Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Лабораторная № 1 «Построение статистического ряда распределения предприятий» по Теории вероятностей и математической статистике (Пуляшкин В. В.)

2 Расчетная часть

Задание 1

Для анализа эффективности функционирования предприятий одной из отраслей экономики произведена 10%-ная механическая выборка в результате которой получены следующие данные за год, млн. руб.

По исходным данным (табл. 1) необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предприятий по Выручки от продажи продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 2.1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Таблица 2.1

№ предприятия

Выручка от продажи продукции

Чистая прибыль

1 28,8 3,4 2 50

10,5 3 17 1,6

4 24,4 2,8 5 42

8,1 6

33,1 5,3 7 39,5

4,6 8 34,2 5,3

9 77 21,4 10 57,3

13,2

11 55,1 11,4 12

53,4 10,2 13 33,8

5,5 14 46,5 7,4

15 38,9

4,3 16 42,6 6,8

17 52,5 9,3 18

43 7,3 19 35,3

5,4 20

38,1 3 21 28,2

3,7 22 46,1 8,7

23 39,2 3,4 24

39,7

7,2 25 28,8 3,3

26 37,6 5 27 54,1

15,7 28 56,8 10,5

29 65,7

18,6 30 24,4 2

Решение

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения городов по признаку Выручка от продажи продукции.

1. Построение интервального ряда распределения предприятий по численности населения

Для построения интервального ряда распределения определяем величину интервала h по формуле:

, где - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k - число групп интервального ряда.

При заданных k = 5, xmax = 77 млн. руб. и xmin = 17 млн. руб.

h = млн. руб.

При h = 12 млн. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2.3):

Таблица 2.3

Номер группы

Нижняя граница, млн. руб.

Верхняя граница, млн. руб.

1 12 29 2 29

41 3

41 53 4 53 65

5 65 77

Определяем число предприятий, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому предприятия со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (29, 41, 53, 65 млн. руб.), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа предприятий в каждой группе строим разработочную таблицу 3 (данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2).

№ группы

Группировка

предприятий

по выручке

Выручка от продажи продукции

Чистая прибыль

1 17-29 17

1,6 24,4 2,8

24,4

2 28,2 3,7

28,8 3,4

28,8 3,3 Итого

151,6

16,8 2

29-41 33,1 5,3

33,8 5,5

34,2

5,3 35,3 5,4

37,6 5 38,1

3 38,9 4,3

39,2

3,4 39,5 4,6

39,7 7,2 Итого

369,4 49 3 41-53

42 8,1

42,6 6,8

43 7,3 46,1

8,7 46,5 7,4

50

10,5 52,5 9,3

Итого 322,7

58,1 4 53-65 53,4

10,2

54,1 15,7

55,1 11,4

56,8 10,5 57,3

13,2

Итого 276,7

61 5 65-77 65,7

18,6 77 21,4

Итого

142,7 40

На основе групповых итоговых строк "Всего" табл. 2.3 формируем итоговую таблицу 2.4, представляющую интервальный ряд распределения предприятий по выручки от прибыли.

Таблица 2.4

Ряд распределения предприятий

№ группы

Группы предприятий

число предприятий

удельный вес

x f 1 12-29

6 0,2 2 29-41

10 0,333333 3 41-53

7 0,233333

4 53-65 5 0,166667

5 65-77 2 0,066667

Всего 30 1

Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 2.5

Структура предприятий

Номер группы

Группы городов по численности населения тыс.чел,

x Число городов,

f Накопленная частота

Sj Накопленная частость, %

в абсолютном выражении

в % к итогу

1 2 3 4 5

6 1 17-29 6 0,2

6 20 2 29-41 10

0,333333

16 53,3 3 41-53

7 0,233333 23 76,6

4 53-65 5 0,166667

28 93,3

5 65-77 2 0,066667

30 100 ИТОГО

30 100

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий, что распределение предприятий по выручки не является равномерным.

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения фирм по изучаемому признаку.

Рис. 1

Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абцисс. Абцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения. Мода приблизительна равна 35 млн. руб.

Расчет конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

где хМo - нижняя граница модального интервала,

h - величина модального интервала,

fMo - частота модального интервала,

fMo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 2.4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 29-41млн. руб., т.к. он имеет наибольшую частоту (f3=10). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная выручка характеризуется средней величиной 39,5 млн. руб.

Для определения медианы графическим методом строим по данным табл. 2.5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения городов по изучаемому признаку.

Рис. 2

Для ее определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50% проводится прямая, параллельная оси абцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абцисс. Абцисса точки пересечения является медианой. Медиана приблизительна равна 40 млн. руб.

