Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
2 монеты
doc

Шпаргалка «Экзаменационная» по Математике (Спиридонов М. Я.)

1. Теорема о связи первообразных одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла.

Первообразной функции f(x) на некотором (конечном или бесконечном) интервале называется дифференцируемая функция F(х), производная которой равна f(x) во всех точках интервала, т.е. F'(х) = f(x).

Тоерем. Любые 2 постоянные функции отличаются не постоянностью. Если g(x) др. первообразн. f(x), то g(x)=f(x)+сб где с-const. Док-во: По услов. F’(x)=f(x), G’(x)=g(x) Рассмотр. Функ-ию, найдем ее производн. G’(x)-F’(x) = g(x) – f(x)=0 =>

G’(x)-F’(x) =с, т.е G’(x)= F’(x) +с. Вывод: Множество всех первообразных ф-ий f(x) устроено так: нужно взять одну из первообр. И к ней прибавлять всевозможные постоянные.

Неопределённым интегралом функции f(x) называется множество всех её первообразных. Сл-но

где F(х) — одна из первообразных, а С — произвольная постоянная.

Для проверки формулы (1) достаточно найти производную функции F(х) и убедиться в том, что она равна подынтегральной функции f(х).

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции. Будет доказано, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией (такие интегралы называются "неберущимися").

2. Взаимная обратность операций интегрирования и дифференцирования. Свойство линейности неопределенного интеграла.

Интегрирование и дифференцирование есть две взаимно обратные операции. Всякому правилу дифференцирования соответствует правило (метод) интегрирования. Так, свойство линейности производной переходит в свойство линейности интеграла. Правилу дифференцирования сложной функции соответствует, как мы видели, метод интегрирования введением под знак дифференциала. Этому же правилу соответствует также метод интегрирования заменой переменной. И правилу дифференцирования произведения соответствует метод интегрирования по частям.

Свойство линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации от интегралов этих функций.

3. Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и нахождении длины пути по известной скорости.

Вычисление площадей криволинейных трапеций. Из геомет-рического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, то есть области, лежащей под графиком функции у = f(х),

f(х) > О, вычисляется по формуле

Площадь области D, расположенной между графиками двух функций, т.е. D : а ≤ х ≤ b, g(х) ≤ у ≤ f(х), вычисляется по формуле

Пусть время движения изменяется от t0 до Т. При равномерном движении пройденный путь равен произведению скорости v на время движения (Т- t0), т.е. S=v(Т-t0), v=const.

В случае неравномерного движения эта формула непригодна. Разобьем интервал [t0,Т] на ряд частичных интервалов Dti. При малых Dti, скорость

изменится незначительно и на каждом частичном интервале ее приближенно можно считать постоянной. Вычислим на каждом частичном интервале скорость, и найдем величину пройденного пути.

Значение величины пути будет вычислено тем точнее, чем меньше частичные интервалы времени Dti. Точное значение получим как предел суммы, т. е;

В правой части равенства находится предел интегральной суммы функции v(t) на - интервале [t0,T], равный соответствующему определенному интегралу.

4. Определение определенного интеграла. Теорема существования (формулировка). Геометрический и механический смысл интеграла.

Определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] , или в пределах от a до b, называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю:

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.

Геометрически интегральная сумма представляет из себя площадь ступенчатой фигуры, сост-щей из прямоугольников, в основании которых лежат отрезки ∆xi, а высоты равны f(ci), если f(x)≥0

С позиции механики неопределенный интеграл от скорости прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее пути с точностью до С, а неопределенный интеграл от ускорения прямолинейно движущейся точки есть закон изменения ее скорости с точностью до С.

5. Свойства определенного интеграла.

1)Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке

2) Для любых a, b и c

3) Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

4) Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

5) Если f (x) ≥ g (x), то В частности, если f (x) ≥ 0, то

6) Если f (x) ≥ 0 для любого и существует такое, что причем f (x) непрерывна в x0 то

6. Теорема (Барроу) о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу.

