Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Контрольная работа по предмету

"Эконометрика"

Вариант 8

Студент:

Специальность: финансы и кредит

Группа:

№ зачетной книжки:

Преподаватель:

Пенза 2009 г.

Задача По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

* гиперболической;

* степенной;

* показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

17 22 10 7

12 21 14 7 20

3 26

27 22 19 21 26

20 15 30 13

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

Таблица 1

0,76078 21,9-0,76078?13=11,7817

Уравнение линейной регрессии имеет вид: = 11,7817+0,76078x.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 0,76078 млн. руб. Это свидетельствует об неэффективности работы предприятия ( т. к меньше 1 млн. руб.), окупается за несколько лет.

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки см табл 1.1 столбец

Остаточная сумма квадратов =37,96

Дисперсия остатков 4,745

Рис. 1 График остатков

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

* нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от xi

* гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений x

* отсутствие автокорреляции остатков

* остатки подчиняются нормальному распределению

* случайный характер остатков

с этой целью строится график зависимости остатков ei от теоретических значений результативного признака

Рис. 2 График зависимости остатков

Остатки расположены случайным образом внутри симметричной огибающей горизонтальной полосы. Предполагается выполнение предпосылки о случайном характере остатков.

* нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от xi

с этой целью строится график зависимости остатков ei от факторов, включенных в регрессию xi.

Рис. 3 График зависимости остатков

Предполагается независимость математического ожидания от xi.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H0: . С этой целью строится t-статистика , где .

tр=0 2,2281 (? = 0,05; ?=n-1=9) предпосылка выполняется.

Таблица 2

t-статистика

0 t крит 0,05

2.2281 t ei=yi-yi^

(ei-ei cp)^2

1 1,2851 1,6516

2 -1,5188 2,3066

3 2,6106 6,8150

4 1,8929

3,5830 5 0,0890

0,0079 6 -1,7580

3,0905 7 -2,4325

5,9173

8 -2,1071 4,4399

9 3,0028 9,0168

10 -1,0640 1,1321

Сумма

1,6 10 37,9607 Среднее

1,6 10 * гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений x

Таблица 3

К проверке предпосылки МНК №3 по тесту Спирмена

r(x) r(e) r(x)-r(e)

(r(x)-r(e))^2 7

3 4 16 10 4 6

36 4

9 -5 25 2 6 -4

16 5 1 4 16 9

5 4 16 6 8 -2

4 2

7 -5 25 8 10

-2 4 1 2 -1 1

Сумма 159

Коэфф. Спирмена

0,3634 t-статистика

0,1029 t крит 0,05

2,306 Коэфф. Спирмена где

Т. к. Коэфф. Спирмена 0,5, это говорит о том, что связь слабая, либо отсутствует.

t-статистика t =

Поскольку tр tкрит, следовательно связь между остатками незначимая, т. е. наблюдается гомоскедастичность, предпосылка выполняется.

Проверим независимый характер остатков с помощью критерия Дарбина - Уотсона.

Таблица 4

dw=75,3/38=1,98

Верхние (d2=1,36) и нижние (d1=1,08) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае d2<d<2 уровни ряда остатков являются независимыми, предпосылка выполняется.

Проверим нормальный закон распределения остатков по R/S-критерию с критическими уровнями 2,67-3,685;

Рассчитаем значение RS: RS = (Emax - Emin)/ S,

где Emin - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emax - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax=

2,6 Emin= -2,4

Emax-Emin= 5 S=

2,178 RS= 2,5 Т. к. R/S -критерий находится между критическими уровнями, значит уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, предпосылки МНК выполняются.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t-статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

= 7,3

Т. к. tр(7,3) tтабл(2,3060) (при уровне значимости = 0,05, числом степеней свободы = 8) коэффициент а значим.

= = 6,9

Т. к. . tр(6,9) tтабл(2,3060) (при уровне значимости = 0,05, числом степеней свободы = 8) коэффициент b значим.

5. Вычислим коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле:

== 0,9256

Т. к. коэффициент парной корреляции 0,8, связь тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

0,8567 Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 86 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

48 F>Fтабл.=48 для ?=0,05; k1=m=1; k2=n-m-1=8

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F > Fтабл.

