Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет Финансы и кредит

Контрольная работа

По дисциплине

Эконометрика

Вариант № 1

Проверил: преподаватель Бан.Т.М

Архангельск 2009.г.

Условие задачи.

По предприятиям лёгкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

* Гиперболической;

* Степенной;

* Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Х

66 58 73 82 81

84 55 67 81 59

Y 133 107 145

162 163

170 104 132 159

116 Решение задачи.

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Для нахождения параметров уравнения линейной регрессии решим систему нормальных уравнений:

n=10

Х Y X2 XY 66

133 4356 8778 58

107 3364 6206 73

145 5329

10585 82 162 6724

13284 81 163 6561

13203 84 170 7056

14280

55 104 3025 5720

67 132 4489 8844

81 159 6561 12879

59 116

3481 6844 706 1391

50946 100623

Найдём параметры уравнения линейной регрессии, используя надстройку "Мастер диаграмм" в Excel, тип диаграммы - точечная, выделяем столбцы (А2:В11), выбираем команду "Добавить линию тренда", выбираем 2 последние команды:

- показывать уравнение на диаграмме;

- поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

Общий вид уравнения регрессии имеет вид:

коэффициент регрессии

Величина коэффициента регрессии () показывает, на сколько в среднем изменяется значение результата с изменением фактора на 1 единицу. Т.о в нашем случае, с увеличением объема капиталовложений (Х) на 1 млн.руб. объём выпуска продукции (У) возрастает в среднем на 2,1938 млн.руб., т.е. дополнительный прирост выпуска продукции на 1 млн.руб. потребует увеличения капиталовложений в среднем на 2,1938 млн. руб.

Х

Y 66 133 58 107

73 145 82 162

81 163 84 170

55 104

67 132 81 159

59 116

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков . Построить график остатков.

Вычислим остатки по формуле:

x y

m 66 133 129,0

4,0 - 15,91 58

107 111,5

-4,5 1 19,90 73

145 144,4 0,6 1

0,40 82 162 164,1

-2,1

1 4,46 81 163

161,9 1,1 0 1,17

84 170 168,5 1,5

1 2,25

55 104 104,9 -0,9

1 0,77 67 132

131,2 0,8 1 0,63

81 159

161,9 -2,9 1 8,52

59 116 113,7 2,3

- 5,50 706 1391

- -0,03

7 59,51 Оценка дисперсии остатков:

По следующим данным строим график остатков:

Y Е(t) 133 4,0

107 -4,5

145 0,6 162 -2,1

163 1,1 170 1,5

104 -0,9 132 0,8

159 -2,9

116 2,3

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

1. Случайный характер остатков (критерий поворотных точек, критерий пиков):

,

где n- количество наблюдений;

m - количество поворотных точек (пиков).

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

является поворотной точкой

является поворотной точкой

является поворотной точкой

не является поворотной точкой

является поворотной точкой

является поворотной точкой

является поворотной точкой

является поворотной точкой.

m=7

m=7>2, значит свойство выполняется

2. Независимость значений остатков (отсутствие автокорреляции). Критерий Дарбина-Уотсона.

x y

66

133 129 4 15,91

- 58 107 111,5

-4,5 19,9 72,25

73 145

144,4 0,6 0,4 26,01

82 162 164,1 -2,1

4,46 7,29 81 163

161,9

1,1 1,17 10,24

84 170 168,5 1,5

2,25 0,16 55 104

104,9

-0,9 0,77 5,76

67 132 131,2 0,8

0,63 2,89 81 159

161,9

-2,9 8,52 13,69

59 116 113,7 2,3

5,5 27,04 706 1391

- -0,03

59,51 165,33

сравниваем с двумя табличными:

Верхние (d2=1.32) и нижние (d1=0.88) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

Если 4<d>2, то находим d' =4-d и уже d' сравнивают с d1 и d2.

d'=4-2,78=1,23

В нашем случае d1<d<d2, критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. Проверим независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции

=-33,68/59,51= -0,566

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |r(1)|<rтаб, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтаб = 0,36. Имеем: |r(1)| =0.56> rтаб = 0,36 - значит уровни зависимы.

3. Подчинение остатков нормальному закону (R/S критерий).

Расчётный критерий сравниваем с двумя табличными, если расчётный критерий попадает внутрь табличного интервала, то свойство выполняется.

(2,67;3,57)

2,67 < 3,307 < 3,57, следовательно, свойство выполняется, остатки подчинены нормальному закону.

4. Проверка равенства М(Е)=0, средняя величина остатков равна 0 (критерий Стьюдента).

Если < , то свойство выполняется.

2,2281

, следовательно, свойство выполняется.

5. Гомоскедастичность остатков, то есть дисперсия остатков () одинаково для каждого значения (остатки имеют постоянную дисперсию).

Если дисперсия остатков неодинакова, то имеет место гетероскедастичность.

Если предпосылки не выполняются, то модель нужно уточнять. Применяем тест Голдфельд-Квандта:

1) упорядочить (ранжировать) наблюдения по мере возрастания фактора "Х".

2) исключить d-средних наблюдений.

, где n - количество наблюдений.

2) разделить совокупность на две группы: с малыми и большими значениями "Х" и для каждой из частей найти уравнение регрессии.