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а,b], то функция

имеет прозводную и , т. е. функция S(x) является первообразной для f (х).

7. Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция f(х) непрерывна на [а; b] и F(х) — её первообразная, то

Это и. есть формула Ньютона-Лейбница. Она является следствием основной теоремы дифференциального и интегрального исчисления (теоремы Барроу- см п. 6)

8. Замена переменных в определенном интеграле.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], а функция

x= φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], причем φ(α)=а, φ(β)=b, и значения функции φ(t) не выходят за пределы отрезка [a;b], когда t €[α;β]. Тогда

9. Интегрирование по частям для неопределенного и определенного интегралов

Формула интегрирования по частям для неопред. Интегр. имеет вид

где и = и(х) и v=v(x) — дифференцируемые функции. Эта формула позволяет свести вычисление интеграла ∫udv к вычислению интеграла ∫vdu, который может оказаться проще. Для применения формулы к вычислению интеграла ∫f(x)dx мы разбиваем подынтегральное выражение ∫f(x)dx на две части и и dv. Затем находим du=u’dx и v=∫dv и применяем формулу/

Методом интегрирования по частям вычисляют следующие типы интегралов:

А) ∫P(x) * eaxdx, ∫P(x) *cosbxdx, ∫P(x) *sinbxdx, где Р(x) — некоторый многочлен. В этом случае берут и = Р(х), тогда du=P’(x)dx, а степень многочлена Р'(х) меньше, чем у P(x)/

B) ∫P(x) * lnxdx, ∫P(x) *arccosβxdx, , ∫P(x) *arcsinβxdx, ∫P(x) *arctgxdx, ∫P(x) *arcctgxdx, в этих случаях берут u= lnx, соответственно u=arcos βx и.т.д.

Тогда du= - βdx/√1-( βx)2

Для опред. Интегр. Если функция u= u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a;b], то

10. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением p=p(φ) и двумя лучами φ = φ1, φ = φ2 , определяется по формуле

11. Длина дуги кривой. Вычисление длины дуги графика функции.

Если существует и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка на кусочки, то он называется длиной дуги кривой АВ.

Элемент длины дуги кривой dl находится по теореме Пифагора: dl = √ (dx)2 + (dy)2. Дифференциал функции y=f(x) (или x=x(t)) находится по формуле dy=f’(x)dx (соответственно, получаем формулы)

Если гладкая прямая является графиком функции y=f(x),

a ≤x≤ b то её длина l равна

12. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически и в полярной системе координат.

Элемент длины дуги кривой dl находится по теореме Пифагора: dl = √ (dx)2 + (dy)2. Дифференциал функции y=f(x) (или x=x(t)) находится по формуле dy=f’(x)dx (соответственно, получаем формулы)

Если кривая задана параметрическими уравнениями х =x(t), y=y(t), α≤t≤β, то

В случае пространственной кривой х =x(t), y=y(t), z=z(t), α≤t≤β,

Если кривая задана в полярных координатах уравнением р=p(φ), φ1≤φ≤φ2, то

13. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла по известным площадям поперечных сечений.

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Пусть тело Т находится между двумя плоскостями х = а и х = b. Тогда его объем вычисляется по формуле

где S(с) — площадь сечения тела плоскостью х = с, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку с € [а; b] на этой оси. В частности, отсюда получаются формулы для объема тел вращения.

Объем тела вращения. Объём тела, полученного, при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривыми находятся по формуле

14. Вычисление массы, статических моментов и координат центра тяжести неоднородной материальной нити.

15. Вычисление массы, статических моментов и координат центра тяжести однородной материальной пластины.

16. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Определение и формула Ньютона-Лейбница. Исследование сходимости интегралов

Понятие определенного интеграла от ограниченной функции по конечному отрезку [a;b] распространяют на случаи, когда либо промежуток интегрирования является бесконечным ("бесконечность — сбоку"), либо функция является неограниченной ("бесконечность — сверху"). Различают несобственные интегралы первого и второго родов. Общая конструкция интеграла как предела интегральных сумм в этих случаях "не проходит". Из положения выходят так: сначала бесконечность "отрубают", а затем несобственные интегралы определяют как пределы определенных интегралов в старом смысле (собственных интегралов) с переменными пределами интегрирования.

Пусть функция f(x) непрерывна на полупрямой Несобственным интегралом от функции f(x)по бесконечному промежутку , или несобственным интегралом первого рода, называется предел

Если указанный предел существует и равен некоторому числу, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Точку х = +∞ мы будем называть особой точкой несобственного интеграла. Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда особая точка х = -∞ находится в левом конце промежутка интегрирования. Для несобственных интегралов сохраняется формула Ньютона-Лейбница

где под значением функции F(х) в точке х = +∞ понимается предел

1. Что такое дифференциальное уравнение и его решение ? Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (задача о радиоактивном распаде и задача о колебании груза напружине).

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение

связывающее независимую переменную х, функцию у — у(х) и её производные у', у",..., у(n). Порядок n старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функция у=φ(х), при подстановке которой в уравнение получается тождество. Решить уравнение — это значит найти все его решения. Решение уравнения часто получается в виде функции, заданной неявно уравнением Ф(х,у) = 0. Решения уравнения иногда называют его интегралами.

2. Задача Коши и теорема Коши (формулировка) для дифференциального уравнения первого порядка. Общее решение диф-ференциального уравнения первого порядка

(см. 5 п)

Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производные и в общем виде записывается следующим образом:

где x – независимая переменная, – искомая функция, у’– ее производная.

Разрешая это уравнение (если возможно) относительно y’ , получим (1)

Полученное уравнение является частным случаем более общего дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную:

Всякое решение уравнения (1), получающееся из общего решения при конкретном значении C=C0, называется частным решением. Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно y, т.е. , то оно называется общим интегралом уравнения.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

где а0(х), а1(х) и b(х) — непрерывные функции (в некотором интервале). Деля на а0(х)≠ 0, мы можем переписать это уравнение в виде (I)

Метод Бернулли решения дифференциального уравнения (1) состоит в следующем. Ищем решение у = у(х) уравнения (1) в виде произведения двух функций у = и(х)v(х). Функции и(х) и v(x) находятся из того условия, что у должно быть решением уравнения, т. е. при подстановке у в уравнение должно получаться тождество. Подставляем функцию y=uv и ее производную у'=и'v+uv’в уравнение (1) и получаем

Группируем второе и третье слагаемые ("серединку"):

и • (V' + а(х)v). Ищем v(х) такую, чтобы это выражение обратилось в нуль, т.е. функция v(х) должна быть решением уравнения : v’+a(x)v=0

Тогда у= иv является решением уравнения (1), если и(х) является решением уравнения и'v = b(х). Итак, и и v являются решениями системы (2)

Cначала решаем первое из уравнений этой системы, т. е. уравнение (1о) и находим v = v(х). Это уравнение с разделяющимися переменными. При нахождении v(x) мы произвольную постоянную не учитываем (считаем, что С = 0; произвольная поcтоянная появится при следующем интегрировании). Затем из второго уравнения системы (а это есть простейшее уравнение) находим и = и(х). Наконец, записываем ответ: у = и(х)v(х).

Дифференциальное уравнение вида (3)

называется уравнением Бернулли. В частном случае, когда п = 0 или п = 1 получаем линейное уравнение.

Уравнения Бернулли решаются также методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения Подставляя в уравние, получаем

Функции и и v находятся из системы (4)

Отличие от линейных уравнений состоит в том, что в данном случае второе уравнение системы является не простейшим, а уравнением с разделяющимися переменными.

4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Функция f(х,у) называется однородной функцией степени k; если для любого λ имеет место тождество т. е. если при умножении x и у на одну и ту же постоянную λ функция умножается на

то функция называется просто однородной.

