Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Вычисление коэффициента детерминации» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Контрольная работа по предмету

"Эконометрика"

Вариант 8

Преподаватель: Работу выполнила:

Факультет: БУА и А

3 курс

№ личного дела Группа № 4, день

Пенза 2009 г.

Задача По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

* гиперболической;

* степенной;

* показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

17 22 10 7

12 21 14 7 20

3 26

27 22 19 21 26

20 15 30 13

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

= 0,761

21,9 - 0,761?13,3= 11,782

Уравнение линейной регрессии имеет вид: = 11,782 +0,761х

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 0,761 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки см. таблице 1.1 столбец

Остаточная сумма квадратов =37,96

Дисперсия остатков

График остатков

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

* случайный характер остатков

* нулевая средняя величина остатков, не зависящая от xi

* гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений x

* отсутствие автокорреляции остатков

* остатки подчиняются нормальному распределению

Проверим случайный характер остатков

С этой целью строится график зависимости остатков ei от теоретических значений результативного признака

Остатки расположены случайным образом внутри симметричной горизонтально огибающей полосы, предполагается выполнение первой предпосылки о случайном характере остатков.

Нулевая средняя величина остатков, не зависящая от xi

С этой целью строится график зависимости остатков ei от факторов, включенных в регрессию xi.

Остатки расположены случайным образом внутри симметричной горизонтально огибающей полосы, предполагается независимость математического ожидания от xi.

В силу особенностей метода математическое ожидание должно быть равно нулю.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H0: . С этой целью строится t-статистика

, где .

t=0 2,228 (? = 0,05; ?=n-1=9) гипотеза принимается.

t-статистика

0,000 t крит 0,05

2,228139

t (ei-ei cp)2

1 1,285 1,651

2 -1,518 2,306

3 2,610

6,815 4 1,892

3,583 5 0,089

0,007 6 -1,757

3,090

7 -2,432 5,917

8 -2,107 4,439

9 3,002 9,016

10

-1,064 1,132 Сумма

1,599-14 37,960

Среднее

1,599-15

Гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений x

Коэффициент Спирмена где

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее, показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи.

В нашем случаи теснота связи между признаками слабая.

t-статистика ==0,103

Поскольку tрасч. < tкрит., связь между остатками х незначимая т.е наблюдается гомоскедастичность, предпосылка выполняется.

К проверке предпосылки МНК №3 по тесту Спирмена

r(x)

r(e) r(x)-r(e) (r(x)-r(e))2

7 3 4 16 10 4

6 36 4 9 -5 25

2 6

-4 16 5 1 4 16

9 5 4 16 6 8

-2 4 2 7 -5 25

8 10

-2 4 1 2 -1 1

Сумма 159

Коэфф. Спирмена

0,03636

t-статистика

0,10292 t крит 0,05

2,306 Проверим независимый характер остатков. Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина - Уотсона.

dw=

Верхние (d2=1,36) и нижние (d1=1,08) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случаи d2<d<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

Проверим нормальность распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями (2,670; 3,685)

Рассчитаем значение RS:

RS = (Emax - Emin)/ S,

где Emin - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emax - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax=

3,003 Emin= -2,432

Emax-Emin= 5,435

S= 2,054

RS= 2,647

Так как 2,670>2,647; 2,647<3,685, полученное значение RS не попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, предпосылки МНК выполняются.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t-статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

= 7,285 > 2,306

= = 6,916 > 2,306

Затем расчетные значения сравниваются с табличными tтабл= 2,306. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости ? (0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.

В нашем случае коэффициент a регрессии значим, коэффициент b регрессии значим.

5. Вычислим коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле

= Рассчитаем коэффициент детерминации:

0,857 Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 86 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

F > Fтабл. = 5,317 для ?=0,05; k1=m=1; k2=n-m-1=8

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F > Fтабл.

Определим среднюю относительную ошибку:

8,399% Если ошибка, вычисленная по формуле не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

8,399% < 15% - точность модели удовлетворительная.

В среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических значений на 8,4%

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора составит 17,6% от его максимального значения = 0,8 ? 22= 17,6 составит

= 11,78+0,761?17,6=25,171

Интервальный прогноз:

=2,178 для 10 - 2 =8 степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,86.

Тогда

7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

Таблица 1.1.

n y x

1

26 17 442 289

4,1 16,81

3,7 13,69 24,714

1,285 1,651 ? ?

