Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса» по Математике (Романов А. Н.)

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИФОРМАТИКИ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по "Финансовой математике"

ВАРИАНТ № 10

Исполнитель:

Специальность: Финансы и кредит

Группа:

№ зачетной книжки:

Руководитель:

Задача № 1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется.

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания .

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

- нормального распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на один год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

1 2

3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13

14 15 16 43 54

64 41

45 58 71 43 49

62 74 45 54 66

79 48 Задача № 2

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Требуется рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент; - скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Результаты расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие выводы.

Вариант 10

цены

дни макс.

мин. закр.

1 858 785 804

2 849

781 849 3 870

801 806 4 805

755 760 5 785

742 763

6 795 755 795

7 812 781 800

8 854 791 853

9 875

819 820 10 820

745 756 Задача № 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условиях задач значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Tлет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие значения параметров и выполнить расчеты.

Вариант

Сумма Начальная дата

Конечная дата

Время в днях

Время в годах

Ставка Кол-во начислений

№ S Tн Тк

Тдн Тлет

i m

10 5 000 000 08.01.02

22.03.02 90 5 55

4

1. Банк выдал ссуду размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, дата возврата - Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

- точные проценты с точным числом дней ссуды;

- обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом: учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году исходя из номинальной ставки i% годовых.

7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Задача № 3.

Решение: 1. Рассматривается операция наращения, разовый платеж, проценты простые.

Воспользуемся формулой I = Pni;

где . а) Точные проценты с точным числом дней ссуды (ACT/ACT):

; I = 5 000 000*73/365*0,12 = 120 000 руб.

. Ответ: Точные проценты с точным числом дней ссуды составляют 120 000 руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (ACT/360):

руб. Ответ: Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды составляют 121 666,67 руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

; руб.

Ответ: Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды составляют 123 333,33 руб.

2. Используем формулы и , где S=5000000; n = 90/360; i=55%

P = 5 000 000 / (1+0,55*90/360) = 4395604,39 руб.

D = 5 000 000 - 4395604 = 604395,61 руб.

Ответ: Первоначальная сумма - 4395604,39 руб.; дисконт - 604395,61 руб.

3. Используем формулы D = Snd, откуда P = S-D = S-Snd = S*(1-nd); где S = 5000 000;

n = 90/360; d = 55 %.

D = 5 000 000*0,55*90/360 = 687500 руб.

Р = 5000000-687500 = 4312500 руб.

Ответ: Полученная предприятием сумма равна 4312500 руб., а дисконт - 687500 руб.

4. Воспользуемся формулой где Р = 5000000; i = 55%, n = 5;

S = 5 000 000*(1+0,55)5 = 44 733 048,44 руб.

или руб.

Ответ: Наращенная сумма равна 44733048,44 руб.

5. Банк начисляет проценты 4 раза в год (m = 4), по формуле S = P8(1+j/m)N, где

j = 55%, m = 4, N = mn = 4*5=20;

S = 5 000000*(1+0,55/4)20 = 65 765 497,67 руб.

или руб. Ответ: Наращенная сумма равна 65765497,67 руб.

6. Решим по формуле iэ = (1+j/m)m-1, где j = 55%; m = 4.

iэ = (1+0,55/4)4-1 = 0,6771, т.е. 67,41%.

Ответ: Если банк начисляет проценты 4 раза в год, то эффективная ставка процента равна 67,41%.

7. Вычислим по формуле j = m[(1+iэ)1/m-1]; где m = 4, iэ =55%

j = [4*(1+0,55)1/4 -1] = 46,32 %

Ответ: Номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в год равна 46,32%.

8. Применяем формулу где i = 55%, n = 5;

руб. Ответ: Современная стоимость при сложной процентной ставке 55% годовых будет составлять 558870,92 руб.

9. Применим формулу , , где d = 55%, n = 5;

Р = 5 000000(1-0,55)5 = 92 264,06 руб.

D = 5 000 000 - 92 264,06 = 4907735,94 руб.

Тот же результат можно получить с помощью функции БС

руб. Ответ: Дисконт равен 92264,06 руб.

10. С помощью функции БС: руб.

Ответ: Сумма на расчетном счете к концу срока будет составлять 65 747 158,25 руб.

Задача № 2.

Решение: 1. Для определения начального значения ЕМА5 используем формулу простой скользящей средней:

; Дальнейшие расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей средней при коэффициент сглаживания; , получим

; и т.д. Предварительно посчитав k,1-k, EMA5 легко высчитываем все значения и вводим в таблицу

t C(t)

EMA(t) 1

804 2 849

k 1/3 3 806

1-k

2/3 4 760

EMA5 796,4 5 763

796,4 6 795

795,93

7 800 797,29

8 853 815,86

9 820 817,24

10

756 796,83

Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю на графике, проведем анализ.

В 5-ый день наблюдается нисходящий тренд (нисходящая экспоненциальная скользящая средняя, ее график расположен выше ценового графика); рекомендуется продажа финансового инструмента.