Простейший пример однородной функции — это однородный многочлен, т. е. многочлен все члены которого имеют одну и ту же степень k.

5. Задача Коши и теорема Коши для дифференциального уравнения порядка n (формулировка). Общее решение дифференциального уравнения.

Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка п, разрешённого относительно старшей производной,

(1) называется задача отыскания решения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

т. е. задаются значения функции и ее производных до порядка n — 1 включительно в некоторой ("начальной") точке хо. Число условий равно порядку уравнения.

Теорема Коши. Если функция и её частные производные по переменным непрерывны в некоторой окрестности точки то в

некоторой окрестности точки х0 существует, и притом единственное, решение у = у(х) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Из теоремы Коши следует, что общее решение уравнения (1) зависит от n произвольных постоянных

С1., С2, …Сn: (3)

В теореме Коши роль произвольных постоянных играют начальные значения у0, у'0,..., у0(n-1).

Для того чтобы решить задачу Коши (1) и (2), сначала находят общее решение (3), а затем находят произвольные постоянные из начальных условий (2),

т. е. С1, C2,….Cп находят из системы п уравнений:

Простейшим дифференциальным уравнением порядка п называется уравнение вида

Его общее решение получается в результате п последовательны интегрирований. При каждом интегрировании появляется, новая постоянная.

6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

(y(n) =f(x), F(х ,у',у") = 0, F(у,у',у") = 0).

Д.У не завис. От у

Если k — наименьший порядок производной, входящей в уравнение, то уравнение можно записать в виде

Делаем замену — новая неизвестная функция. Тогда , что понижает порядок

уравнения на k единиц:

Так как порядок уравнения стал меньше, то уравнение стало проще. Пусть z = z(х) — его общее решение. Тогда, чтобы решить исходное уравнение, остается найти у из простейшего уравнения у(k) = z(х).

В случае уравнений второго порядка (n = 2) (1)

замена у' = z сводит уравнение (1) к уравнению первого по-рядка .F(x, z, z') = 0.

Д.У не завис. От х

Такие уравнения второго порядка имеют вид (1)

Порядок уравнения понижается заменой обеих переменных: считаем у независимой переменной, а — некоторой неизвестной функцией от у. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

или, сокращенно,

Р = Р(У):

Таким образом, замена , где р = р(у), (и тогда сводит уравнение (1) к уравнению первого порядка (2)

Пусть р = р(у} — общее решение уравнения (2). Тогда, чтобы решить исходное уравнение, остается решить уравнение первого порядка с разделяющимися переменными у ‘= р(у).

7. Линейные дифференциальные уравнения (второго поряка). Линейность пространства решений однородного уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением 2ого порядка называется уравнение вида (1)

Уравнение (10)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением (сокращенно ЛОДУ)2ого порядка, соответствующим уравнению (1). Уравнение (1) при этом называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (сокращенно ЛНДУ). Линейное уравнение (1о) называют также уравнением без правой части, а уравнение (1) — с правой частью.

Решение уравнения (1) начинается с уравнения (1о).

Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

8. Линейная зависимость и определитель Вронского.

функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, что означает линейную независимость функций .

9.-10 Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Фундаментальная система решений.

Пусть имеется ЛНДУ порядка п

(1) где ai(х) — непрерывные функции на отрезке [а; Ь], а

(1о) — ЛОДУ, соответствующее уравнению (1).

Теорема

1) Если у*(х) есть решение ЛНДУ (1), уо(х) есть решение ЛОДУ (1о), то сумма есть решение ЛНДУ.

2) Если у*(х) есть какое-то одно решение ЛНДУ (1), то любое другое решение у — у(х) ЛНДУ (1) можно представить в виде

есть некоторое решение ЛОДУ (1о). Таким образом, общее решение ЛНДУ есть сумма частного (т.е. какого-то одного) решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ:

или, в других обозначениях, (где "он" означает" - общее неоднородного", "чн — частное неоднородного", "оо — общее однородного").