4,942 15,17 2 27

22 594

484 5,1 26,01 8,7

75,69 28,518 -1,518

2,306 -1,9518 7,861

5,624

44,37 3 22 10

220 100 0,1 0,01

-3,3 10,89 19,389

2,610

6,815 -3,9648 17,051

11,866 -0,33 4

19 7 133 49 -2,9

8,41

-6,3 39,69 17,107

1,892 3,583 4,94149

0,515 9,962 18,27

5 21

12 252 144 -0,9

0,81 -1,3 1,69

20,910 0,089 0,007

0,16848

3,253 0,423 1,17

6 26 21 546 441

4,1 16,81 7,7 59,29

27,757

-1,758 3,090 -0,1565

3,411 6,761 31,57

7 20 14 280 196

-1,9

3,61 0,7 0,49 22,432

-2,432 5,917 4,27634

0,455 12,162 -1,33

8 15

7 105 49 -6,9

47,61 -6,3 39,69

17,107 -2,107 4,439

5,12565

0,105 14,047 43,47

9 30 20 600 400

8,1 65,61 6,7 44,89

26,997

3,002 9,016 -6,3273

26,111 10,009 54,27

10 13 3 39 9

-8,9

79,21 -10,3 106,09

14,064 -1,064 1,132

-3,195 16,539 8,184

91,67

Сумма 219 133

3211 2161 1,4-14

264,9 0 392,1 219

1,6-14

37,960 -1,0834 75,304

83,986 298,3 Среднее

21,9 13,3 321,1

216,1

1,4-15 26,49 -7E-16

39,21 21,9 1,6-15

3,796 -0,1204 8,367

8,398

29,83 дисперсия

26,49 39,21

3,796

8. Составим уравнения нелинейной регрессии:

* гиперболической;

* степенной;

* показательной.

Приведем графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.

Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg = lg a + b lg x.

Факт Y(t)

lg(Y) Переменная X(t)

lg(X) 1 26 1,414

17 1,230 2 27

1,431

22 1,342 3 22

1,342 10 1,000

4 19 1,278 7 0,845

5 21

1,322 12 1,079

6 26 1,414 21

1,322 7 20 1,301

14 1,146

8 15 1,176 7 0,845

9 30 1,477 20

1,301 10 13 1,113

3 0,477

Итого 219 13,272

133 10,588 Сред. знач.

21,9 1,327 13,3

1,058

Обозначим . Тогда уравнение примет вид: Y=А + b X - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.2.

= 0,394 1,327 - 0,394 1,059 =

0,910

Уравнение регрессии будет иметь вид : Y=0,910+0,394X.

Перейдем к исходным переменным ли у, выполнив потенцирование данного уравнения.

10 0,910 х 1,394

Получим уравнение степенной модели регрессии:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х тесная.

Коэффициент детерминации равен 0,862

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 86% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера: 49,971

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое. F > F табл. =6,61.

Средняя относительная ошибка 7,644%

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,6%.

Таблица 1.2.

t y Y x X YX

X2 Ei Ei2 1

26 1,414 17 1,230

1,741

1,514 24,823 1,176

4,526 1,385 2 27

1,431 22 1,342

1,921

1,802 27,475 -0,475

1,762 0,226 3 22

1,342 10 1,000

1,342

1,000 20,142 1,857

8,445 3,451 4 19

1,278 7 0,845 1,080

0,714

17,502 1,497 7,881

2,242 5 21 1,322

12 1,079 1,426

1,164

21,641 -0,641 3,054

0,4114 6 26 1,414

21 1,322 1,870

1,748

26,977 -0,977 3,758

0,954 7 20 1,301

14 1,146 1,491

1,313

22,995 -2,995 14,979

8,975 8 15 1,176

7 0,845 0,993 0,714

17,502

-2,502 16,683 6,263

9 30 1,477 20

1,301 1,921 1,692

26,463

3,536 11,787 12,50

10 13 1,113 3

0,477 0,531 0,227

12,536

0,463 3,562 0,2141

Итого 219 13,272

133 10,588 14,321

11,891

218,061 0,938 76,441

36,629 Сред знач.

21,9 1,327 13,3

1,058

1,432 1,189 21,8061

0,093 7,644 3,662

Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: у =abx . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

lg = lg a + х lg b. Обозначим: Y = lg , В = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии:

Y = А + В х. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3

0,016

1,327- 0,016 1,113

Уравнение будет иметь вид: Y=1,113 + 0,016X

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

=10 1,113(10 0,016)х

Получим уравнение показательной модели регрессии:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором x: сильная.

