Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине:

"Эконометрика"

Вариант № 5

Исполнитель: Лашина Ю.С.

Специальность: ФиК

Группа: периферия

№ зачетной книжки:06ФФБ02085

Проверил: Сысолятина И. В.

Киров - 2009 г.

Содержание

1. Задание3

2. Расчетная часть5

2.1. Решение задачи № 1.5

2.2. Решение задачи № 217

2.2.1. Решение задания 2а.17

2.2.2. Решение задание 2б.19

2.2.3. Решение задание 2в.21

3.Список литературы24

Задание

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Х 31 23 38 47

46 49

20 32 46 24 У

38 26 40 45 51

49 34 35 42 24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S?2; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя У при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения У, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Задача 2

Даны по две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Номер уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

переменные

у1 у2 у3 х1

х2 х3

х4 у1 у2 у3

х1 х2 х3 х4

1 -1 0 b13 a11

0 a13

a14 -1 0 b13 a11

a12 A13 0 2 b21

-1 b23 0 a22 0

a24 b21

-1 b23 0 0 a23

a24 3 b31 0 -1

0 a32 a33 a34

b31 0

-1 a31 a32 a33

0 2в. По данным таблицы, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

n y1

y2 x1

x2 1 73,9 75,0

5 11 2 88,6 67,3

8 7 3 34,3 34,9

2 3

4 84,5 86,3 6

13 5 42,7 64,5

1 11 6 103,5 93,4

8 14

Расчетная часть

2.1. Решение задачи № 1

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1).

Таблица 1. Расчетные значения для определения параметров уравнения

№ х

у ху х2

1 31 38 1178

961 -4,6

21,16

-0,4 0,16 2 23

26 598 529 -12,6

158,76 -12,4 153,76

3 38

40 1520 1444 2,4

5,76 1,6 2,56 4

47 45 2115 2209

11,4

129,96 6,6 43,56

5 46 51 2346 2116

10,4 108,16 12,6

158,76

6 49 49 2401 2401

13,4 179,56 10,6

112,36 7 20 34

680 400

-15,6 243,36 -4,4

19,36 8 32 35

1120 1024 -3,6

12,96

-3,4 11,56 9 46

42 1932 2116 10,4

108,16 3,6 12,96

10 24

24 576 576 -11,6

134,56 -14,4 207,36

Итого 356 384

14466

13776 1102,4

722,40 Среднее значение

35,6 38,4 1446,6

1377,6

110,24 72,24

Общий вид уравнения линейной регрессии y=a+b*x+e

Значение параметров регрессии b и а определим по формулам:

Получим уравнение регрессии: .

С увеличением капиталовложений на 1 млн. рублей выпуск продукции увеличивается на 0,7217 млн. рублей.

Вычислим остатки по формуле:

где - значения у, вычисленные по модели .

Полученные значения остатков сведем в таблицу 2.

Таблица 2. Расчетные значения для определения дисперсии остатков

№ х

у y ? ?2 ?i -?i-1

(?i -?i-1)2 ?i ?i-1

1 31 38 35,0802

35,0802

8,5253 2 23

26 29,3066 29,3066

10,9336 -6,2264

38,7681

-9.6546 3 38 40

40,1321 40,1321

0,0174 3,1745 10,0775

0.4368

4 47 45 46,6274

46,6274 2,6483 1,4953

2,2359 0.2150 5

46 51

45,9057 45,9057

25,9523 6,7217 45.1813

-8.2905 6 49 49

48,0708

48,0708 0,8635 -4,1651

17,3481 4.7336 7

20 34 27,1415 27,1415

47,0389

5,9293 35,1566 6.3729

8 32 35 35,8019

35,8019 0,643 -7,6775

58.9440

-5.4998 9 46 42

45,9057 45,9057

15,2542 -3,0867

9.5277

3.1320 10 24 24

30,0283 30,0283

36,3404 -2,1226

4.5054

23.5447 Итого

0 148,2169 221.7446

14.9901 Используя данные таблицы 2, определим остаточную сумму квадратов по формуле:

Тогда дисперсия остатков равна ;

Построим график остатков (рис. 1).

Рис. 1. График остатков

Проверим выполнения предпосылок МНК.

