Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Курсовая «Кинематика сплошных сред» по Теоретической механике (Яковлев Р. В.)

Основные понятия и определения сплошной среды 2

Сплошная среда 2

Плотность 2 Частица сплошной среды 2

Кинематика сплошных сред 3

Метод Лагранжа 3

Метод Эйлера 3 Скалярное поле 3

Градиент 3 Свойства вектора градиента 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 5

ЦИРКУЛЯЦИЯ 5

Линия тока 5 Свойства линии тока 6

Трубка тока 6 Дивергенция 6

Ротор 6 Расход сплошной среды через поверхность 6

Массовый расход 7

Весовой расход 7

1.3. Определение наличия источников и стоков 7

1.4. Определение параметров вращательного движения 8

1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба 8

II. ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО 11

И НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ АБСОЛЮТНО 11

УПРУГОГО ТЕЛА 11

2.1. Постановка задачи 11

2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела 11

2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела 13

Основные понятия и определения сплошной среды

Сплошная среда (С С) – это физическая среда в любом фазовом состоянии (твердое, жидкое, газообразное, плазма и т.д.), в каждой точке которой существует функция плотности — р(х,у,z,t) и ее первая производная.

(Пример несплошной среды — кипящая жидкость, т к. существует скачок плотности на границе жидкость-пар пузырька, и первой производной функции плотности не существует.)

Плотность p(x,y,zrt) — масса среды в единице объема. Значение плотности среды в окрестности точки неподвижного пространства определим формулой

где Δm — масса среды, заключенная в объеме ΔV в окрестности данной точки.

Плотность среды зависит от температуры

где ρ0 — плотность среды при начальной температуре; Δt — изменение температуры; βt — коэффициент температурного расширения

,равный относительному увеличению объема среды при повышении температуры на один градус при неизменном давлении. (Например, для воды при Плотность среды зависит от давления

где ρ0 — плотность при начальном давлении; ΔР — разность между новым и начальным давлением; βр— коэффициент объемного сжатия , равный относительному уменьшению объема при повышении давления на единицу. Величина, обратная βр, носит название модуля упругости

Частица сплошной среды — это мысленно выделяемый объем сплошной среды, который бесконечно мал по отношению ко всему объему сплошной среды и бесконечно велик по отношению к раз-мерам атомов сплошной среды.

Для количественного описания механических характеристик сплошной среды необходимо задавать неподвижную систему координат, масштаб в которой и направление осей задается тремя единичными векторами i — вдоль оси X, j — вдоль оси Y и k — вдоль оси Z, причем | j | = |j | = | k | = 1. Мы будем использовать Декартову систему координат, в которой единичные вектора i , j , k взаимно перпендикулярны (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1 Частица сплошной среды

Кинематика сплошных сред

В данном разделе мы будем изучать движение сплошных сред без учета инерционных свойств сплошной среды и причин (сил), вызывающих это движение.

Существуют два исторически сложившихся метода изучения движения сплошных сред. Это методы Лагранжа и Эйлера.

Метод Лагранжа. В этом методе отмечается частица в начальный момент движения и исследуется ее движение в пространстве и времени вдоль ее траектории. В качестве метки частицы принимаются ее координаты в момент времени t = 0, т.е. XQ, y0, ZQ (см. рис. 11). Координаты частицы являются функциями времени.

Фактически переменными Лагранжа мы пользовались при изучении теоретической механики, где координаты точки центра масс твердого тела являлись функцией времени при координатном способе задания движения.

Но этот метод оказался неудобен при рассмотрении движения сплошной среды, т.к. для получения представления о движении всей среды необходимо рассматривать движение бесконечного множества частиц, из которых состоит сплошная среда.

Метод Эйлера. В этом методе фиксируется не частица, а точка неподвижного пространства (например М(х0, у0, z0)), и исследуются кинематические характеристики движения (скорости, ускорения и т.д.) частиц, пролетающих через эту точку.

