Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Курсовая «Механика сплошной среды» по Теоретической механике (Яковлев Р. В.)

Исследование скалярного поля

Скалярное поле – это область, в каждой точке которой задан скаляр.

Скаляр – (от лат. scalaris – ступенчатый) величина, значение которой выражается одним числом.

Для графического изображения скалярных полей используются поверхности уровней.

Поверхность уровня – это геометрическое место точек в пространстве, соответствующих одному и тому же значению скалярной величины (Ф(x,y,z)=const).

Если положение точек скалярного поля зависит только от двух координат, то скалярное поле графически будет изображено не поверхностью, а линией уровня, каждая точка которой также будет соответствовать одному и тому же значению скалярной величины.

Для построения поверхности или линии уровня, проходящей через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки в функцию, при помощи которой задано скалярное поле, и определить значение постоянной С. Далее необходимо приравнять саму функцию к найденной постоянной С.

Полученное уравнение будет описывать поверхность или линию уровня.

Через каждую точку проходит только одна линия уровня.

Скалярное поле характеризуется градиентом.

Градиент – вектор, определяющий направление и величину быстрейшего возрастания функции в окрестностях данной точки.

Значение градиента определяется выражением:

gradФ(x,y,z)=Ф=i(Ф/x)+j(Ф/y)+k(Ф/z) (1)

Значение абсолютной величины градиента определяется выражением:

|A|=x2+y2+z2 (2)

Свойства вектора градиента

1. Вектор градиента всегда перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке.

2. Для построения вектора градиента в данной точке необходимо подставить координаты этой точки в вычисленное по формуле (1) выражение и в выбранном масштабе отложить проекции вектора от данной точки и геометрически их сложить.

Задача 1.1. Задана функция скалярного поля Ф(x,y,z)=x+z2 и точки М1 (1,1,1) и М2 (2,2,2).

Требуется:

1. Построить две линии равного уровня заданной функции, проходящие через точки М1 и М2.

2. В точках М1 и М2 построить векторы градиентов А1 и А2.

3. Определить модуль скорости возрастания заданной функции в точках М1 и М2.

Решение.

Подставим координаты точки М1 в заданную функцию скалярного поля.

С=1+12=2 Приравняем найденную постоянную С к заданной функции.

x+z2=2 – уравнение линии уровня, проходящей через точку М1.

Подставим координаты точки М2 в заданную функцию скалярного поля.

С=2+22=6 Приравняем найденную постоянную С к заданной функции.

x+z2=6 – уравнение линии уровня, проходящей через точку М2.

Найдем значение градиента.

gradФ=i((x+z2)/x)+j((x+z2)/y)+k((x+z2)/z)=i+2zk.

Тогда значение градиента в точке М1:

А1=i+2k; в точке М2:

А2=i+4k. Модуль скорости возрастания заданной функции в точке М1:

|A1|=1+22=5=2,24;

в точке М2: |A2|=1+42=9=3.

Задача 1.2.

В переменных Лагранжа задано движение частицы сплошной среды

x=3t2

y=t2+3 и моменты времени t0=0c, t2=1c.

Требуется: 1. Определить и построить траекторию движения частицы.

2. Определить и построить на траектории движения в заданные моменты времени вектор скорости и ускорения частицы.

Решение.

Из второго уравнения системы выразим t2 и подставим в первое.

t2=y-3  x=3(y-3)=3y-9.

x=3y-9 – уравнение траектории движения частицы.

Тогда в момент времени t0=0c координаты точки будут

х=3*02=0 y=02+3=3

В момент времени t2=1c координаты точки будут

x=3*12=3 y=12+3=4

Составим систему уравнений скоростей.

x=6t y=2t Тогда при t0

x=0, y=0; При t2

x=6, y=2. Составим систему уравнений ускорений.

x=6 y=2

Как видно, векторы ускорений в каждый момент времени постоянны.

Исследование напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела.

Задача 2.3. Заданы проекции Pnx, Pny, Pnz вектора напряжений в точке М по наклонной площадке, направляющие косинусы l, m, n углов единичного вектора внешней нормали к этой площадке.

Требуется:

1. Найти нормальное и касательное напряжение, действующее по площадке.