1. Математическое ожидание случайной величины, как видно из табл. 2, равно нулю:

2. В Модель возмущение ?i - есть величина случайная, а объясняющая переменная хi -величина не случайная, это видно из таблицы 2, где хi - всегда положительное, а ?i -не постоянно.

3. Наличие (отсутствие) автокорреляции Воспользуемся первым коэффициентом автокорреляции:

Так как фактическое значение коэффициента меньше табличного для 5%-ного уровня значимости 0,1011, то принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции.

4. Обнаружение гетероскедастичности. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда-Квандта, выполним следующие шаги:

- разделим упорядоченную по мере возрастания переменной х совокупность на две группы и определим по каждой из групп уравнений регрессии:

Таблица 2.1. Расчетные значения для обнаружения гетероскедастичности

Группа

№ х у y y- y

(y- y)2 I 1 20

34 27,1415 6,8585

47,0389

2 23 26 29,3066

-3,3066 10,9336

3 24 24 30,0283

-6,0283

36,3404 4 31

38 35,0802 2,9198

8,5253 5 32 35

35,8019

-0,8019 0,643 Итого

103,4812

II 6 38 40 40,1321

-0,1321

0,0174 7 46 42

45,9057 -3,9057

15,2542 8 46

51 45,9057

5,0943 25,9523

9 47 45 46,6274

-1,6274 2,6483

10 49

49 48,0708 0,9292

0,8635 Итого

44,7357

Определим остаточную сумму квадратов для первой и второй регрессии, используя данные таблицы 2.1:

Так как, < [1, c.111], то гетероскедастичность не имеет место.

5.Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S-критерия

где - соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков;

- среднеквадратическое отклонение.

Так как расчетное значение попадает между табулированными границами при уровне вероятности ?=0,05 [1, c.113]: нижняя граница - 2,67 и верхняя граница - 3,57, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

Оценку статической значимости параметров уравнения проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Но о статически незначимом отличии параметров от нуля а= b=0.

Для числа степеней свободы k=п-2=10-2=8 и ?=0,05

Среднее квадратическое отклонение определим используя данные табл. 1:

Определим случайные ошибки :

Тогда

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

>; >

поэтому гипотеза Но отклоняется, т.е. а и b не случайно отличаются от нуля, а статически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-?=1-0,05=0,95 параметры а и b, находясь

в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статически незначимыми и существенно отличны от нуля.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Используя данные табл. 1 определим :

Определим коэффициент детерминации:

Это означает, что 79,21% вариации выпуска продукции объясняется вариацией х - капиталовложений.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

Таблица 3.

№ х у y у- y

Аi 1 31 38 35,0802

2,9198 7,6837 2

23 26

29,3066 -3,3066

12,7177 3 38 40

40,1321 -0,1321

0,3302

4 47 45 46,6274

-1,6274 3,6164 5

46 51 45,9057 5,0943

9,9889

6 49 49 48,0708

0,9292 1,8964 7

20 34 27,1415 6,8585

20,172

8 32 35 35,8019

-0,8019 2,2911 9

46 42 45,9057 -3,9057

9,2992

10 24 24 30,0283

-6,0283 25,1179

Итого

93,1135

Используя данные таблицы 3, определим :

% В среднем расчетном значении y для линейной модели отличается от фактического значения на 9,31%

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (0,05).

Для числа степеней свободы 8 и ?=0,05 [1, c.111].

Так как <, то Но - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Если прогнозное значение фактора Х составит: млн.руб., тогда прогнозное значение У составит:

млн.руб.

Средняя стандартная ошибка прогноза определяется по формуле:

Предельная ошибка прогноза при ?=0,1, то [1, c.113] составит:

Доверительный интервал прогноза:

Составим уравнения нелинейной регрессии.

Уравнение равносторонней гиперболы

линеаризуется при замене: Х= 1/х. Тогда

Для расчетов используем данные таблицы 4.