Движение в методе Эйлера задается вектор-функцией поля скоростей:

V(x,y,z,t)= i Vx(x,y,z,t)+ jVy(x,y,z,t) + kVz(x,y,z,t), (1.4)

где Vx, Vy , Vz — переменные Эйлера, т.е. функции проекции V на соответствующие оси координат.

Мы, если не будет оговорено особо, будем исследовать стационарные поля скоростей, т.е. не зависящие от времени

Для того чтобы определить вектор скорости частиц сплошной среды, пролетающих через заданную точку пространства, необходимо просто подставить координаты этой точки пространства в (1.4). Для построения вектора скорости надо отложить найденные проекции в выбранном масштабе от данной точки и сложить их.

Очевидно, что вектор-функция (1.4) позволяет определить вектор скорости в любой точке пространства, где эта функция V существует. Правда, если в методе Лагранжа ускорение частицы определяется простым дифференцированием функций координат, то в методе Эйлера определение поля ускорений сложнее:

Следует также отметить, что методы Лагранжа и Эйлера эквивалентны, т.е. физический результат не зависит от выбора метода описания сплошной среды.

По аналогии с выше сказанным можно таким же образом задать и другие поля векторных величин. Например поле сил, поле угловых скоростей и т.д.

Скалярное поле

По аналогии с полем векторных величин возможно задать с помощью скалярной функции Ф(x,y,z,t) значения скалярной величины (например: плотность, температура, давление, потенциал поля скоростей и т.д.) в каждой точке неподвижного пространства.

Если функция Ф(х,у,z,t) не зависит от времени, т.е.

,то такое скалярное поле называется стационарным.

Наглядное представление о скалярном поле можно получить, построив в общем случае поверхности равного уровня, т.е. поверхность, в каждой точке которой значение Ф(х,у,z,t) = С, т.е. какой-либо постоянной величине.

Для построения поверхности равного уровня, проходящей через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки в функцию Ф(х,у,z,t) и определить значение постоянной С. Далее приравнять саму функцию этой постоянной

Ф(х,у,z)=С. (1.6)

Полученное уравнение (1.6) и есть выражение, описывающее поверхность равного уровня.

Через каждую точку пространства проходит только одна поверхность равного уровня!

В случае задания функции Ф(х,у), т.е. двух переменных, мы получим линию равного уровня. Из физики известны линии равного уровня, например: изотерма, изобара и т.д.

Градиент — вектор, определяющий направление и величину быстрейшего возрастания Ф(х,у,z) в окрестности данной точки. Значение градиента Ф(х,у,z) определяется выражением:

(1.7)

где — оператор Гамильтона «набла» .

Свойства вектора градиента

1 . Вектор градиента всегда перпендикулярен к касательной плоскости в точке поверхности равного уровня (или касательной к линии равного уровня в точке).

2. Для построения вектора градиента в данной точке необходимо подставить координаты этой точки в вычисленное по формуле ( 1 .7) выражение и в выбранном масштабе отложить проекции вектора от данной точки, а проекции сложить.

Задача №1(1.1)

Ф(x,y,z)=е 1.

1. Ф(1,1,1)=е е =

у= е +0,63 2. Ф(2,2,2)=е

3. Ф(3,3,3)=

4. Ф(4,4,4)

2.

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА. ЛИНИЯ ТОКА. ТРУБКА ТОКА.

ДИВЕРГЕНЦИЯ. РОТОР. ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ.

РАСХОД СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ.

ЦИРКУЛЯЦИЯ Пусть стационарное движение сплошной среды задано с помощью вектор-функции поля скоростей v(x,y,z). Для описания характеристик движения и графического изображения самого движения необходимо определить приводимые ниже характеристики.

Линия тока — линия, проведенная в движущейся среде, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой линии (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1

Фактически для частицы, находящейся на линии тока, сама линия будет траекторией этой частицы.

Пусть частица сплошной среды, находящаяся в т. А на линии тока,

за промежуток времени dt прошла путь dl= idx + jdy + kdz . Однако

путь dl можно представить как dI=Vdt т.е.

