Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Лекция № 9 «Момент импульса частицы» по Физике (Садыков Б. С.)

Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения,-это так называемый момент импульса. Используют также названия момент количества движения, вращательный момент, угловой момент, или просто момент.

Что это за величина и каковы ее свойства?

Сначала возьмем одну частицу. Пусть - радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, а - ее импульс в этой системе. Моментом импульса частицы А относительно точки O (рис. 6.1) называют вектор , равный векторному произведению векторов и :

(6.1)

Рис. 6.1.

Определение вектора момента импульса

Из этого определения следует, что является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки O в направлении вектора образуют правовинтовую систему. Модуль вектора равен

, (6.2)

где - угол между векторами и плечо вектора относительно точки О (рис. 6.1).

Выведем уравнение, описывающее изменение во времени вектора . Его называют уравнением моментов. Для вывода необходимо выяснить - какая механическая величина ответственна за изменение вектора в данной

системе отсчета. Продифференцируем уравнение (6.1) по времени:

Так как точка O неподвижна, то вектор равен скорости частицы, т. е. совпадает по направлению с вектоpом , поэтому

Используя второй закон Ньютона, получим где равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом силы относительно точки О (рис. 6.2). Обозначив ее буквой , запишем

Рис. 6.2.

Определение вектора момента cилы

Вектор как и , является аксиальным. Модуль этого вектора, аналогично (6.2), равен

(6.4)

где плечо вектора относительно точки O (рис. 6.2). Итак, производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета равна моменту равнодействующей силы относительно той же точки O:

(6.5)

Это уравнение называют уравнением моментов. Заметим, что если система отсчета является неинерциальной, то момент силы включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же точки O.

Из уравнения моментов (6.5), в частности, следует, что если то . Другими словами, если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.

Уравнение моментов (6.5) позволяет получить ответ на два вопроса:

1) найти момент силы относительно интересующей нас точки O в любой момент времени t, если известна зависимость от времени момента импульса частицы относительно той же точки;

2) определить приращение момента импульса частицы относительно точки O за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы , действующего на эту частицу относительно той же точки O.

Решение первого вопроса сводится к нахождению производной по времени от момента импульса, т. е. , которая и равна, согласно (6.5), искомому моменту силы .

Решение же второго вопроса сводится к интегрированию уравнения (6.5). Умножив обе части этого уравнения на dt, получим - выражение, которое определяет элементарное приращение вектора . Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора за конечный промежуток времени t:

(6.6)

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют импульсом момента силы. В итоге получено следующее утверждение: приращение момента импульса частицы за любой промежуток времени равно импульсу момента силы за это же время.

Рассмотрим теперь понятия момента импульса и момента силы относительно оси. Выберем в некоторой инерциальной системе отсчета произвольную неподвижную ось . Пусть относительно некоторой точки О на оси момент импульса частицы А равен , а момент силы, действующий на частицу, .

Моментом импульса относительно оси z называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки О данной оси (рис. 6.8). Аналогично вводят и понятие момента силы относительно оси. Их

Рис. 6.8.

Определение момента импульса и момента силы относительно оси

обозначают соответственно и . Далее мы увидим, что значения этих проекций и не зависят от выбора точки О на оси z.

Выясним свойства этих величин. Спроектировав (6.5) на ось z, получим

(6.7)

т. е. производная по времени от момента импульса частицы относительно оси z равна моменту силы относительно этой оси. В частности, если то . Другими словами, если момент силы относительно некоторой неподвижной оси z равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным. При этом сам вектор может и меняться.

Найдем теперь аналитические выражения для и . Нетрудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проекций на ось z векторных произведений и .

Воспользуемся, цилиндрической системой координат связав с частицей А (рис. 6.10) орты направленные в сторону возрастания соответствующих координат. В этой системе координат радиус-вектор и импульс частицы записывают так:

где - проекции вектора на соответствующие орты. Из векторной алгебры известно, что векторное произведение можно представить

Рис. 6.10.

Нахождение аналитических выражений для проекций и

определителем

Отсюда сразу видно, что момент импульса частицы относительно оси z

(6.8)

где - расстояние частицы от оси z. Преобразуем это выражение к виду, более удобному для практических применений. Учитывая, что получим

(6.9)

где - проекция угловой скорости, с которой поворачивается радиус-вектор частицы.

Аналогично (6.8) записывается и момент силы относительно оси z:

(6.10)

где проекция вектора силы на орт

Обратим внимание, что проекции и действительно не зависят от выбора точки О на оси z, относительно которой определены векторы и . Кроме того, видно, что и - величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам проекций и .