Таблица 4. Расчетные значения для определения показателей гиперболы

№ y x X y*X

y (у- y) (у- y)2

Аi 1

38 31 0,0323 1,2258

-0,4 0,16

37,7466 0,2534

0,0642

0,6669 2 26 23

0,0435 1,1304 -12,4

153,76 31,9185 -5,9185

35,0290

22,7636 3 40 38

0,0263 1,0526 1,6

2,56 40,8331 -0,8331

0,6941

2,0828 4 45 47

0,0213 0,9574 6,6

43,56 43,4506 1,5494

2,4006

3,4431 5 51 46

0,0217 1,1087 12,6

158,76 43,2104 7,7896

60,6784

15,2738 6 49 49

0,0204 1,0000 10,6

112,36 43,9017 5,0983

25,9927

10,4047 7 34 20

0,0500 1,7000 -4,4

19,36 28,5310 5,4690

29,9102

16,0854 8 35 32

0,0313 1,0938 -3,4

11,56 38,2702 -3,2702

10,6941

9,3434 9 42 46

0,0217 0,9130 3,6

12,96 43,2104 -1,2104

1,4650

2,8818 10 24 24

0,0417 1,0000 -14,4

207,36 32,8595 -8,8595

78,4910

36,9146 Итого

384 356 0,31013

11,1818 0,0000 722,4

383,932

0,06806 245,4193

119,8601 Среднее значение

38,4 35,6 0,0310

1,1182

0,0000 72,24 38,3932

0,00681 24,5419

11,9860 Значение параметров регрессии b и а составили:

-519,4245

54,5022 Получим уравнение: .

Индекс корреляции определим по формуле:

Коэффициент детерминации:

Средняя ошибка аппроксимации :

% Расчетное значение y отклоняется от фактического y в среднем на 11,986%

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризацию произведем путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где , ,

Для расчетов используем данные таблицы 5.

Таблица 5. Расчетные значения для определения показателей степенной модели

№ Х У ХУ

Х? y (у- y) (у- y)?

Ai

1 1,4914 1,5798

2,3560 2,2242 35,2700

2,7300 7,4531 7,1843

2 1,3617

1,4150 1,9268 1,8543

29,1201 -3,1201

9,7351 12,0004

3 1,5798

1,6021 2,5309 2,4957

40,1942 -0,1942

0,0377 0,4854

4 1,6721

1,6532 2,7643 2,7959

46,0701 -1,0701

1,1452 2,3781

5 1,6628

1,7076 2,8393 2,7648

45,4385 5,5615 30,9300

10,9048 6 1,6902

1,6902

2,8568 2,8568 47,3191

1,6809 2,8253 3,4303

7 1,3010 1,5315

1,9925

1,6927 26,6214 7,3786

54,4435 21,7017

8 1,5051 1,5441

2,3241

2,2655 35,9961 -0,9961

0,9923 2,8461

9 1,6628 1,6232

2,6991

2,7648 45,4385 -3,4385

11,8235 8,1870

10 1,3802 1,3802

1,9050

1,9050 29,9266 -5,9266

35,1248 24,6942

Итого 15,3071

15,7268

24,1947 23,61952

381,3948 2,60524

154,5104 93,8123

Среднее значение

1,5307 1,5727 2,4195

2,3620 38,1395 0,26052

15,4510 9,3812

Рассчитаем A и b:

Получим уравнение: .

Выполнив его потенцирование, получим:

Индекс корреляции определим по формуле:

Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где , ,

Для расчета используем данные таблицы 6.

Таблица 6. Расчетные значения для показателей показательной модели

№ х у У Ух

y (у- y)

(у- y)2 Аi 1

31 38 1,5798 48,9733

34,2032 3,7968 14,4160

9,9917

2 23 26 1,4150

32,5444 29,2379

-3,2379 10,4840

12,4534

3 38 40 1,6021

60,8783 39,2348

0,7652 0,5856 1,9130

4 47

45 1,6532 77,7010

46,8065 -1,8065

3,2635 4,0145 5

46 51

1,7076 78,5482 45,8977

5,1023 26,0331 10,0044

6 49 49 1,6902

82,8196

48,6784 0,3216 0,1034

0,6563 7 20 34

1,5315 30,6296 27,5677

6,4323

41,3740 18,9184

8 32 35 1,5441

49,4102 34,8804

0,1196

0,0143 0,3418 9

46 42 1,6232 74,6695

45,8977 -3,8977

15,1924

9,2803 10 24 24

1,3802 33,1251 29,8168

-5,8168 33,8352

24,2367

Итого 356 384

15,7268 569,299

382,221 1,77885

145,3015

91,8105 Среднее значение

35,6 38,4 1,5727

56,9299 38,2221

0,17788

14,5301 9,1811

Рассчитаем А и В:

Получим уравнение: .