Два вектора равны, если равны их проекции, т.е.

Фактически для частицы, находящейся на линии тока, сама линия будет траекторией этой частицы.

Пусть частица сплошной среды, находящаяся в т. А на линии тока,

за промежуток времени dt прошла путь dl= idx + jdy + kdz . Однако путь dl можно представить как dT=Vdt т.е.

Поскольку промежуток времени dt одинаков, то можно записать, исключив dt:

Полученное выражение (2.3) называют дифференциальным уравнением линии тока.

Разделив переменные в (2.3) и проинтегрировав его, получим общее решение с постоянной интегрирования С. Для нахождения уравнения линии тока, проходящей через данную точку, необходимо подставить координаты этой точки в общее решение и определить численное значение С, после этого записать решение, подставив вместо С ее численное значение.

Свойства линии тока

1 .Через каждую точку пространства проходит только одна линия тока, т.е. линии тока не пересекаются.

2. Для стационарного движения линия тока является траекторией частиц, т.е. частица не может перейти с одной линии тока на другую линию.

Трубка тока — часть движущейся сплошной среды, заключенной внутри поверхности, образованной линиями тока, проведенными через каждую точку замкнутого контура.

Если замкнутый контур бесконечно мал, то такую конфигурацию называют струйкой.

Следует отметить, что поверхность трубки тока является непроницаемой для частиц сплошной среды, т.к. нет составляющих вектора скорости, направленных перпендикулярно поверхности трубки тока.

Дивергенция или расхождение векторного поля скоростей определяется формулой скалярного произведения:

и определяет наличие или отсутствие источников или стоков в движущейся сплошной среде. Так, если

divV = 0 — отсутствуют источники и стоки;

divV > 0 — имеются источники; (2.5)

divV 0 — наличие источников, div v 0, то через поверхность куба втекает сплошной среды меньше, чем вытекает. Если О 0, то сплошная среда вытекает через грань;

если О. 0, , решением уравнения будет:

где -постоянная модель Фойгта, имеющая размерность времени.

Однако в данном случае, являясь физической характеристикой модели, характеризует время запаздывания модели на внешнее воздействие. Графики воздействия и отклика модели Фойгта при испытании на ползучесть представлены на рисунке:

При испытании модели Фойгта на релаксацию напряжений в начальный момент времени необходимо мгновенно растянуть модель на величину е0. Однако воссоздать такой режим воздействия невозможно, т.к. слагаемое в уравнении при ступенчатом воздействии должно принимать бесконечно большое значение. Поэтому в модели Фойгта напряжение не релаксирует

Задача №9 Дано:

Пусть , где , тогда

5.3. Модель Кельвина

Приведенные выше модели можно усложнить, добавив третий элемент — упругий элемент к модели Фойгта. Такая модель вязко-упругой среды называется моделью Кельвина

Система уравнений связи деформаций и напряжений на концах модели Кельвина имеет следующий вид:

где — деформация и напряжение на модели Фойгта. Исключая из уравнений получим

Уравнение можно привести к виду:

Решением реологического уравнения модели Кельвина при испытании на ползучесть, т.е. при t > 0, , будет:

Решением при испытании на релаксацию напряжений, т.е. при t > 0, е = е0, является:

Графики воздействия и откликов модели Кельвина представлены на рисунках.

Как видно из анализа вышеприведенных простейших моделей Максвелла, Фойгта и Кельвина, различные комбинации упругого и вязкого элементов позволяют по разному смоделировать истинное поведение вязкоупругих материалов, и варьируя в дальнейшем вязкими и упругими Е — свойствами, подобрать их оптимальными для требуемых условий. Например, получив из экспериментов постоянную времени релаксации материала бумаги, можно оценить скорость печати, чтобы материал бумаги успевал полностью восстановить свою форму перед новым циклом печати.

Задача №10

Дано: ;

Показать полностью…
Похожие документы в приложении