Определим среднюю относительную ошибку:

8,4% В среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических значений на 8,4%, точность удовлетворительная (5-15%)

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора составит 80% от его максимального значения =0,8*22=17,6 составит

=11,7817+0,7608*17,86=25,1713

Интервальный прогноз:

=2,178 для 10 - 2 =8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,86.

Тогда

7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Рис. 4 График прогноза

Таблица 5

n y x

ei/yi*100%

1 26

17 442 289 4,1

16,81 3,7 13,69

24,715 1,2851 1,652

4.9428

15,17 2 27 22

594 484 5,1 26,01

8,7 75,69 28,519

-1,5187

2,307 5.6250 44,37

3 22 10 220 100

0,1 0,01 -3,3 10,89

19,389

2,6106 6,815 11.8661

-0,33 4 19 7 133

49 -2,9 8,41 -6,3

39,69

17,107 1,8929 3,583

9.9625 18,27 5

21 12 252 144

-0,9

0,81 -1,3 1,69

20,911 0,0890 0,008

0.4238 1,17 6 26

21 546

441 4,1 16,81 7,7

59,29 27,758 -1,7850

3,09 6.7614 31,57

7 20

14 280 196 -1,9

3,61 0,7 0,49 22,433

-2,4325 5,917 12.1627

-1,33

8 15 7 105 49

-6,9 47,61 -6,3

39,69 17,107 -2,1071

4,44

14.0474 43,47 9

30 20 600 400

8,1 65,61 6,7 44,89

26,997

3,0028 9,017 10.0093

54,27 10 13 3

39 9 -8,9 79,21

-10,3

106,09 14,064 -1,064

1,132 8.1847 91,67

итого 219 133

3211

2161 1,4*10 264,9

0 392,1 219 1,6*10

37,96 83.9860 298,3

ср. знач

21,9 13 321 216,1

1,4*10 26,49 -7*10

39,21 21,9 1,6*10

3,796

8.3986 29,83 диспер

4,745

8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

* гиперболической;

* степенной;

* показательной.

Приведем графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.

Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg = lg a + b lg x.

Таблица 6

Факт Y(t)

lg(Y) Переменная X(t)

lg(X) 1 26 1.4

17 1.2304 2 27

1.4 22

1.3424 3 22 1.3

10 1 4 19 1.3

7 .8451 5 21 1.3

12 1.0792

6 26 1.4 21 1.3222

7 20 1.3 14 1.1461

8 15 1.3 7 0.8451

9 30

1.5 20 1.3010 10

13 1.1 3 0.4771

итого 219 13

133 10.5886

сред знач

21.9 1.3 13.3 1.0589

Обозначим . Тогда уравнение примет вид: Y=А + b X - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.2.

0.3900

1.3-0.3900 0.9128

Уравнение регрессии будет иметь вид : Y=0.9128+0.3900X.

Перейдем к исходным переменным ли у, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

. Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х достаточно сильная.

Коэффициент детерминации равен 0.86

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 86% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка 7.5%

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 7.5424%.

Таблица 7

y Y x X YX

X2

Ei |Ei/y|*100% Ei2

1 26 1,4 17 1,2304

1,7226 1,1540 24,7007

1,2993

4,9972 1,6881 2

27 1,4 22 1,3424

1,9215 1,8021 27,31338

-0,3138

1,1623 0,985 3

22 1,3 10 1 1,3424

1 20,083 1,9170

8,7135

3,6748 4 19 1,3

7 0,8451 1,0807

0,7142 171,4749

1,5251

8,0270 2,326 5

21 1,3 12 1,0792

1,4269 1,1646 21,5631

-0,5631

2,6816 0,3171 6

26 1,4 21 1,3222

1,8709 1,7483 26,8227

-0,8227

3,1642 0,6768 7

20 1,3 14 1,1461

1,4911 1,3136 22,8993

-2,8993

14,4966 8,4061 8

15 1,2 7 0,8451

0,9939 0,7142 17,4749

-2,4749

16,4991 6,125 9

30 1,5 20 1,3010

1,9218 1,6927 26,3171

3,6829

12,2763 13,561 10

13 1,1 3 0,4771

0,5315 0,2276 12,5572

0,4428

3,4058 0,196 Итого

219 13 133 10,5886

14,3034 11,8913

217,207

1,7932 75,4236 37,072

Сред знач

21,9 1,3 13,3 1,0589

1,4303

1,1891 21,7207 0,1793

7,5424 3,7072

Рис. 5 График Степенная

Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: у =abx . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a + х lg b. Обозначим: Y = lg , В = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии:

Y = А + В х. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3

1,3-0,0161

1,1135 Уравнение будет иметь вид: Y=1,1135+0,0161X Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

12,9865*1,0377x

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором x: сильная.

