0.06 0.015

7 24;28 26 6 0.04 0.01

8 28;32 30 4 0.027 0.0068

9 32;36 34 3 0.02 0.005

10 36;40 38 2 0.013 0.0033

11 40;44 42 1 0.006 0.0015

n= - объем выборки;

;

;

H = 4.

2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии

(выборочная средняя);

(исправленная выборочная дисперсия).

i

1 2 39 78 3168,13

2 6 34 204 854,43

3 10 25 250 25,65

4 14 15 210 133,83

5 18 12 216 585,82

6 22 9 198 1086,43

7 26 6 156 1347,66

8 30 4 120 1442,02

9 34 3 102 1585,2

10 38 2 76 1456,60

11 42 1 42 960,19

3. Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины

а) Нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами «а» и « », где

б) Показательное (или экспоненциальное) распределение с параметрами и , где ,

при

при в) Равномерное распределение на отрезке [А; В], где

при при x<A и x>B

Сравнение построенной гистограммы и графиков плотностей основных распределений приводит к заключению о том, что изучаемая случайная величина имеет показательное распределение.

4. Построение графика теоретической плотности распределения

при при

По исходным данным варианта была выдвинута гипотеза о показательном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

Следовательно плотность предполагаемого распределения задаётся формулой:

Теперь необходимо вычислить значения теоретической плотности f(x) при x=x0 (т.е. значение «в параметре сдвига») и при x=xi , где xi > x0

(т.е. значения в серединах интервалов, больших x0). Для этого воспользуемся следующей схемой:

xj uj=(xj- x0) e-uj f(xj)= e-uj

1,8 0,00 1,0000 0,1085

2 0,02 0,9802 0,1064

6 0,46 0,6313 0,0685

10 0,89 0,4107 0,0446

14 1,32 0,2672 0,0290

18 1,76 0,1720 0,0187

22 2,19 0,1119 0,0121

26 2,63 0,0721 0,0078

30 3,06 0,0469 0,0050

34 3,49 0,0305 0,0033

38 3,93 0,0197 0,0021

42 4,36 0,0128 0,0014

На одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения:

5. Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Группировка исходных данных

4;8 8;12 12;16 16;20 20;24 24;28

39 34 25 12 12 9 6 10

Вычисление теоретических частот

-теоретические частоты

Т.к. принята гипотеза о показательном распределении с.в., то теоретическая вероятность вычисляется по одной из следующих формул в зависимости от взаимного расположения i-ого промежутка и числа x0:

n=150; =0,1085; x0=1,8

i Концы промежутков

1

4 0 0,2387 1 0,7877 0,2123 31,845

2 4 8 0,2387 0,6727 0,7877 0,5103 0,2774 41,61

3 8 12 0,6727 1,1067 0,5103 0,3307 0,1796 26,94

4 12 16 1,1067 1,5407 0,3307 0,2143 0,1164 17,46

5 16 20 1,5407 1,9747 0,2143 0,1388 0,0755 11,325

6 20 24 1,9747 2,4087 0,1388 0,0899 0,0489 7,335

7 24 28 2,4087 2,8427 0,0899 0,0583 0,0316 4,74

8 28

2,8427 0,0583 0 0,0583 8,745

Статистика и вычисление её значения по опытным данным

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая величина, характеризующая степень расхождения теоретического и статистического распределений.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

, называемая статистикой.

i

1 39 31,845 1,6076

2 34 41,61 1,3918

3 25 26,94 0,1397

4 15 17,46 0,3466

5 12 11,325 0,0402

6 9 7,335 0,3779

7 6 4,74 0,3349 8 10 8,745 0,1801

 150 150 4,42

Распределение статистики

Случайная величина имеет χ2-распределение с r степенями свободы (r=1; 2;3; …) , если ее плотность имеет вид

kr(x)

где cr – некоторая положительная постоянная (cr определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение χ2 с r степенями свободы, будет обозначаться через χ2r.

Распределение χ2 определяется одним параметром – числом r степеней свободы и существуют таблицы, позволяющие приближенно найти вероятность попадания значений случайной величины χ2 в любой промежуток.

является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения.

Закон распределения статистики χ2 зависит:

1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты νi);

2) от количества произведенных наблюдений (в частности, от числа n);

3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности pi и теоретические частоты ν'i=n·pi).

Если выдвинутая гипотеза верна, то, очевидно, закон распределения статистики χ2 зависит только от закона распределения измеряемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом деле, в этом случае (благодаря подобранному Пирсоном выражению для χ2) справедливо куда более сильное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики χ2 практически не зависит ни от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при n распределение статистики χ2 стремится к χ2- распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через χ2.

Если в качестве предполагаемого выбрано одно из трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r=l-3, где l – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

r=i-Nпар-1=8-2-1=5,

Nпар – количество параметров предполагаемого распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных

Назначение величины Обозначение и числовое значение величины

Уровень значимости (задан в условии)

Количество промежутков разбиения i=8

Число степеней свободы r=5

Критическое значение (находится в таблице)

Наблюдаемое значение критерия

Вывод гипотеза (о показательном распределении) верна, поскольку

Показать полностью…
Похожие документы в приложении