На 6 - 7 день происходит пересечение линии скользящей средней с ценовым графиком сверху - это сигнал разворота тренда (сигнал к покупке).

На 8 день наблюдается восходящий тренд (скользящая средняя находится под графиком цен) следует покупать.

На 9 день линия скользящей средней пересекает график цен снизу - это сигнал к продаже.

В 10-ый день целесообразно продавать финансовый инструмент.

2. Момент рассчитаем по формулам.

Момент:

; Результаты вычислений занесем в соответствующие столбцы расчетной таблицы и покажем на графике. Рассмотрим график момента:

t C(t) MOM(t)

1 804

2 849 3 806

4 760 5 763

6 795 -9 7

800 -49

8 853 47 9 820

60 10 756 -7

С 6 по 7 день график момента расположен ниже линии нулевого уровня, рекомендуется продажа финансового инструмента;

Затем происходит пересечение с линией нулевого уровня снизу вверх - это сигнал разворота тренда, означающий сигнал к покупке.

На 8 - 9 день график расположен выше линии нулевого уровня, рекомендуется покупка.

На 10 день происходит пересечение сверху вниз, что означает сигнал к продаже.

3. Скорость изменения цен рассчитаем по формуле:

и т.д. Результаты вычислений занесем в соответствующие столбцы расчетной таблицы и покажем на графике. Рассмотрим график.

t ROC(t) 1

2 3 4

5

6 98,88 7 94,23

8 105,83 9 107,89

10 99,08

На 6 - 7 день график изменения цен находится ниже уровня 100% рекомендуется продажа финансового инструмента.

Затем происходит пересечение снизу вверх - это сигнал к покупке.

На 8 - 9 день график расположен выше уровня, значит рекомендуется покупка.

На 10 день происходит пересечение сверху вниз - это сигнал к продаже.

4. Для использования формулы расчета индикатора RSI предварительно найдем изменения цен закрытия для всех дней .

Из значений выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен.

Для всех рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t ( задано по условию).

Теперь несложно найти величины RSIt . Расчет проводим в таблице.

t

C(t) повышен.

понижен.

1

804

2

849 45 45 0

3 806 -43

0 43

4 760 -46

0 46 5

763 3 3 0

6

795 32 32 0 80

89 47,34 7 800

5 5 0 40 89 31,01

8 853

53 53 0 93 46

66,91 9 820 -33

0 33 93 33 73,81

10 756

-64 0 64 90 97

48,13 .;

Рассмотрим график RSI:

График находится в нейтральной зоне, рекомендуется проводить финансовые операции (покупка).

5. Расчет возможен для . Проведем его в таблице, занося в соответствующие столбцы результаты промежуточных вычислений.

t

1

858 785 804 2

849 781 849 3

870 801

806 4 805 755

760 5 785 742

763 6 795 755

795 7

812 781 800 8

854 791 753 9

875 819 820 10

820 745

756 t

5

870 742 21 107

128 6

870 742 53 75

128 7 870 742

58 70 128 8 854

742 11

101 112 9 875

742 78 55 133

10 875 745 11

119 130

%D

16,41 83,59

41,41 58,59

45,31

54,69 132 384 34,38

9,82 90,18 143

368 38,86 58,65

41,35

221 373 59,25 8,46

91,54 232 375 61,87

Рассмотрим стохастические линии %K, %R и %D:

График К % показывает, что в 5 день рекомендуется не производить финансовых операций (график находится в критической зоне "перепроданности").

Затем график выходит из критической зоны, следовательно, на 6 и 7 день рекомендуется совершать покупку.

Далее мы видим сигнал разворота тренда, график снова перемещается в критическую зону "перепроданности", следовательно, на 8 день покупки необходимо прекратить.

На 9 день снова происходит разворот тренда, график выходит из критической зоны, покупки рекомендуется возобновить.

На 10 день необходимо остановить операции покупки или проводить с особой осторожностью, т.к. в скором времени ожидается разворот тренда.

График R% является зеркальным отражением графика К%. Для него верхняя критическая зона является зоной "перепроданности", а нижняя зоной "перекупленности".

График D% подтверждает что в 6,7,9 день можно проводить операции покупки, а вот в 5,8,10 день эти действия необходимо остановить или проводить с особой осторожностью.

Задача № 1.

Решение:

t 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11

12 13

14 15 16 Y(t)

43 54 64 41 45

58 71 43 49 62

74 45

54 66 79 48

Покажем исходные данные на графике (мастер диаграмм / график).

График отражает как общую тенденцию к повышению выдачи кредитов на жилищное строительство, так и сезонные колебания этой цены. В таком случае использование модели Хольта-Уинтерса целесообразно.

Выполним предварительный расчет.

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать начальные оценки коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности за весь предыдущий год.

Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.

С помощью метода наименьших квадратов построим вспомогательную линейную модель . Коэффициенты этой модели можно получить с помощью "мастер функций/ статистические/ ЛИНЕЙН" или "сервис/ анализ данных/ РЕГРЕССИЯ".