Расчет конкретного значения медианы для интервального ряда распределения производится по формуле

,

где хМе- нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

fМе - частота медианного интервала,

SMе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 29-41 млн. руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота Sj= 16 впервые превышает полусумму всех частот ().

Расчет медианы:

Вывод. В рассматриваемой совокупности городов половина предприятий имеют выручку не более 39,8 млн. руб., а другая половина - не менее 39,8 млн. руб.

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , ?, ?2, V? на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( - середина интервала).

Таблица 2.6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

№ Xi-Xi-1 F

Середина интервала

X Xf

(x-x)2f 1 1729

6 23 138 2120,64

2 29-41 10 35

350 462,4

3 41-53 7 47 329

189,28 4 53-65

5 59 295 1479,2

5 65-77

2 71 142 1705,28

Итого 30

1254 5956,8 Средняя выручка (средняя арифметическая взвешенная) определяется по формуле:

(млн. руб.)

Среднее квадратическое взвешенное отклонение по формуле:

В среднем, отклонение от средней выручки составляет 14,1 млн. руб.

Коэффициент вариации определяется по формуле:

или 33,7%

Вывод. Анализ полученных значений показателей и ? говорит о том, что средняя величина выручки составляет 41,8 млн. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 14,1 млн. руб. (или 33,7 %), наиболее характерная численность находится в пределах от 27,7 до 55,9 млн. руб. (диапазон ).

Значение V? = 33,7% превышает 33%, следовательно, вариация количества предприятий в исследуемой совокупности предприятий значительна и совокупность по данному признаку неоднородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (= 41,8 млн. руб., Мо=35,9 млн. руб., Ме=39,8 млн. руб.), что подтверждает вывод об неоднородности совокупности городов. Таким образом, найденное среднее значение численности населения (41,8 млн. руб.) является нетипичной, ненадежной характеристикой исследуемой совокупности городов.

5. Вычисление средней арифметической по исходным данным средней численности населения

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

(млн. руб.)

Средняя выручка составляет 42,1 млн. руб.

Значение средней выручки, рассчитанной в пункте 4, отличаются от средней выручки, рассчитанной в данном пункте, тем, что данные о выручке в интервале распределены неравномерно, следовательно, получаются разные значения.

Задание 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным является признак выручка результативным - признак Чистая прибыль.

1. Установление наличия и характера корреляционной связи между признаками Выручка и чистая прибыль методами аналитической группировки и корреляционных таблиц.

1а. Применение метода аналитической группировки

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 2.3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х- Численность населения и результативным признаком Y - Товарооборот. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 2.7

Зависимость прибыли от выручки

Номер группы

Группы предприятий

X Число предприятий,

fj Товарооборот, млн руб.

всего

в среднем на один город,

1 2 3 4 5=4:3

1

2 3

4

ИТОГО

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках "Всего". Построенную аналитическую группировку представляет табл. 2.8:

Таблица 2.8

№ группы

Группировка предприятий

по выручке

Число предприятий

Выручка от продажи

Чистая прибыль

Всего

В среднем

Всего В среднем

1 17-29 6 151,6

25,26667 16,8 2,8

2 29-41

10 369,4 36,94

49 4,9 3 41-53

7 322,7 46,1 58,1

8,3 4

53-65 5 276,7 55,34

61 12,2 5 65-77

2 142,7 71,35 40

20

Данные средних значений выручки от продажи продукции и чистая прибыль (выделены жирным курсивом) таблицы 2.8 показывают, что с ростом выручки растет и чистая прибыль. Следовательно, между исследуемыми признаками существует выраженная прямая корреляционная зависимость.

2) Корреляционная таблица - это специальная комбинационная таблица, в которой представлена группировка по двум взаимосвязанным признакам факторному и результативному.

Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Для факторного признака Х - выручка эти величины известны из табл. 2.4. Определяем величину интервала для результативного признака Y - прибыль при k = 5, уmax = 1,6 млн. руб., уmin = 21,4 млн. руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют вид:

Таблица 2.9

Номер группы

Нижняя граница,

млн руб. Верхняя граница,

млн руб.

1 1,6 5,56 2 5,56

9,52 3 9,52 13,48

4 13,48 17,44 5

17,44

21,4 Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее городов с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 2.10).

Таблица 2.10

Интервальный ряд распределения предприятий по величине чистой прибыли

Группы предприятий.,

У Число предприятий

fj 1,6-5,56 15

5,56-9,52 7 9,52-13,48

5 13,48-17,44

1 17,44-21,4 2

ИТОГО 30 Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 2.11).