Выполнив его потенцирование, получим:

Индекс корреляции определим по формуле:

График построения регрессии

Сопоставим рассчитанные данные в таблице

Модель

R2 Ae/y,% Гиперболическая

0,6603 11,9860 Степенная

0,7861 9,3812 Показательная

0,7989

9,1811

По данным таблицы можно сделать вывод , что наилучшей является степенная модель , т.к. у нее наибольший коэффициент детерминации (R?) и наименьший ошибки аппроксимации (Ai%)

2.2. Решение задачи 2

2.2.1. Решение задачи 2а

Система одновременных уравнений:

Модель имеет три эндогенные () и четыре экзогенные () переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных - ,

отсутствующих экзогенных - .

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

Х2 Х3 второе

-1 a22 третье

0 a32

Det=-1*a32-0*a22?0,

Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - ,

отсутствующих экзогенных - .

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

Х1 х3 первое

а11 а13 третье

0 а33

Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных - ,

отсутствующих экзогенных - .

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

У2 Х1 первое

0 a11 второе

-1 0

Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема.

2.2.2. Решение задания 2б

Система одновременных уравнений:

Модель имеет три эндогенные () и четыре экзогенные () переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных - ,

отсутствующих экзогенных - .

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

у2 Х4 первое

-1 а24 третье

0 0

Определитель матрицы равен нулю, следовательно, достаточное условие не выполняется, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - ,

отсутствующих экзогенных - .

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

Х1 х2 первое

а11 а12 второе

а31 а24

Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных - ,

отсутствующих экзогенных - .

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

у2 Х4 первое

0 0 второе

-1 а24

Определитель матрицы равен нулю, следовательно, не выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

2.2.3 Решение задания 2в

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней и (- средние значение). Преобразованные таким образом исходные данные сведены в таблицу 7. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов dik

Таблица 7. Расчетные значения для определения структурной формы

№ y1

у2 х1 х2 у1х1

х12 х1х2 у1х2

у2х1 у2х2 х22

1 73,9

75 5 11 0,000

0,000 0,000 3,092

0,000 5,561 1,361

2 88,6

67,3 8 7 52,050

9,000 -8,500 -49,158

-8,800 8,311 8,028

3 34,3

34,9 2 3 110,850

9,000 20,500 252,492

106,000 241,444

46,694

4 84,5 86,3 6

13 13,250 1,000

3,167 41,958 16,067

50,878

10,028 5 42,7 64,5

1 11 114,200 16,000

-4,667 -33,308 22,933

-6,689

1,361 6 103,5 93,4

8 14 96,750 9,000

12,500 134,375 69,500

96,528

17,361 Итого

427,500 421,400

30,000 59,000 387,100

44,000

23,000 349,450 205,700

396,033 84,833

Для нахождения коэффициентов d1к первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в табл. 7 значения сумм, получим:

Решение этих уравнений дает значения d11=7,74, d12=2,02. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:

Для нахождения коэффициентов d2к второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в табл. 7 значения сумм, получим:

Решение этих уравнений дает значения d21=2,604, d22=3,962. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:

y2 =

2,6* x1 + 3,96*

x2+ u1

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

Таким образом, b12=0,51; a11=6,414.

Найдем х1 из первого уравнения приведенной формы модели:

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

Таким образом, b21=0,336; a22=3,283.

Свободные члены структурной формы находим из уравнения:

Окончательный вид структурной модели:

Список литературы

1. Эконометрика. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной и аудиторной работы на ПЭВМ. - М.: Вузовский учебник, 2005. - 122 с.

2. Эконометрика : Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. - М.:Э40 Финансы и статистика, 2002.-344с.

3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И.Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.- 192 с.

9

Показать полностью…
Похожие документы в приложении