2. Графически изобразить площадку и векторы n, Pn, n и n.

3. Записать тензор напряжений, если известно, что x=-2y=3z; xy=-2xz.

Дано:

Pnx=4 МПа, Pny=-7 МПа, Pnz=9 МПа, l=3/7, m=-2/7, n=-6/7.

Решение. Найдем нормальное и касательное напряжения. Для этого воспользуемся формулами:

n=Pn·n=Pnx·l+Pny·m+Pnz·n

n=Pn2-n2

Pn=Pnx2+ Pny2+ Pnz2

n=4*3/7+(-7)(-2/7)+9(-6/7)=-4 (МПа)

Pn=42+(-7)2+92=194=13,93 (МПа)

n=194-16=178=13,34 (МПа)

Для графического изображения наклонной площадки используются направляющие косинусы. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:

x·l+y·m+z·n-p=0, где p – расстояние от плоскости до начала координат.

Пусть p=1, тогда уравнение плоскости в отрезках на осях примет вид:

x/(1/l)+y/(1/m)+z/(1/n)=1, где

1/l=a, 1/m=b, 1/n=c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат с учетом знака. По этим отрезкам необходимо построить наклонную площадку (только для случая, когда заданы все 3 направляющих косинуса).

Если вектор единичной нормали к наклонной площадке задан 2 направляющими косинусами, это значит, что нормаль лежит в одной из координатных плоскостей, а наклонная площадка проходит через координатную ось, перпендикулярную этой координатной плоскости. В этом случае единичный вектор нормали строится по его проекциям, численно равным направляющим косинусам, а наклонная площадка проводится перпендикулярно единичному вектору через координатную ось, перпендикулярную плоскости, в которой лежит нормаль.

1/l=7/3, 1/m=-7/2, 1/n=-7/6

Рассчитаем компоненты тензора напряжений и запишем его. Для этого воспользуемся заданным условием x=-2y=3z; xy=-2xz.

P= x xy xz

yx y yz zx zy z

Для любой наклонной по отношению к координатным осям площадки, проходящей через точку , проекции на оси x, y, z полного напряжения определяются таким образом:

Pnx=xl+xym+xzn,

Pny=yxl+ym+yzn,

Pnz=zxl+zym+zn,

где l, m, n – направляющие косинусы.

4=3/7 x – 2/7 xy – 6/7 xz

-7=3/7 yx – 2/7 y – 6/7 yz

9=3/7 zx – 2/7 zy – 6/7 z

Воспользовавшись заданным условием (y=-½x, z=1/3 x, xy=-2xz), получим

4=3/7 x + 4/7 xz – 6/7 xz

-7=-6/7 xz + 1/7 x – 6/7 yz

9=3/7 zx – 2/7 zy – 2/7 x

Решив эту систему, получим

x=3,31 (МПа) xz=-9,03 (МПа)

yz=-29,69 (МПа)

Тогда y=-1,66 (МПа)

z=1,1 (МПа) xy=18,06 (МПа)

И искомый тензор напряжений запишется

P= 3,31 18,06 -9,03

18,06 -1,66 -29,69

-9,03 -29,69 1,1

Исследование деформированного состояния в точке абсолютно упругого тела.

Деформированное состояние тела в точке определяется тензором деформаций, который имеет вид.

S= x ½xy ½xz ½yx y ½yz

½zx ½zy z где x, y, z – относительное удлинение вдоль осей x, y, z (линейные деформации);

xy=yx, xz=zx, yz=zy – углы сдвига в координатных плоскостях xy, xz и yz (угловые деформации).

Компоненты тензора деформаций выразим через заданные компоненты перемещений, используя для этого уравнения Коши (устанавливающие связь между перемещением и деформацией).

x=U/x, y=V/y, z=W/z;

xy=yx=U/y+V/x, xz=zx=U/z+W/x, yz=zy=V/z+W/y.

Если при вычислении компонентов линейной деформации результат получим со знаком «–», то это значит, что произошло сжатие материала; если «+», то растяжение.

Если при вычислении компонентов угловой деформации получим результат с минусом, то это означает, что прямой угол, образованный в этой плоскости соответствующими координатными осями, превращается в тупой (т.е. увеличивается); если результат с плюсом – угол превращается в острый (уменьшается).

