Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
pdf

Лекции по Физике (Переверзев В. Г.)

14.1. Понятие о колебательных процессах

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Примеры колебаний:

1. колебание величины заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре;

2. колебание грузика, закрепленного на пружине;

3. колебание маятника.

14.1.1. Гармонические колебания

Гармонические колебания - это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону си-

нуса, либо косинуса:

, или где A - амплитуда;

ω - круговая частота;

α - начальная фаза;

( ωt + α ) - фаза.

14.1.1.1. Фаза колебания

Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: ( ωt + α ). Начальная фаза α - это значение фазы в начальный момент

времени, т.е. при t = 0.

14.1.1.2. Амплитуда колебания

Амплитуда колебания A - это наибольшее значение колеблющейся величины.

14.1.1.3. Круговая или циклическая частота ω

При изменении аргумента косинуса, либо синуса на 2π эти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток

времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π .

ω(t + T) + α = ωt + α + 2π,

или ωT = 2π.

. Время T одного полного колебания называется периодом колебания. Частотой ν называют величину, обратную периоду

. Единица измерения частоты - герц (Гц), 1 Гц = 1 с-1.

Так как

, то . Круговая, или циклическая частоты ω в 2π раз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы

со временем. Действительно:

. 14.1.1.4. График гармонического колебания

14.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

14.2.1 Колеблющиеся системы

Рассмотрим колебания в трех системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C;

б) колебания грузика, прикрепленного к пружине;

в) колебание физического маятника - любого тела, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей че-

рез его центр тяжести.

14.2.2 Колеблющиеся величины

q - заряд x - координата грузика φ - угол отклонения

14.2.3. Уравнения движения

Закон Ома (10.7)

Второй закон Ньютона (4.6)

Уравнение динамики вращательного

движения (7.3)

14.2.4. Применим закон движения, т.е. учтем особенности наших систем:

Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований:

Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одина-

ковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ . Если рассматривать только малые отклоне-

ния маятника от положения равновесия, то тогда, при φ ω0 периодическое решение у дифференциального уравнения затухающих колебаний отсутствует:

14.4.12. Логарифмический декремент затухания

, подставим A(t) = A0

-βt. . 14.4.13. Время релаксации

Время релаксации - это время τ, за которое амплитуда уменьшилась в e=2,7... раз, т.е.

, тогда .

. Т.к. - число колебаний за время , то:

. 14.4.14. Добротность

. 14.5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Вынужденные колебания - это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.

14.5.1. Колеблющиеся системы

В контур включен последовательно ис-

точник переменного напряжения, изменяю-

щегося по гармоническому закону

На грузик m действует внешняя сила, изменяю-

щаяся по гармоническому закону

. . 14.5.2. Законы движения

Закон Ома для неоднородного участка

цепи: Второй закон Ньютона :

. . 14.5.3. Применение законов движения

Применим законы движения к изучаемым системам:

Получим дифференциальные уравнения:

, . Приведем уравнения к каноническому виду - делим на коэффициент при старшей производной и переносим

все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть:

; .

14.5.4. Введем обозначения

14.5.5. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания

наших двух систем будет иметь один и тот же вид:

. 14.5.6. Решение дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний - ξ(t) - состоит из двух слагаемых:

, здесь ξ1(t) - общее решение однородного уравнения, т.е. уравнения с нулем в правой части (см. 14.4.5.),

ξ2(t) - частное решение неоднородного уравнения, т.е. уравнения с ненулевой правой частью - (14.5.5)

- из (14.4.6),

здесь - - частота затухающих колебаний.

ξ1(t) убывает с течением времени и его роль существенна при переходных процессах. Стационарное, установившееся значение

ξ(t) определяется, в основном, слагаемым ξ2(t). Наша задача - найти ξ2(t).

14.5.6.1. Частное решение неоднородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения - ξ2(t). Ищем ξ2(t) в виде гармонической функции изменяющейся с частотой

внешнего воздействия ω :

. Первая и вторая производные от этой функции также будут гармоническими функциями, изменяющиеся с частотой ω. Значит,

в уравнении 14.5.3.5, в левой его части, будет сумма трех гармонических функций одинаковой частоты, справа - гармоническая

функция той же частоты, т.е. сумма трех колебаний одной частоты равна четвертому колебанию той же частоты. Задачу о сло-

жении колебаний мы решим методом векторных диаграмм (14.3.1.), для этого и , после нахождения этих производных, за-

пишем с помощью функции косинуса:

. 14.5.6.1.1. Векторная диаграмма

Изобразим эти колебания с помощью векторов (14.3.1.), амплитуды которых получаются после умножения на 2β, а - ξ на

ω2 0. . В отличие от (14.3.2) вправо направим вектор длиной ω2

0A, изображающий функцию ω2

0A · Cos( ωt - φ) , начальная фаза

которой равна "минус фи".

14.5.6.1.2. Резонанс

Т.к. ,

то . Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определен-

ной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - ωрез - резонанс-

ной. Для определения ωрез исследуем функцию A(ω) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выра-

жения A(ω) . Возьмем от него производную по и приравняем к нулю:

, откуда:

. При 2β2 > ω2

0 резонанс отсутствует ( ωрез - мнимое число).

14.5.6.1.2.1. Амплитуда при резонансе

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ωрез в формулу для A(ω).

. При β

Показать полностью…
Похожие документы в приложении