Коэффициент детерминации: R2 = 0,8294.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83% объясняется вариацией фактора X(объемом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка

9,5161

В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 9,5161%.

Таблица 8

t y Y x Yx x2

(y-yср)

E Ei |Ei/y|*100%

1 26 1,4 17 24,0545

289 16.81 24,365

2.6732

1,6350 6,2885 2

27 1,4 22 31,4900

484 26.01 29,3184

5.3752

-2,3184 8,5868 3

22 1,3 10 13,4242

100 0.01 18,8036

10.2167

3,1964 14,5289 4

19 1,3 7 8,9513

49 8.341 16,8274

1.7202

2,1726 11,4347 5

21 1,3 12 15,8666

144 0.81 20,2485

0.5648

0,7515 3,5788 6

26 1,4 21 29,7144

441 16.81 28,2531

5.0764

-2,2531 8,6658 7

20 1,3 14 18,2144

196 3.61 21,8043

3.2554

-1,8043 9,0214 8

15 1,2 7 8,2326

49 47.61 16,8274

3.3394

-1,8274 12,1827

9 30 1,5 20 29,5424

400 65.61 27,2265

7.6925

2,7735 9,2451 10

13 1,1 3 3,3418

9 79.21 14,5117

2.2852

-1,5117 11,6283

Итого 219 13

133 182,8324 2161

264.9

218,1859 45.1991

0,8141 95,1610 Сред

знач 21,9 1,3

13,3

18,2832 216,1 26.49

21,8186 4.5199 0,0814

9,5161

Рис. 6 График показательная

Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: у = а + b/х . Произведем линеаризацию модели путем замены Х= 1/х. В результате получим линейное уравнение у = а + b X. Рассчитаем его параметры

21,90+(-51)

27,38

Получим следующее уравнение гиперболической модели: 27,38-51/x

Определим индекс корреляции:

=0,8199 Связь между показателем у и фактором х сильная.

Коэффициент детерминации равен 0,67

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 67% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка

12,47% Таблицы 9

t y

x X yX X2 y-yср

Ei E |Ei/y|*100%

1 26 17 0,059

1,529

0,003 16.810 24,385

1,615 2.609 6,213

2 27 22 0,045

1,227

0,003 26.010 25,066

1,934 3.740 7,163

3 22 10 0,1 2,2

0,01

0.010 22,286 -0,286

0.082 1,299 4 19

7 0,143 2,714 0,02

8.410

20,101 -1,101 1.213

5,797 5 21 12

0,083 1,750 0,007

0.810

23,135 -2,135 4.560

10,168 6 16 21

0,048 1,238 0,002

16.810

24,956 1,044 1.091

4,016 7 20 14

0,071 1,429 0,005

3.610

23,742 -3,742 14.004

18,711 8 15 7

0,143 2,143 0,02

47.610

20,101 -5,101 23.025

34,010 9 30 20

0,050 1,5 0,003

65.610

24,834 5,166 26.684

17,219 10 13 3

0,333 4,333 0,111

79.210

10,393 2,607 6.797

20,054 Итого

219 133 1,076 20,064

0,184

264.900 219,000

0 86.804 124,651

Сред знач

22 13

0,108 2,006 0,018

26.490 21,900 0

8.680 12,465

Рис. 7 График гиперболическая

Коэффициенты эластичности для ряда математических формул

1) Гипербола:

Э=0,1627 2) Показательная функция:

Э=0,4923

3) Степенная функция:

Э=b=0,3938 4) Линейная функция:

Э=0,462 Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 10

Параметры

Модель Коэффициент

детерминации R2

Эластичность

Средняя относительная ошибка Eотн

Линейная

0,8567 8,3986 0,4620

Степенная

0,8617

7,6441 0,3981 Показательная

0,8294 9,5161 0,49228

Гиперболическая

0,6723

12,4651 0,1627

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение коэффициента детерминации R2 и меньшее значение относительной ошибка Eотн имеет степенная модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза

7

Показать полностью…
Похожие документы в приложении