Задача 3.1.

Задано поле перемещений S=Ui+Vj+Wk, направление n.

Требуется: 1. Определить компоненты тензора напряжений в точке и записать его.

2. Графически изобразить деформацию единичного куба в виде рисунков трех проекций куба на плоскости xOy, xOz и yOz с учетом полученных знаков линейных и угловых деформаций.

3. Определить относительное удлинение n в заданном направлении n.

Дано: U=0.001x-0.003y+0.005z

V=0.001y-0.003z W=-0.002x-0.001y-0.003z

n=0.6j-0.8k Решение.

x=(0.001x-0.003y+0.005z)/x=0.001 – вдоль оси Ох материал растянулся в 0.001 раз.

y=(0.001y-0.003z)/y=0.001 – вдоль оси Оy материал растянулся в 0.001 раз.

z=(-0.002x-0.001y-0.003z)/z=-0.003 – вдоль оси Оz материал сжался в 0.003 раза.

xy=yx=(0.001x-0.003y+0.005z)/y+(0.001y-0.003z)/x=-0.003 – в плоскости xOy между деформируемыми сторонами материала образовался тупой угол.

xz=zx=(0.001x-0.003y+0.005z)/z+(-0.002x-0.001y-0.003z)/x=0.003 – в плоскости xOz между деформируемыми сторонами материала образовался острый угол.

yz=zy=(0.001y-0.003z)/z+(-0.002x-0.001y-0.003z)/y=-0.004 – в плоскости zOy между деформируемыми сторонами материала образовался тупой угол.

S= 0.001 -0.0015 0.0015

-0.0015 0.001 -0.002

0.0015 -0.002 -0.003

Графически изобразим угловые и линейные деформации.

Определим относительное удлинение в заданном направлении n с помощью компонентов тензора деформации и заданных направляющих косинусов.

n=0.6j-0.8k, где

l=0, m=0.6, n=-0.8

n=xl2+ym2+zn2+xylm+yzmn+xzln

n=0.00102+0.0010.62-0.003(-0.8)2-0.00300.6+0.0030(-0.8)-0.0040.6(-0.8)=0.00036 – во столько раз произошло удлинение материала в заданном направлении n.

Обобщенный закон Гука.

Гук экспериментально установил связь между напряжением и деформацией, возникающей в материале под действием внешних сил.

Используя закон Гука, можно определить угловые и линейные деформации.

 x=1/E[x-(y+z)]

 y=1/E[y-(x+z)]

 z=1/E[z-(y+x)],

где Е – модуль упругости при растяжении и сжатии,

 - коэффициент Пуассона

xy=xy/G, xz=xz/G, yz=yz/G,

где G – модуль упругости при сдвиге.

G=E/[2(1+)] Задача 4.

В точке абсолютно упругой сплошной среды заданы компоненты тензора напряжений, а также модуль упругости Е и коэффициент Пуассона  материала.

Требуется:

1. Определить относительные линейные деформации x, y, z и углы сдвига xy, xz, yz.

2. Записать тензоры напряжений и деформаций.

3. Графически изобразить линейные и угловые деформации единичного куба.

Дано:

x=-1100 Па, y=900 Па, z=950 Па

xy=150 Па, yz=250 Па, xz=-300 Па

E=1,7 МПа, =0,3

Решение.

По данным задачи запишем тензор напряжений

P= -1100 150 -300

150 900 250 -300 250 950

Закон Гука устанавливает связь между напряжением и деформациями, возникающими в материале под действием нагрузок. Используя этот закон, определим линейные и угловые деформации.

x=1/(1,7106) [-1100-0,3(900+950)]=-0,9810-3 – сжатие материала вдоль оси Ох

y=1/(1,7106) [900-0,3(-1100+950)]=0,5610-3 – растяжение материала вдоль оси Оу

z=1/(1,7106) [950-0,3(900-1100)]=0,5910-3 – растяжение материала вдоль оси Оz

G=1,7106/2(1+0,3)=0,65106 – модуль упругости при сдвиге

xy=150/(0,65106)=0,2310-3 – острый угол между осями

yz=250/(0,65106)=0, 8310-3 – острый угол между осями

xz=-300/(0,65106)=-0.4610-3 – тупой угол между осями

Запишем тензор деформаций

S= -0,98 0,12 -0,23 10-3

0,12 0,56 0,19

-0,23 0,19 0,59

Деформацию куба последовательно изобразим на нескольких рисунках.