Таблица 2.11

Выручка от продажи

Чистая прибыль

1,6-5,56 5,56-9,52

9,52-13,48 13,48-17,44

17,44-21,4

Итого 17-29

6 6 29-41

9 1 10 41-53

6 1

7 53-65

4 1 5 65-77

2 2 Итого

15 7

5 1 2 30 Частоты располагаются в матрице явно по диагонали справа налево, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между заданными признаками.

Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии:

где - общая дисперсия признака Y,

- межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

, (10)

где yi - индивидуальные значения результативного признака;

- общая средняя значений результативного признака;

n - число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

, (13)

где -групповые средние,

- общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,

k - число групп.

Для расчета показателей и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

=

Рассчитаем групповые дисперсии по формуле:

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий по формуле:

Рассчитаем межрупповую дисперсию по формуле:

Рассчитаем общую дисперсию:

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Данный коэффициент означает, что на 92,5% вариации чистой прибыли обусловлено различиями в выручки от продаж и на 7,5% - влиянием прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле:

Так как полученное значение очень близко к единице, следовательно, связь между чистой прибылью и выручкой от продаж тесная.

Задание 3

По результатам выполнения 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку выборки среднего размера выручки от продажи продукции и границы, в которых он будет находиться в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли предприятий с размером выручки от продажи продукции 53 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение

1. Определение ошибки выборки для величины средней, а также границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные харак- теристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ?.

Принято вычислять два вида ошибок выборки - среднюю и предельную .

Для расчета средней ошибки выборки применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле

, где - общая дисперсия изучаемого признака,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n - число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

, ,

где - выборочная средняя,

- генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности t зависит от значения доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Наиболее часто используемые доверительные вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 2.14):

Таблица 2.14

Доверительная вероятность P

0,683 0,866 0,954

0,988 0,997 0,999

Значение t

1,0 1,5 2,0 2,5

3,0 3,5 По условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 300 предприятий.

Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 15:

Таблица 2.15

Р t n N

0,683 2 30 300

41,8 1988,1 Определим ошибку выборки среднего уровня:

где аг - дисперсия выборки.

Предельная ошибка среднего размера от продажи продукции:

(млн. руб.)

Определим доверительный интервал для генеральной средней:

или

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя выручка от продажи продукции в генеральной совокупности находится в пределах 41,8?2,4 млн. руб. или от 39,4 млн. руб. до 44,2 млн. руб.

2. Определение ошибки выборки для доли предприятий с размером выручки 53 млн. руб. и выше

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, где m - число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n - общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

, где w - доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) - доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n- число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:

По условию Задания 3 исследуемым свойством городов является равенство или превышение предприятий величины 53 млн. руб

Найдем долю предприятий с размером выручки 53 млн. руб. и выше по формуле:

0,233 или 23,3%.

Определим ошибку выборки доли:

Предельная ошибка доли:

или 7,3%

Определим доверительный интервал генеральной доли:

0,16 0,306

или 16% 30,6%

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля предприятий с размером выручки от продажи продукции 53 млн. руб. и более в генеральной совокупности находится в пределах 23,3?7,3% или от 16% до 30,6%.

Задание 4

Имеются следующие данные по промышленным предприятиям региона:

Предприятия

Выручка от продажи продукции в отчетном году, млн. руб.

Темп прироста к базисному году %

Выручки от продажи продукции в текущих ценах

Численность работников

Малые 5,9

+10 -5 Средние

8,6 +7 +10

Определите:

1. Индексы динамики производительности труда по малым и средним предприятиям в отдельности. Расчеты расчетов представьте в таблице.

2. Общие индексы динамики по сектору малых и средних предприятий в целом:

- выручки от продажи продукции;

- производительности труда;

- численности работников.

2. Абсолютное изменение выручки от продажи продукции в отчетном году по сравнению с базисным вследствие изменения:

- производительности труда;

- численности работников.

Сделайте выводы об эффективности использования трудовых ресурсов на промышленных предприятиях малого и среднего бизнеса региона.

Решение

1) Индекс динамики производительности по малым предприятиям

Индекс динамики производительности по средним предприятиям

Как видно из расчетов производительность по малым предприятиям выросла на 16%, а по средним - сократилась на 3%.

2) Общий индекс динамики выручки от продажи продукции

или 108%

Общая выручка от продажи продукции выросла на 8%.

Общий индекс динамики производительности труда

или 104% Производительность выросла на 4%.

Общий индекс динамики численности работников

или 103,8% 3) Абсолютное изменение выручки вследствие изменения производительности труда

(млн. руб.)

Абсолютное изменение выручки вследствие изменения производительности труда:

(млн. руб.)

Абсолютное изменение выручки вследствие изменения численности работников:

Как видно из расчетов ресурсы эффективно используются на предприятиях, они получают прирост выручки за счет увеличения производительности труда.

Показать полностью…
Похожие документы в приложении