Коэффициент детерминации: R2 = 0,829

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83% объясняется вариацией фактора X(объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

38,784 Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое F >F табл =6,61.

Средняя относительная ошибка

9,516 В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 9,5%.

Таблица 1.3

t y Y x Yx x2

Ei

1 26 1,414 17

24,054 289 0,0876842

0,0076885 3,7 13,69

24,365

16,81 1,635 6,288

2 27 1,431 22

31,490 484 0,1040746

0,0108315

8,7 75,69 29,31845

26,01 -2,3184 8,586

3 22 1,342 10

13,424

100 0,0151335 0,000229

-3,3 10,89 18,80364

0,01 3,19636 14,528

4 19

1,278 7 8,951 49

-0,048535 0,0023557

-6,3 39,69 16,82741

8,41

2,17259 11,434 5

21 1,322 12 15,866

144 -0,005069 2,57-05

-1,3

1,69 20,24845 0,81

0,75155 3,578 6

26 1,414 21 29,714

441 0,0876842

0,0076885 7,7 59,29

28,2531 16,81 -2,2531

8,665 7 20 1,301

14 18,214

196 -0,026259 0,0006895

0,7 0,49 21,80427

3,61 -1,8043 9,021

8 15

1,176 7 8,232 49

-0,151197 0,0228608

-6,3 39,69 16,82741

47,61

-1,8274 12,182 9

30 1,477 20 29,542

400 0,1498321 0,0224496

6,7 44,89

27,22646 65,61 2,77354

9,245 10 13 1,113

3 3,341 9 -0,213345

0,0455164

-10,3 106,09 14,51167

79,21 -1,5117 11,628

Итого 219 13,272

133 182,832

2161 6,661-16 0,1203354

0 392,1 218,1859

264,9 0,81414 95,160

Сред.

знач. 21,9 1,327

13,3 18,283 216,1

6,661-17 0,0120335

0 39,21

21,81859 26,49 0,08141

9,516

Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: у = а + b/х . Произведем линеаризацию модели путем замены Х= 1/х. В результате получим линейное уравнение у = а + b X. Рассчитаем его параметры

21,90 +51? 0,11=27,38

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

27,38 - 51/x Определим индекс корреляции:

=0,819 Связь между показателем у и фактором х сильная.

Коэффициент детерминации равен 0,672

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 67% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

=16,39 Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F>F табл .

Средняя относительная ошибка

12,465% Таблица 1.4.

t y x X yX X2

Ei 1 26,00

17,00

0,06 1,53 0,00

4,10 16,81 24,38

1,62 2,60942 6,21

2 27,00

22,00 0,05 1,23

0,00 5,10 26,01

25,07 1,93 3,74018

7,16

3 22,00 10,00 0,10

2,20 0,01 0,10

0,01 22,29 -0,29

0,08172

1,30 4 19,00 7,00

0,14 2,71 0,02

-2,90 8,41 20,10

-1,10

1,21321 5,80 5

21,00 12,00 0,08

1,75 0,01 -0,90

0,81

23,14 -2,14 4,55981

10,17 6 26,00 21,00

0,05 1,24 0,00

4,10

16,81 24,96 1,04

1,09052 4,02 7

20,00 14,00 0,07

1,43

0,01 -1,90 3,61

23,74 -3,74 14,0037

18,71 8 15,00 7,00

0,14

2,14 0,02 -6,90

47,61 20,10 -5,10

26,0249 34,01 9

30,00

20,00 0,05 1,50

0,00 8,10 65,61

24,83 5,17 26,6838

17,22

10 13,00 3,00 0,33

4,33 0,11 -8,90

79,21 10,39 2,61

6,79682

20,05 Итого

219,0 133,0 1,08

20,06 0,18 0,00

264,90

219,00 0,00 86,80

124,65 Сред. знач.

21,90 13,30 0,11

2,01

0,02 0,00 26,49

21,90 0,00 8,68

12,47

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица1.5

Параметры

Модель Коэффициент

детерминации R2

Коэффициент

эластичности

Средняя относительная ошибка Eотн

Линейная

0,857

0,462 8,399 Степенная

0,862 0,394 7,644

Показательная

0,829

0,492 9,516 Гиперболическая

0,672 0,163 12,465

Коэффициент эластичности рассчитывается по формулам:

Для линейной модели ;

Для степенной модели;

Для показательной модели ;

Для гиперболической модели

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение коэффициента детерминации R2 и меньшее значение относительной ошибка Eотн имеет степенная модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

7

Показать полностью…
Похожие документы в приложении