Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
zip

Курсовая «Исследование устойчивости линейных систем» по Теории автоматического управления (Винокурова О. А.)

1.Расчетные данные:

-коэффициенты передачи

-постоянные времени

 7-время регулирования

,: 30-40-перерегулирование

,град.:40-50-запас устойчивости по фазе

L=h: 6-10дБ- запас устойчивости по амплитуде

=0,-статическая ошибка

-передаточная функция

Структурная схема исходной замкнутой системы автоматического управления (САУ):

1.2 Передаточные функции элементов САУ:

-пропорциональное звено

-инерционное звено

-интегрирующее звено

- инерционное звено

2.Определение передаточной функции исходной замкнутой САУ

, где

– передаточная функция разомкнутой системы.

Отсюда следует, что

–передаточная функция замкнутой системы.

Исходная САУ является системой третьего порядка с отрицательной обратной связью.

3. Оценка устойчивости САУ.

Одной из важнейших характеристик системы управления, определяющих правильное выполнение заданного алгоритма функционирования, является устойчивость. Необходимым условием устойчивости систем управления является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для устойчивости системы, коэффициенты должны быть положительны, а корни отрицательны.

Правила, которые позволяют определить положение корней относительно мнимой оси, называются критериями устойчивости.

Данную САУ мы будем исследовать тремя критериями устойчивости: алгебраическим – Гурвица и частотными – Михайлова, Найквиста.

3.1. Критерий устойчивости Гурвица.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица позволяет судить об устойчивости системы на основании анализа коэффициентов характеристического уравнения:

Необходимым условие устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения:

Для оценки устойчивости с использованием критерия Гурвица необходимо составить определитель:

Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при >0 все диагональные миноры определителя были положительны.

Определим устойчивость заданной САУ по критерию Гурвица:

;

Характеристическое уравнение исходной САУ:

, так как

коэффициенты характеристического уравнения:

; ; ; .

Найдем определитель Гурвица:

Вывод: только один определитель положителен, следовательно данная САУ неустойчива.

3.2. Частотные критерии устойчивости.

3.2.1. Критерий устойчивости Михайлова.

Характеристическое уравнение системы:

Произведя замену:s=jw-получим вектор A(jw), называемый годографом Михайлова:

,где - действительная часть ,

- мнимая часть .

Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: система автоматического управления устойчива, если годограф, начинаясь при на вещественной положительной полуоси, последовательно обходит n квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки.

Определим устойчивость заданной САУ по критерию Михайлова.

Передаточная функция данной системы:

1. Характеристическое уравнение данной САУ:

, тогда

2. ,

3. 4.

5.

X Y 0 99.06 0

0,9 97 0 1 96,4 -0,2

6,1 0 -266

Вывод: данная САУ неустойчива, т.к. годограф, начинаясь при на вещественной положительной полуоси не обходит последовательно 3 квадранта против часовой стрелки.

3.2.2. Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить устойчивость замкнутой системы по характеру изменения амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.

Определим устойчивость заданной САУ по критерию устойчивости Найквиста.

1. Определим устойчивость разомкнутой САУ по критерию Гурвица:

,

, Коэффициенты характеристического уравнения:

, , Так как все коэффициенты положительны, то выполняется необходимое условие устойчивости системы.

Находим определитель Гурвица:

По критерию устойчивости Гурвица данная разомкнутая САУ находится на границе устойчивости.

замкнутая система имеет только левые корни:

2. Для построения годографа Найквиста запишем комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы:

где – действительная часть,

– мнимая часть.

3. :

, , 4. :

, , P Q

0 0 0 0.2 -219 -401

0.8 -59 0

1 -37 3 4 -0.5 1

Вывод: если разомкнутая система, находясь на границе устойчивости, не имеет правых корней, то замкнутая система будет устойчивой, когда годограф Найквиста, дополненный дугой бесконечно большого радиуса, не будет охватывать точку (-1;j0). В нашем случае годограф охватывает точку (-1;j0), следовательно система неустойчивая.

4.Расчет асимптотических ЛАЧХ и ФЧХ.

5.Оценка устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

Запасы устойчивости удобно определять с использованием логарифмических частотных характеристик разомкнутых систем.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Фазовая частотная характеристика

Фазовая частотная характеристика, записанная в

соответствии с принципом аргумента:

ЛЧХ исследуемой системы

Условие устойчивости определяется соотношением

Вычислим частоту среза и частоту пи:

Следовательно данная система неустойчивая.

6. Коррекция системы

Для того, чтобы наша система стала устойчивой, добавим инерционное звено и уменьшим коэффициент пропорциональности К

ЛЧХ скорректированной исследуемой системы:

Вычислим частоту среза

Вычислим частоту пи:

Следовательно система является устойчивой

Определим устойчивость скорректированной САУ по критерию устойчивости Гурвица.

Характеристическое уравнение: А(s)= ;

; Вывод: данная система устойчива.

Определим устойчивость скорректированной разомкнутой САУ по критерию Михайлова.

Передаточная функция разомкнутой системы:

1.А(s)= ;

2.

3. 4.

, 5. 0 2.948

12.167 0

0 7.09

Вывод: по рисунку видно, что данная система устойчива.

7.Запасы устойчивости

Запас устойчивости по фазе

В градусах

Запас устойчивости по амплитуде

Или в децибеллах

8.Оценка прямых показателей качества системы.

Построение переходной и весовой функций.

Основными прямыми показателями качества являются время регулирования и перерегулирование.

Время регулирования tp- минимальный промежуток времени, оп истечении которого разница между переходной функцией и её установившимся значением hу не превышает заданного значения.

Значение обычно выбирается в пределах 1-5% от величины hу

Перерегулирование-это разность между максимальным значением переходной функции и её установившимся значением:

, оно обычно не превышает 10-30%.

К прямым оценкам качества относятся также: время нарастания переходного процесса tн , время достижения первого максимума tm, частота и число колебаний, которые имеет переходная функция за время регулирования, и декремент затухания.

Декремент затухания колебаний определяется зависимостью:

, где hm2-второй экстремум переходной функции.

,

время регулирования

время нарастания .

время достижения первого максимума

время достижения первого минимума

максимальное значение переходной функции

минимальное значение переходной функции

Весовая функция имеет вид:

График весовой функци:

Определение установившейся ошибки

Найдем установившуюся ошибку замкнутой системы, если на входе имеется регулярное воздействие:

. Передаточная функция ошибки будет:

Найдем производные от регулярного воздействия:

; ;

. Таким образом, ошибка системы в установившемся режиме будет:

. Исходные Полученные путём корректировки

6 – 10 13,4

30% – 40% 14,3%

7 с 9 с

Вывод по работе: исследовав заданную САУ по критериям устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста, я определила, что система является неустойчивой. После корректировки данная САУ стала устойчивой по критериям Гурвица и Михайлова, а установившаяся ошибка максимально приближена к заданной.

Показать полностью…
Похожие документы в приложении