6.2. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

,

(6.11) где все векторы определены относительно одной и той же точки O выбранной инерциальной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы - величина аддитивная. Это означает, что момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса системы. Для этого продифференцируем (6.11) по времени:

В предыдущем параграфе было показано, что производная равна моменту всех сил, действующих на частицу. Приравняем эту производную сумме моментов внутренних и внешних сил, т. е. . Тогда

Здесь первая сумма - это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки O, вторая сумма - суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки O.

Покажем, что суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. По определению, внутренние силы - это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.

В результате последнее уравнение принимает вид

, (6.12)

где суммарный момент всех внешних сил.

Уравнение (6.12) утверждает: производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Разумеется, оба момента, и , здесь определены относительно одной и той же точки O инерциальной системы отсчета.

Как и в случае одной частицы, из уравнения (6.12) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени

(6.13)

т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента, и , определены относительно одной и той же точки О выбранной системы отсчета.

Уравнения (6.12) и (6.13) справедливы в инерциальной системе отсчета. Для того, чтобы их можно было использовать и в неинерциальной системах отсчета нужно учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под в этих уравнениях следует понимать сумму , где суммарный момент внешних сил взаимодействия - , - суммарный момент сил инерции относительно одной и той же точки О системы отсчета.

В итоге получен важный вывод: согласно уравнению (6.12), момент импульса системы может изменяться только под действием суммарного момента всех внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод - закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е, не меняется со временем. Причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.

Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц

При этом моменты импульса отдельных частей или частиц замкнутой системы могут изменяться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти изменения всегда происходят так, что приращение момента импульса одной части системы равно убыли момента импульса ее другой части (конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета).

В этом смысле уравнения (6.12) и (6.13) можно рассматривать как более общую формулировку закона изменения момента импульса, формулировку, в которой указана и причина изменения момента импульса интересующей нас системы - действие других тел через момент внешних сил взаимодействия. Сказанное, разумеется, справедливо только по отношению к инерциальным системам отсчета.

Подчеркнем еще раз: закон сохранения момента импульса имеет место только по отношению к инерциальным системам отсчета. Однако это не исключает случаев, когда момент импульса системы сохраняется и в неинерциальных системах отсчета. Для этого достаточно, чтобы согласно уравнению (6.12) - а оно справедливо и в неинерциальных системах отсчета - суммарный момент всех внешних сил, включающий в себя и силы инерции, был равен нулю. Такие ситуации реализуются довольно редко и соответствующие случаи имеют весьма частный характер.

Закон сохранения момента импульса играет такую же важную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд существенных заключений о свойствах тех или иных процессов, совершенно не вникая в их детальное рассмотрение

Особый интерес представляют случаи, когда момент импульса сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как известно, импульс меняется со временем. Если относительно некоторой точки O выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил в течение интересующего нас промежутка времени, то, согласно (6.12), момент импульса системы относительно точки O сохраняется за это время. В незамкнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не быть, что следует прежде всего выяснить для каждой конкретной задачи.

В более ограниченном случае у незамкнутых систем может сохраняться не сам момент импульса , а его проекция на некоторую неподвижную ось z. Это бывает тогда, когда проекция суммарного момента всех внешних сил на эту ось z равна нулю. В самом деле, спроектировав уравнение (6.12) на ось z, получим

(6.15)

Здесь и - момент импульса, и суммарный момент внешних сил относительно оси z:

(6.16)

где и - момент импульса и момент внешних сил относительно оси z для частицы системы.

Из уравнения (6.15) следует, что если относительно некоторой неподвижной в данной системе отсчета оси z проекция то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:

(6.17)

При этом сам вектор , определенный относительно произвольной точки O на этой оси, может меняться. Например, если система движется в однородном поле тяжести, то суммарный момент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точки О перпендикулярен вертикали, а значит, относительно любой вертикальной оси и чего нельзя сказать о векторе .

До сих пор при выводе закона сохранения момента импульса мы опирались на справедливость законов Ньютона. А как обстоит дело в системах, не подчиняющихся этим законам, например в системах с электромагнитным излучением, в атомах, ядрах и др.?

Учитывая громадную роль, которую играет закон сохранения момента импульса в механике, в физике понятие момента импульса расширяют на немеханические системы, которые не подчиняются законам Ньютона, н постулируют закон сохранения момента импульса для всех физических процессов.

Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является следствием законов Ньютона, а представляет собой самостоятельный общий принцип, являющийся обобщением опытных фактов. Наряду с законами сохранения энергии и импульса закон сохранения момента импульса является одним из важнейших фундаментальных законов природы.

Собственный момент импульса

В предыдущем параграфе было установлено, что момент импульса системы изменяется только под действием суммарного момента всех внешних сил; именно этот вектор определяет поведение вектора . Теперь рассмотрим некоторые наиболее существенные свойства этих величин и те важные выводы, которые из них вытекают.

Вычислим суммарный момент внешних сил. Как и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще говоря, от выбора точки, относительно которой его определяют. Пусть - суммарный момент сил относительно точки O, а - относительно точки O', радиус-вектор которой (рис. 6.13). Найдем .связь между и .

Рис. 6.13.

Определение момента сил относительно разных точек

Радиус-векторы точки приложения силы связаны соотношением (рис. 6.13). Поэтому выражение для можно записать в таком виде:

или

(6.18)

где - результирующая всех внешних сил.

Из формулы (6.18) видно, что если то суммарный момент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к системе приложена пара сил.

Интересной и важной особенностью в этом отношении обладает С-система - это система отсчета, жестко связанная с центром масс системы частиц и перемещающаяся поступательно по отношению к инерциальным системам. Так как в общем случае С-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействия и силы инерции . С другой стороны, в С-системе система частиц как целое покоится, а это значит, что Имея в виду (6.18), получаем следующий важный вывод: в С-системе суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, не зависит от выбора точки О.

И другой важный вывод: в С-системе суммарный момент сил инерции относительно центра инерции всегда равен нулю.

В самом деле, сила инерции, действующая на каждую частицу системы, - ускорение С-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра инерции С

Исходя из определения радиус-вектора центра масс , а так как в нашем случае то и .

Введем понятие собственного момента импульса системы частиц. Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки О, относительно которой его определяют. При переносе этой точки на расстояние новые радиус-векторы частиц определяются через старые формулой . Поэтому момент импульса системы относительно точки O можно представить так:

или

(6.20)

где - момент импульса системы относительно точки О', а - полный импульс системы.

Из формулы (6.20) следует, что если полный импульс системы то ее момент импульса не зависит от выбора точки O. А этим как раз и отличается С-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда можно сделать третий важный вывод: в С-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Этот момент будем называть собственным моментом импульса системы и обозначать .

Установим связь между . Пусть - момент импульса системы частиц относительно точки O К-системы отсчета. Так как собственный момент импульса в C-системе не зависит от выбора точки О', возьмем точку совпадающей в данный момент с точкой О К-системы. Тогда радиус-векторы каждой частицы в обеих системах отсчета будут одинаковы в этот момент ( ), скорости же частиц связаны формулой

,

(6.21) где - скорость C-системы относительно К-системы. Поэтому можно записать:

. (6.22)

Первая сумма в правой части этого равенства - собственный момент импульса . Вторую сумму представим как или , где масса всей системы, - радиус-вектор ее центра масс в К-системе, - суммарный импульс системы. В результате получим

(6.23)

т. е. момент импульса системы частиц складывается из ее собственного момента импульса и момента , обусловленного движением системы частиц как целого.

Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса относительно некоторой точки этой плоскости складывается из момента импульса, связанного с движением центра масс шара, и собственного момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг собственной оси.

Из формулы (6.23) в частности, следует, что если центр инерции системы покоится (импульс системы ), то ее момент импульса - это собственный момент импульса. Такой случай уже рассматривался выше. В другом крайнем случае, когда , момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого, т. е. вторым слагаемым (6.23). Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение.

Рассмотрим уравнение моментов в С-системе. Ранее было отмечено, что уравнение (6.12) справедливо в любой системе отсчета. Значит, оно справедливо и в С-системе. Поэтому сразу можно записать:

где - суммарный момент внешних сил в С-системе.

Так как С-система в общем случае неинерциальная, то в входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и момент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа было показано, что момент сил в С-системе не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Обычно в качестве такой точки берут точку С - центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю, поэтому следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия . Итак,

,

(6.24) т. е. производная по времени от собственного момента импульса системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаимодействия относительно центра инерции данной системы.

В частности, если , то т. е. собственный момент импульса системы сохраняется.

В проекциях на ось z, проходящую через центр инерции системы, уравнение (6.24)имеет вид

(6.25)

где -суммарный момент внешних сил взаимодействия относительно неподвижной в С-системе оси z, проходящей через центр масс. И здесь если то

Показать полностью…
Похожие документы в приложении