Если уравнение (1) есть, например, уравнение второго порядка (n = 2), то общее решение ЛНДУ имеет вид

где — фундаментальная система решений соответствующего ЛОДУ. Таким образом, чтобы найти все решения ЛНДУ достаточно найти одно его решение и два решения соответствующего ЛОДУ.

11. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x) (1)

Решение неоднородного уравнения (1) начинается с решения соответствующего ЛОДУ (1о)

Пусть у1 = У1(x), у2 — У2(x) — его фундаментальная система решений. Тогда общее решение уравнения (1о) имеет вид

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

Идея состоит в том, чтобы искать решение у = у(х) ЛНДУ (1) в таком же виде, но где С1 и С2 уже не постоянные, а некоторые неизвестные функции: (2)

Производные С1’(х) и С2’(х) неизвестных функций являются решениями системы линейных уравнений

(3)

Определитель этой системы есть определитель Вронского функций y1 (x) и У2(x), неизвестными являются производные С1’, C2’, а в правых частях уравнений стоят 0 и f(x) — правая часть ЛНДУ. Пусть — решение системы (3). Интегрируя, находим

и по формуле (2) получаем общее решение у(х) ЛНДУ. Если при интегрировании не учитывать произвольные постоянные (считать их равными нулю), то получаем частное решение у*(c) ЛНДУ.

12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Вывод характеристического уравнения. Общее решение в случае действительных различных корней.

Пусть в уравнении

коэффициенты ai(х) = ai = const: (1о)

Показательная функция у — еλх является решением ЛОДУ (0о) тогда и только тогда, когда λ является корнем характеристического уравнения (2)

Характеристическое уравнение (2) получается из уравнения (1о), если производные у(i) заменить на степени λi переменной λ.

Если λ.0 является корнем кратности k уравнения (2), то ему соответствует k решений

уравнения (1о). Если λ1,2= α±β пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (2), то им соответствуют два решения у1 — еах соsβх и у2 = еах sinβx уравнения (1о).

Пусть — характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка

Тогда два

решения линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений) и общее решение имеет вид

13. ЛОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка. Фундаментальная система решений в случае совпадающих действительных корней и в случае комплексных корней характеристического

уравнения

Пусть — характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка

2. Корни уравнения действительные и равные

Тогда образуют фундаментальную систему решений и общее решение имеет вид

3. Корни уравнения комплексные

Тогда функции

Образуют фундаментальную систему решений и общее решение имеет вид

14. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов (формулировка).

ЛНДУ

(1) с постоянными коэффициентами аi, и специальной правой частью f(x).

сначала нужно решить соответствующее ЛОДУ

(1о) Затем нужно найти частное решение у* ЛНДУ. Это всегда можно сделать методом вариации произвольных постоянных. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид у = у* + уо, где уо — общее решение уравнения (1о).

Функции специального вида называются квазимногочлена-ми.

Квазимногочленом степени d и веса μ =r+iω называется функция вида

(2)

где (3) есть многочлены степени d. Таким образом, вес — это комплексное число μ =r+iω, действительная часть которого г — это коэффициент перед х в показательной функции еrrх, а мнимая часть ω — коэффициент перед х у cosωх или sinωх.

Суть "метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что, если ЛНДУ имеет специальную правую часть, то у* можно найти в "таком же виде", как и правая часть уравнения. Зная вид у*, мы находим входящие в у* неизвестные (они же неопределенные коэффициенты), пользуясь тем, что у* должно быть решением дифференциального уравнения, т.е. при подстановке в уравнение должно получаться тождество.

1. Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и изображения. Изображения для единичной функции (Хевисайда) и показательной функции.