3) найти остаточную сумму квадратов отклонений () для каждого уравнения регрессии.

4) применяют критерий Фишера:

Если , то гетероскедастичность имеет место, то есть пятая предпосылка не выполняется.

x

y 66 133 58 107

73 145

82 162 81 163

84 170 55 104

67 132 81 159

59 116

Упорядочим наблюдениям по мере возрастания переменной Х:

x y 55 104 58

107 59 116 66

133 67

132 73 145 81

163 81 159 82

162 84 170 X5=67; Y5=132 и Х6=73; Y6=145 исключаем

; n=10

x y x*y

55 104 3025 5720

102,875 1,125 1,2656

58 107

3364 6206 110,975

-3,975 15,801 59

116 3481 6844 113,675

2,325

5,4056 66 133 4356

8778 132,575 0,425

0,1806 238 460

14226

27548 * -0,1 22,65

n=4

x

y x*y

81 163 6561

13203 158,25 4,75

22,563 81 159 6561

12879

158,25 0,75 0,5625

82 162 6724 13284

161,25 0,75 0,5625

84 170

7056 14280 167,25

2,75 7,5625 328

654 26902 53646

* 9

31,25

n=4

, так как

, значит, пятая предпосылка выполняется, следовательно, модель значима.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).

а0=-15,779

а1=2,1938

;

x

y

55 104 3025

129 4 15,91 243,36

58 107 3364 111,5

-4,5

19,9 158,76 59

116 3481 144,4

0,6 0,4 134,56

66 133

4356 164,1 -2,1

4,46 21,16 67 132

4489 161,9 1,1

1,17

12,96 73 145 5329

168,5 1,5 2,25

5,76 81 163 6561

104,9

-0,9 0,77 108,16

81 159 6561 131,2

0,8 0,63 108,16

82 162

6724 161,9 -2,9

8,52 129,96 84

170 7056 113,7

2,3 5,5

179,56 706 1391

50946 - -0,03 59,51

1102

, следовательно, параметр значим.

, следовательно, коэффициент регрессии значим.

Интервальная оценка:

а0: -15,779 2,31*5,87

а0: -15,779 13,559

Нижняя граница: -15,779-13,559=-29,338

Верхняя граница: -15,779+13,559=2,22

а0: (-29,3382,22), следовательно, параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Для нахождения коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции:

Проверяем значимость по критерию Стьюдента:

, следовательно, значим.

=0,99, то есть связь между переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше 0).

Находим коэффициент детерминации:

, то есть 98,01% - изменение объёма выпуска продукции (зависимой переменной "y") происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора "х", включённого в модель).

Значимость уравнения регрессии по критерию Фишера:

, следовательно, уравнение регрессии значимо, модель адекватна.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

x y

55 104

129 4 0,0385 58

107 111,5 -4,5

0,0421 59 116 144,4

0,6 0,0052

66 133 164,1 -2,1

0,0158 67 132 161,9

1,1 0,0083 73 145

168,5

1,5 0,0103 81 163

104,9 -0,9 0,0055

81 159 131,2 0,8

0,0050

82 162 161,9 -2,9

0,0179 84 170 113,7

2,3 0,0135 706

1391

* -0,1 0,1621

Так как , значит модель достаточно точная.

F-критерий намного больше табличного значения, коэффициент детерминации очень близок к 1, а относительная ошибка аппроксимации составляет 1,621%. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.

- прогноз факторного признака (объема капиталовложений).

- точечный прогноз.

(67,2;131,64) - точка должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:

131,641,862,566

131,644,77

Верхняя граница: 131,64-4,77=126,87

Нижняя граница: 131,64+4,77=136,41

То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора "Х" составит 80% от его максимального значения или 67,2, точечный прогноз среднего значения "Y" по линейной модели составит 131,64. Доверительный интервал: 126,87136,41

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

* Гиперболической;

* Степенной;

* Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Уравнение гиперболической модели парной регрессии

Произведём линеаризацию модели путём замены .

В результате получим линейное уравнение:

Рассчитаем его параметры.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

Построим график:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 98,01% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,691%.

Коэффициент эластичности для гиперболической модели регрессии:

%, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 1,025%.

Уравнение степенной модели парной регрессии:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры

-0,43703-0,4943

1,12676

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Построим график:

Определим коэффициент корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 98,6% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,62%.

Коэффициент эластичности для степенной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 1,12676%.

Уравнение показательной модели парной регрессии:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры.

Перейдём к исходным переменным x и y.

Построим график:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 98,01% объясняется вариацией фактора X (объёмом капиталовложений).

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 2,15%.

Коэффициент эластичности для показательной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 1,12%.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Сравним модели по коэффициенту детерминации, коэффициенту эластичности и средней относительной ошибке аппроксимации:

Модель парной регрессии

Критерий

Гиперболическая

0,98 1,619% 1,025%

Степенная

0,986 1,62% 1,127%

Показательная

0,980 2,15% 1,12%

Самое хорошее качество имеет степенная модель. Коэффициент детерминации наиболее близок к 1 (вариация объёма капиталовложений на 0,986% объясняет вариацию объёма выпуска продукции), наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации S=1,619% и среднее значение коэффициента эластичности .

7

Показать полностью…
Похожие документы в приложении