Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Типовая № 2 «Исследование функций» по Математике (Старинец В. В.)

Типовой индивидуальный расчет №2: "Исследование функций"

1. Теоретические вопросы

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.

1. Теорема Ролля (М.Ролль, 1652-1719).

Если функция у = f(x) удовлетворяет условиям:

(i) f(x) непрерывна на отрезке [а, b];

(ii) существует производная f(x) в интервале (а, b);

(iii) f(a) = f(b), т. е. на концах отрезка функция принимает одинаковые значения, то существует точка с Є (а, b) такая, что f'(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Роля:

В том, что существует точка, в которой касательная горизонтальна.

Причина этого состоит в том, что функция, принимающая на концах отрезка одинаковые значения, внутри отрезка имеет либо максимум, либо минимум.

Замечание: Если хотя бы одно из условий (i) — (iii) теоремы не выполняется, то теорема Ролля может быть неверна.

2. Теорема Коши (О.Л.Коши, 1789-1857).

Если функции у = f(x) u y=g(х) удовлетворяют условиям:

(i) f(x) и q(х) непрерывны на отрезке [а, b];

(ii) существуют производные f ‘(x) и g'(х) в интервале (а,b );

(iii) g'(х) ≠ 0 в интервале (а, b), то существует точка с Є (а, b), для которой выполняется равенство

3. Теорема Лагранжа (Ж.Л.Лагранж, 1736-1813).

Если функция у = f{x) удовлетворяет условиям:

(i) f(x) непрерывна на отрезке [а, b];

(ii) существуют производная f ’(x) в интервале (а, b), то существует точка сЄ (а, b), для которой выполняется равенство

2. Какова связь между возрастанием и убыванием функции и знаком ее производной?

Если у функции у = f(x) существует производная на интервале (а, b), то

функция f(x) возрастает f '{x) > 0 и функция f(x) убывает f ' (х) 0, то у = f(x) выпукла, а если f'(x0) 0, то в силу непрерывности f"(с)≥0 в некоторой окрестности точки х0, поэтому f(х) — у(х)≥0 функция выпукла. Если же f"(х0) 0. И наоборот.

8. Сформулируйте достаточные условия существования точек перегиба.

Если функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f"(x) и в точке х0 f"(x) ме-няет знак, то х0 — точка перегиба.

9. Что называется асимптотой кривой? Что можно сказать о функции, если она имеет горизонтальную (вертикальную) асимптоту?

Определение. Асимптота кривой γ—это прямая, к которой эта кривая неограниченно приближается на бесконечности, т.е. это такая прямая 1, для которой расстояние d от точки Me у до l стремится к нулю, когда точка М удаляется по кривой на бесконечность. Более точно, асимптота—это луч. Если кривая приближается к лучу, т.е. к одному «концу прямой», то говорят, что эта прямая является односторонней асимптотой. Если кривая приближается к «обоим концам» прямой, то прямая является двусторонней асимптотой. Асимптотой функции f(x) называется асимптота ее графика γ: у = f(x).

1. Если функция имеет горизонтальную асимптоту то, уравнение асимптоты имеет вид у = b = const

2. Если функция имеет вертикальную асимптоту то, что график функции “уходит на бесконечность” при x → x0 и уравнение асимптоты имеет вид x= x0 = const.

10. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

2. Теоретические упражнения

1. Найти производную (если она существует) функции

в точках х1 = 0.5, х2 = —0.5, х3 = 0.

Решение: 2. Показать, что функция изменяется монотонно в любом интервале из области ее существования.

Решение: Т. К. Корни получились чётной кратности, следовательно знак производной не изменяется, следовательно функция изменяется монотонно в любом интервале из области ее существования.

3. При каких значениях параметра а функция

непрерывна? Постройте ее график.

Решение: 4. Выяснить вид графика функции у = f(x), если известно, что в интервале (а; b) :

(1) у>0, y' >0, у"0, у' 0.

Решение:

5. Найти асимптоты линии

6. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

Решение: 7. Доказать, что всякий четный многочлен с положительными коэффициентами является выпуклым вниз и имеет только одну точку минимума.

Решение:

8. Доказать, что уравнение x5 + 3x—6 = 0 имеет единственный действительный корень.

Решение: x5 = — 3x + 6

y1= x5 —возрастающая функция;

y2= — 3x + 6 — убывающая функция.

y1 и y2= могут пересечься один раз.

Уравнение x5 + 3x—6 = 0 имеет единственный действительный корень.

9. Доказать, что если дифференцируемая функция четна (нечетна), то ее производная нечетна (соответственно четна).

Решение:

y=x2k — чётная функция.

y=2kx2k-1 — нечётная функфия.

y=x2k-1 — нечётная функфия.

y=(2k-1)x2(k-1) — чётная функция

10. Выполняется ли на отрезке [—1, 2] теорема Ролля для функции у = х3 + 4х2 — 7х — 10?

Решение: При x= —1, y=0; при x= 2, y=0;

y’=3x2+8x — 7 y’=0

3x2+8x — 7=0

x1 0.69 или x1 — 3.36

Теорема Ролля для функции у = х3 + 4х2 — 7х — 10 на отрезке [—1, 2] не выполняется.

3 Задачи Исследовать функции y=y(x) и построить их графики:

1. Исследование:

1) D(y): (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

2) E(y): (- ;+ );

3) Функция общего вида;

4) Функция не периодическая;

5) Функция имеет разрывы:

а. x=0 у=3; б. y=0 x — таких точек нет.

в. x→+ ; y→0; x→- ; y→0;

г. x=2 и x= — 2 точки разрыва второго рода.

x→ -2+0; y→ + ; x→ -2+0; y→ - ;

x→2+0; y→ - ; x→2-0; y→ + ;

д. 6) Асимтоты:

x = —2; x = 2 —вертикальные асимптоты;

y = 0 —горизонтальные асимтоты.

7) Функция дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

8) Уmin=3 при x=0.

9) Функция дважды дифференцируема на (- ;2)υ(-2;2)υ(2;+ );

10) Построение графика функции:

2. Исследование:

1) D(y): [1;+ );

2) E(y): (0;1];

3) Функция нечётная;

4) Функция не периодическая;

5) Функция непрерывная:

а. x=0 у — таких точек нет;

б. y=0 x — таких точек нет.

в. x→+ ; y→0; x→- ; y→0;

г. Точки разрыва нет.

д.

6) Асимтот нет. 7) Функция дифференцируема на (1;+ );

8)

Уmax=1 при x=2.

9) Построение графика функции:

Показать полностью…
Похожие документы в приложении