Контактная задача.

Задача 5. Задан плоский штамп с прямыми углами и штамп, очерченный по параболе четвертого порядка, имеющие одну и ту же полуширину (а) и прижимающую силу Q.

Требуется: 1. Построить графики зависимости напряжения под штампами.

2. Подсчитать прогиб упругой полуплоскости под штампом для материала, у которого модуль Юнга Е=2109 Па и коэффициент Пуассона =0,25.

Дано:

а=0,5 см, Q=1200 м

Решение. Решение контактной задачи позволяет определить напряжение, возникающее в зоне контакта тел под действием заданных нагрузок.

1. Штамп с прямыми углами.

(х)=Q/a2-x2

(0)=763,94 (кПа)

(0,1)=779,70 (кПа)

(0,2)=833,53 (кПа)

(0,3)=954,93 (кПа)

(0,4)=1273,24 (кПа)

(0,5) Вычисления показывают, что напряжение минимально в точке, через которую проходит ось штампа и увеличивается до бесконечности на границе штампа и упругой плоскости.

Бесконечно большое напряжение вызывает повреждение материала, что является недопустимым.

2. Штамп, очерченный по параболе четвертого порядка.

(х)=4Q/3a4  [(a2+2x2)a2-x2]

(0)= 39,27 (кПа)

(0,1)= 41,55 (кПа)

(0,2)= 47,51 (кПа)

(0,3)=54,04 (кПа)

(0,4)=53,72 (кПа)

(0,5)=0 (Па)

Результаты вычислений показывают, что в случае применения штампа с рабочей поверхностью, очерченной по параболе 4 степени, возникающие напряжения распределяются приблизительно равномерно в зоне контакта штампа, а на его границах равны нулю, т.е. такой вид штампа более удовлетворяет условиям равномерного распределения давления.

Посчитаем прогиб упругой полуплоскости под штампами.

W=Q(1-2)/2Еa W=5,62510-5 (для обоих штампов).

Динамика идеальной и вязкой жидкости.

Величина напора в гидравлике – это мера приведенной к единице веса механической энергии жидкости для какого-то определенного сечения.

mV12/2g+h1+P1/g= mV22/2g+h2+P2/g= mV32/2g+h3+P3/g=const

Уравнение непрерывности – расход жидкости при установившемся течении жидкости одинаков в каждом сечении трубы

V/dt=const S(dl/dt)=const  VS=const.

Линия, отстающая от трубы на расстояние полного напора, называется напорной линией.

Линия, отстающая от напорной линии на расстояние скоростного напора, называется пьезометрической.

Там, где пьезометрическая линия опускается ниже оси трубы, означает, что на данном участке трубы находится вакуум, т.е. давление меньше атмосферного.

Если пьезометрический напор оказывается меньше, чем –10 м, то происходит нарушение непрерывности жидкости, т.е. она вскипает (вода).

Существует два основных типа течения жидкости: турбулентный и ламинарный. При ламинарном движении не происходит перемешивания слоев жидкости.

Для изучения движения жидкости в трубе используют число Рейнольдса Re=Vd/=Vd/, где  - кинематический коэффициент вязкости,  - динамический коэффициент вязкости.

Если Re2320, то режим течения ламинарный, если Re2320, то турбулентный.

Величина потерь напора определяется по формуле

Hпот.=lV/2dg, где

l – длина участка трубы, на котором рассчитываются потери,

V – скорость течения жидкости,

 - коэффициент Дарси.

лам.=64/Re, турб.=0,32/ Re.

Задача 7. Задано установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости плотностью  из закрытого бака в атмосферу по горизонтальному трубопроводу переменного сечения (геометрические размеры бака и трубопровода известны). Уровень жидкости h в баке считать постоянным. Абсолютное давление Рм воздуха над поверхностью жидкости в баке измеряется манометром.

Требуется:

1. Изобразить трубу согласно данным варианта.