Уравнение вспомогательной линейной модели запишется в виде

. Примем , , занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы.

Для оценки коэффициентов сезонности найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения для и сопоставим их с фактическими:

t 1

2 3 4 5 6 7

8 Y(t) 43 54 64

41 45 58 71 43

Y(t)

49,42 50,26 51,12

51,95 52,79 53,64

54,48 53,33

Коэффициент сезонности - это отношение фактического значения показателя к значению, найденному по линейной модели.

Для первого квартала это в первом году и во втором году. В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение

. Аналогично найдем

, , . Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца "F" основной расчетной таблицы.

Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания ; период сезонности .

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв , рассчитаем начальное значение

. Теперь перейдем к и уточним коэффициенты модели

; ; Перейдем к построению собственно модели Хольта.

t Y(t) a(t)

b(t) F(t) Yp(t)

-3

0,861231

-2 1,077799

-1 1,277654

0 48,57143

0,845238 0,783146

1 43 49,57022

0,891304 0,864966

42,55919

2 54 50,3537 0,858958

1,074568 54,38736

3 64 50,8764 0,758081

1,265832

65,43206 4 41 51,85002

0,82274 0,787704

40,43736 5 45 52,47847

0,764455

0,860483 45,56016

6 58 53,46261 0,830359

1,080749 57,21313

7 71

54,83195 0,992056

1,283252 68,72577

8 43 55,45352 0,880908

0,780336

43,97279 9 49 56,51752

0,935837 0,864386

48,47483 10 62

57,42763

0,928119 1,080071

62,09268 11 74

58,14882 0,866041

1,276859

74,88514 12 45

58,61064 0,744774

0,772802 46,05143

13 54

60,29042 1,025275

0,883153 51,30599

14 66 61,25311

1,006498

1,078526 66,22534

15 79 62,1429 0,971486

1,273502 79,49672

16 48

62,81357 0,881242

0,76762 48,7749

17 56,25228

18

69,64698

19 83,35998

20 50,92281

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса при получим

. Перейдем к и уточним коэффициенты модели

; ; . Аналогично расчеты делаем для t = 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Результаты вычислений приведены в расчетной таблице. Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

Оценим точность построенной модели.

Для этого дополним расчетную таблицу столбцами и :

t Y(t)

Yp(t) E(t) Eотн.(t)

1 43 42,55919 0,44081

1,02514 2 54 54,43701

-0,43701

0,809278 3 64 65,48019

-1,48019 2,312797

4 41 40,37795 0,62205

1,517195

5 45 45,39533 -0,39533

0,878511 6 58 57,21478

0,78522 1,353828

7 71

68,97049 2,02951

2,858465 8 43 43,88369

-0,88369 2,055093

9 49

48,63293 0,36707

0,749122 10 62

62,14067 -0,14067

0,226887

11 74 74,88489

-0,88489 1,195797

12 45 46,30427

-1,30427

2,898378 13 54

51,12474 2,87526

5,324556 14 66

66,23356

-0,23356 0,353879

15 79 79,71695

-0,71695 0,907532

16 48

49,24065 -1,24065

2,584688

Средняя относительная погрешность аппроксимации составит

(%), посчитано в Ex. (СРЗНАЧ).

0%<1.690696<5%. Следовательно, прослеживается высокая точность модели.

Оценим адекватность построенной модели.

Для проверки свойства случайности используем критерий поворотных точек.

Построим график остатков E(t).

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество .

Вычислим при .

Сравним > , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

Для проверки независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.

С помощью функций "СУММКВ" и "СУММКВРАЗН" найдем

, . Таким образом, .

При критические значения d - статистик .

Сравнение величин показывает, что . Это свидетельствует об отрицательной корреляции. В этом случае перед проверкой d заменяем на .

; следовательно , уровни ряда остатков являются независимыми.

Для дополнительной проверки свойства независимости вычислим первый коэффициент автокорреляции.

Используем функцию "СУММПРОИЗВ" и найдем сумму .

Тогда .

Критическое значение для коэффициента автокорреляции составляет .

Сравнение с критическим значением показывает, что . Таким образом, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

Для проверки свойства нормального распределения остаточной компоненты используем R/S-критерий.

. Предварительно найдем Еmax и Еmin и S(E) . (в Ex. Функция МАКС и МИН, СТАНДАРТОТКЛОН).

Вычислим .

Критический интервал .

, значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

ВЫВОД: По итогам проверки свойств можно сделать вывод. Данная модель адекватна, для нее выполняются все свойства, она пригодна для дальнейшего прогнозирования и изучения.

Построенная модель имеет достаточное качество, ее можно использовать для прогнозирования. Применяем основную формулу модели , в ней фиксируем момент t=n=16, и изменяем шаг упреждения k=1,2,3.

. Для второго квартала будущего пятого года при найдем

. Для третьего квартала будущего пятого года при найдем

. Для четвертого квартала будущего пятого года при найдем

. Исходные данные и результаты всех выполненных расчетов покажем на общем графике.

7

Показать полностью…
Похожие документы в приложении