Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Вычисление определенного интеграла» по Математическому анализу (Борисова Л. Р.)

Контрольная работа №2.

Вариант №8

1. Найти неопределенный интеграл

Решение

Используем интегрирование по частям

Ответ:

2. Вычислить определенный интеграл

Решение

Ответ:

3. Вычислить определенный интеграл

Решение

Ответ:

4. Решить дифференциальное уравнение

Решение

Преобразуем уравнение:

Проинтегрируем полученное выражение:

Выразим y через x:

, упростим: или через y - общее решение дифференциального уравнения.

Проверим полученное решение, подставив его в исходное уравнение:

- верное равенство.

Ответ:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение

Сделаем чертеж:

Необходимо найти площадь ACD. Для этого нужно найти площадь фигуры ABCD и из нее вычесть площадь фигуры ABC. ед2

ед2

ед2

Ответ: 9,5 ед2

6. Экспериментальные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

xi 1

2 3 5 6 yi 4,0

3,4 3,2 2,7 2,3

В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b ( найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение

Найдем линейную зависимость вида y = A + B*x

Найдем неизвестные параметры А и В, используя МНК (метод наименьших квадратов).

Для этого решим систему уравнений относительно А и В:

По исходным данным проведем все необходимые расчеты и оформим их в таблице.

№ п/п

xi yi ху x2

1 1 4 4 1 2

2 3,4 6,8 4 3

3 3,2

9,6 9 4 5 2,7

13,5 25 5 6 2,3

13,8 36 Итого

17 15,6

47,7 75 По данным таблицы составляем систему уравнений:

Линейная зависимость имеет вид y = 4,18 -0,31x

Найдем суммы квадратов отклонений по двум линиям:

i

1 2 3 4 5 ?

xi 1 2 3 5 6

yi 4,0 3,4 3,2

2,7 2,3

Y1 = 4,18 -0,31x

3,87 3,56 3,25

2,63 2,32 (y - y1)2

0,0169

0,0256 0,0025 0,0049

0,0004 0,0503

3,875 3,4 3,08333

2,6875

2,55556 (y - y2)2

0,01563 0 0,01361

0,00016 0,06531

0,0947

Таким образом линейная зависимость лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные.

Сделаем чертеж:

Ответ: y = 4,18 -0,31x. Линейная зависимость лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные.

7. Найти область сходимости степенного ряда

Решение

Ряд степенной, сходимость ряда зависит от значений x.

Используем признак Даламбера для нахождения радиуса сходимости:

Чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы предел как отношения члена ряда к члену был меньше 1. Тогда:

Следовательно, ряд сходится для всех .

Установим, сходится ли ряд на концах интервала:

При получаем - по признаку Лейбница, ряд знакочередующийся с убывающими членами, предел общего члена равен нулю, следовательно, ряд сходится

При получаем сравним этот ряд с рядом - ряд сходится как обобщенный гармонический со степенью больше 1

Следовательно, т.к. существует конечный предел, не равный нулю, исхдный ряд также сходится.

Тогда степенной ряд сходится абсолютно для всех .

Ответ. Ряд сходится абсолютно для всех .

Показать полностью…
Похожие документы в приложении