2. Построить пьезометрическую линию трубы и определить расход жидкости в трубопроводе.

3. Рассчитать потери напора по длине в участках трубопровода с постоянным сечением, считая жидкость вязкой при скоростях движения жидкости, рассчитанных в п.2.

4. Сравнить суммарные потери напора с полным напором.

Дано: h=2,9 м, Pм=1,55 атм., =900 кг/м3, =0,5 Пуаз, d2=40 мм, d3=30 мм

Решение. mV2/2+mgh+PV=const | :mg

V2/2g+h+PV/mg=const

Hск.= V2/2g – скоростной напор;

Нг= h – геометрический напор;

Нп= P/g – пьезометрический напор.

Нпол.=Нск.+Нг+Нп

Для первого сечения

Hск.1=0 Нг1=h Нп1=Рм/g

Для третьего сечения

Hск.3=V32/2g Нг3=0

Нп3=Рa/g

h+Рм/g=V32/2g+Рa/g  V3=2(gh+Pa+Pм)/

V3=2(900*10*2,9+1,55105-105)/900=13,42 (м/с)

Согласно уравнению непрерывности V3S3=V2S2, но S=d2/4, тогда V2=V3(d3/d2)2

V2=13,42(0,03/0,04)2=7,55 (м/с)

Для того, чтобы найти напор на участке трубы с переменным диаметром, сделаем еще несколько сечений и найдем скорость жидкости в них.

d4=(d2+d3)/2=(40+30)/2=35 (мм)

V4=V3(d3/d4)2=13,42(0,03/0,035)2=9,86 (м/с)

d5=(d2+d4)/2=(40+35)/2=37,5 (мм)

V5=V3(d3/d5)2=13,42(0,03/0,0375)2=8,59 (м/с)

d6=(d4+d3)/2=(35+30)/2=32,5 (мм)

V6=V3(d3/d6)2=13,42(0,03/0,0325)2=11,43 (м/с)

Тогда скоростные напоры в сечениях будут равны

Нск.2= V22/2g=7,552/20=2,85 (м)

Нск.3= V32/2g=13,422/20=9 (м)

Нск.4= V42/2g=9,862/20=4,86 (м)

Нск.5= V52/2g=8,592/20=3,69 (м)

Нск.6= V62/2g=11,432/20=6,53 (м)

Найдем величину полного напора

Нпол.=Нп1+Нг1=Рм/g+h

Нпол.=1,55105/90010 + 2,9 =17,22+2,9=20,12 (м)

Расход жидкости в каждом сечении трубы одинаков и равен

Q=V2S2=7,55*3,14*0,042/4=0,009 (м3/с)

Потери напора вычислим по формуле

Нпот.=lV/2dg, где  - коэффициент Дарси

Определим режим течения на участках трубы с постоянным сечением. Для этого вычислим число Рейнольдса для каждого из этих участков.

Re2=V2d2/=7,55*0,04*900/0,05=54362320режим течения турбулентный, тогда

турб.=0,32/ 5436=0,037

Тогда потери напора на 2 участке (считая длину участка l=1м)

Нпот.2=0,037*1*7,55/2*0,04*10=0,35 (м)

Re3=V3d3/=13,42*0,03*900/0,05=7246,82320режим течения турбулентный, тогда

турб.=0,32/ 7246,8=0,035

Тогда потери напора на 3 участке (считая длину участка l=1м)

Нпот.3=0,035*1*13,42/2*0,03*10=0,78 (м)

Тогда Нпот.=Нпот.2+Нпот.3=0,35+0,78=1,13 (м)

Нпол.Нпот.

Механические характеристики моделей вязкоупругих тел.

Основными экспериментами вязко-упругости являются испытания на ползучесть и релаксацию. Эксперимент на ползучесть состоит в мгновенном приложении к образцу напряжения 0, которое затем остается постоянным, и измерения деформации как функции времени.

В экспериментах на релаксацию образец подвергается мгновенной деформации 0, которая затем остается постоянной, в то время как проводится измерение напряжения как функции времени.

Задача 8.1.

Заданы модуль упругости Е1 и коэффициент вязкости  для модели Максвелла вязкоупругого тела и начальные 0 и 0 при t=0.

Требуется:

1. Определить характерное время  модели.