Правило L — это преобразование Лапласа. Оно преобразует функцию f(t) в несобственный интеграл, зависящий от параметра р. Чтобы обеспечить сходимость интегралов, мы наложим на функции f(t) следующие условия:

1) f(t) — непрерывна, за исключением точек разрыва первого рода;

2) f(t) растет при t -> +∞ не быстрее показательной функции: существуют такие числа

М > 0 и s0 ≥ 0, что для всех t выполняется неравенство Число s0 называется показателем роста f(t);

3) f(t) ≡ 0 при t < 0.

Под единичной функцией η(t) = 1 понимается функция, принимающая значение 1 при t ≥ 0 и 0 при t < 0. Эта функция называется функцией Хевисайда. Аналогично, f(t) =sint — это "обычный" синус при t ≥ 0 и f(t) = 0 при t < 0.

Оригиналом называется функция f(t), удовлетворяющая перечисленным выше условиям.

Изображением функции-оригинала f(t) называется функция F(р), которая получается при преобразовании Лапласа функции f(t):

2. Теоремы линейности и подобия. Изображения синуса и косинуса.

Свойство линейности. Изображением линейной комбинации оригиналов является соответствующая линейная комбинация их изображений:

В частности, изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений.

3. Теорема затухания (смещения). Изображения для еаtсоswt и еаtsinwt

Теорема смещения, или затухания.

т. е. при умножении оригинала на показательную функцию еа* изображение "смещается" на а.

4. Теорема о дифференцировании оригинала.

Теорема о дифференцировании оригинала.

В частности, если т. е. дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на р. Следствие.

и, вообще,

5. Теорема о дифференцировании изображения. Изображения для tп, t cos wt и tsin wt

Теорема о дифференцировании изображения

. Обычно это свойство записывают в виде и говорят, что дифференцированию изображения соответствует умно-жение оригинала на —t. Следствие.

и,вообще,

8. Нахождение оригиналов для простейших дробей типов I, II и III. Нахождение оригиналов для правильных рациональных функций (дробей) методом неопределенных коэффициентов.

Задача нахождения изображения F(р) по данному оригиналу f(t) называется прямой задачей. Обратная задача — это нахождение оригинала f(t) по данному изображению F(р).

Правильная рациональная функция

Как и при интегрировании, мы начинаем с разложения F(р) в сумму простейших дробей (методом неопределенных коэффициентов). После этого в силу свойства линейности все сводится к нахождению оригиналов для простейших дробей.

Для простейших дробей первого (k = 1) и второго

(k > 1) типа оригинал сразу получается из таблицы и теоремы смещения:

Оригиналы для простейших дробей третьего типа

Два примера дробей третьего типа мы находим в таблице:

Случай общей дроби третьего типа мы "подгоняем" под эти два примера. Мы начинаем (все как при интегрировании) с выделения полного квадрата в знаменателе:

Затем в числителе заменяем р на р — α, чтобы можно было воспользоваться теоремой смещения, и подправляем числитель так, чтобы он не изменился. Далее, разбиваем дробь в сумму двух слагаемых (почленное деление). При этом помним о том, что в формуле для синуса в числителе должна стоять ω. Наконец, с помощью табличных формул и теоремы смещения получаем искомый оригинал.

9. Общая схема решения линейных дифференциальных уравнений операционным методом.

Пусть требуется найти частное решение х = х(t) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для простоты, второго порядка)

(1) удовлетворяющего начальным условиям

(2) где x0, x'0 — заданные числа. Эта задача называется задачей Коши.

Пусть х = х(t) — искомое решение задачи Коши. Как обычно, обозначим изображения

1. Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа, т. е. запишем равенство изображений левой и правой частей уравнения. По теореме о дифференцировании оригинала найдем изображения производных:

Получаем операторное уравнение Группируя члены, операторное уравнение можно переписать в виде

где— характеристический многочлен урав-нения (1), зависит только от правой части уравнения(1) , а зависит от начальных условий (2)

и не зависит от правой части.

2. Решаем операторное уравнение и получаем операторное решение

3. По изображению X = Х(р) находим оригинал х = х(t),

который и является решением исходной задачи Коши.

Показать полностью…
Похожие документы в приложении