2. Построить график (t) испытания на ползучесть при =0.

3. Построить график (t) испытания на релаксацию напряжений при =0.

Дано:

Е1=6103 Па, Е2=2103 Па, =18 Пас, 0=1102 Па, 0=0,05

Решение. При испытании модели Максвелла на ползучесть, используя начальные условия t0 и =0, реологическое уравнение модели примет вид:

(t)=(0/)t+0/E.

(t)=(102/18)t+102/6103=5,56t+0,017

Воздействие на модель Максвелла при испытании на ползучесть Отклик при испытании на ползучесть модели Максвелла

Из графических результатов видно, что модель мгновенно реагирует на воздействие, растягиваясь на величину 0/E, проявляя упругие свойства, и далее монотонно растягивается, причем угол =arctg(0/).

При испытании модели Максвелла на релаксацию, используя начальные условия t0, =0, реологическое уравнение примет вид:

(t)=E0e-t/, где

=/Е – постоянная модели Максвелла, определяющая время, по истечении которого напряжение уменьшится по сравнению с начальным значением 0 в е раз.  называют временем релаксации.

=18/6103=310-3 (с)

(t)=61030,05e-t/0,003=300 e-t/0,003

Воздействие на модель Максвелла при испытании на релаксацию Отклик при испытании на релаксацию модели Максвелла

Задача 8.2.

Заданы модуль упругости Е1, коэффициент вязкости  для модели Фойгта вязкоупругого тела, а также режим воздействия

= 0=const при 0t

0 при t где t – время релаксации.

Требуется:

1. Определить характерное время модели.

2. Построить график (t) испытания модели на ползучесть.

Дано: Е1=6103 Па, Е2=2103 Па, =18 Пас, 0=1102 Па, 0=0,05

Решение.

Реологическое уравнение модели Фойгта при задании воздействия t0 и =0=const примет вид:

(t)=0/E(1-e-t/), где

=/Е – постоянная модели Фойгта; характеризует время запаздывания модели на внешнее воздействие.

=18/6103=310-3 (с)

(t)=102/6103 (1-e-t/0,003)=0,017(1- e-t/0,003)

Воздействие на модель Фойгта при испытании на ползучесть Отклик при испытании на ползучесть модели Фойгта

При испытании модели Фойгта на релаксацию напряжений в начальный момент времени необходимо мгновенно растянуть модель на величину 0. Однако воссоздать такой режим невозможно, поэтому в модели Фойгта напряжения не релаксируют.

Задача 8.3.

Заданы модули упругости Е1, Е2, коэффициент вязкости  для модели Кельвина вязкоупругого тела и начальные воздействия 0 и 0 при t=0.

Требуется: 1. Определить параметры модели , Е и Е.

2. Построить график (t) испытания модели на ползучесть.

3. Построить график (t) испытания модели на релаксацию напряжений модели при =0.

Дано: Е1=6103 Па, Е2=2103 Па, =18 Пас, 0=1102 Па, 0=0,05

Решение. При испытании модели Кельвина на ползучесть при t0, =0 реологическое уравнение модели примет вид:

(t)=0/E1[1+(E1-E)/ E  (1-e- Et/E1)], где

=/(Е1+Е2); E=Е1Е2/(Е1+Е2)

=18/(6103+2103)=2,2510-3 (с)

E=61032103/(6103+2103)=1,5103 (Па)

(t)=102/2103 [1+(2103-1,5103)/ 1,5103  (1-e-1,5103t/21032,25103)] = 0,05[1+0,33(1-е-333,33t)] = [1/333,3=k] = 0,05[1+0,33(1-e-t/k)]

Воздействие на модель Кельвина при испытании на ползучесть Отклик при испытании на ползучесть модели Кельвина

При испытании на релаксацию напряжения при t0, =0 реологическое уравнение запишется:

(t)=E10[1-(E1- E)/ E  (1-e-t/)]

(t)= 21030,05[1-(2103- 1,5103)/ 1,5103 (1-e-t/0,00225)]=100[1-0,33(1- e-t/0,00225)]

Воздействие на модель Кельвина при испытании на релаксацию Отклик при испытании на релаксацию модели Кельвина

Показать полностью…
Похожие документы в приложении