Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса» по Математике (Романов А. Н.)

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по финансовой математике

Вариант 5

Выполнила студентка

Группа Студенческий билет

Проверила Кошлякова В.А.

Москва 2009 г.

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) на 4 года.

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта - Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3= 0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимость уровней ряда остатков по d- критерию (критические значения d1=1.10 и d2=1.37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0.32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S- критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта - Уинтерса

Исходные данные:

Таблица 1

t 1

2 3 4 5 6 7

8 Y(t) 35 44 52

34 37 48 59 36

t 9

10 11 12 13 14

15 16 Y(t) 41

52 62 38 46 56

67 41

Для того, чтобы построить адаптивную мультипликативную модель Хольта - Уинтерса необходимо найти значения коэффициентов а(0), b(0), F(-3), F(-2), F(-1), F(0). Для этого построим вспомогательную линейную модель, использовав первые 8 кварталов (2 года), значения которых даны нам в исходных данных (Сервис > Анализ данных > Регрессия). Получим "Вывод итогов" программы Регрессия1, где в строках "Y-пересечение" и "Переменная Х1" находятся коэффициенты, которые можно использовать в качестве предварительных оценок а(0) и b(0). С учетом полученных коэффициентов линейное уравнение имеет следующий вид: y=39.21+0.87t.

В столбце "Предсказанное Y" итогов регрессии содержатся расчетные значения , сопоставим их с фактическими значениями (табл. 2).

Таблица 2

t 1

2 3 4 5 6 7

8 Y(t) 35 44 52

34 37 48 59 36

40,08

40,95 41,82 42,69

43,56 44,43 45,3

46,17 Такое сопоставление необходимо для оценки приближенных значений коэффициентов сезонности F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году.

Оценкой коэффициента сезонности I квартала служит отношение фактических и расчетных значений для Y(t) I квартала первого года Y(1)/Yр(1), такое же отношение и для I квартала второго года Y(5)/Yр(5). Для более точной оценки используют среднюю арифметическую этих двух величин:

F(-3) = 1/2*( Y(1)/ Y(1)+ Y(5)/ Y(5)) = 1/2*(35/40,08+37/43,56)=0,861;

F(-2) = 1/2*( Y(2)/ Y(2)+ Y(6)/ Y(6)) = 1/2*(44/40,95+48/44,43)=1,077;

F(-1) = 1/2*( Y(3)/ Y(3)+ Y(7)/ Y(7)) = 1/2*(52/41,82+59/45,3)=1,272;

F (0) = 1/2*( Y(4)/ Y(4)+ Y(8)/ Y(8)) = 1/2*(34/42,69+36/46,17)=0,788.

Предварительный расчёт завершён можно перейти к основному по формулам Хольта - Уинтерса. Используем t = 0 и k = 1. По основной формуле получим:

Yp(1) = [a(0)+b(0)*1]*F(0+1 - 4) = (39,21+0,87)*0,86= 34,51 (усл. ед.)

Уточним коэффициенты для t = 1:

a(1) = ?а* Y(1)/F(-3)+(1 - ?а)*( a(0)+b(0)) = 40,25;

b(1) = ?b*( a(1) - a(0))+(1 - ?b)* b(0) = 0,92;

F(1) = ?F*Y(1)/a(1)+(1 - ?F)* F(-3) = 0,87.

Аналогично выполняются расчеты для t=2,3,4,.,16. Для автоматического вычисления в Excel можно растянуть строку, содержащую коэффициенты сглаживания a(1), b(1), F(1) и расчётное значение Yp(1). Полученные результаты заносятся в таблицу "Модель Хольта - Уинтерса" (таб. 3). Все расчеты приведены в Приложении 2.

Таблица 3

Модель Хольта- Уинтерса

t Y(t)

a(t) b(t) F(t)

Yрасч(t) -3

0,861

-2

1,077 -1

1,272

0 39,214 0,869

0,861

1 35 40,251

0,921 0,866 34,509

2 44 41,077 0,893

1,073

44,343 3 52 41,633

0,792 1,259 53,427

4 34 42,642 0,857

0,794

33,431 5 37 43,265

0,787 0,860 37,675

6 48 44,250 0,846

1,080

47,289 7 59 45,631

1,007 1,279 56,758

8 36 46,255 0,892

0,784

37,011 9 41 47,312

0,941 0,864 40,526

10 52 48,219 0,931

1,079

52,126 11 62 48,945

0,870 1,272 62,874

12 38 49,403 0,746

0,775

39,075 13 46 51,081

1,026 0,886 43,318

14 56 52,042 1,006

1,077

56,231 15 67 52,939

0,974 1,268 67,464

16 41 53,604 0,881

0,769

41,797 2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Условие точности модели будем считать выполненным, если ее средняя относительная погрешность не превышает 5%. Среднюю ошибку аппроксимации найдем по формуле:

, где Et - остатки.

Таблица 4

t Y(t) a(t) b(t)

F(t) Yрасч(t)

E(t) Et/Y(t) -3

0,861

-2

1,077

-1 1,272

0 39,214

0,869 0,861

1 35 40,253

0,920 0,866 34,511

0,489

0,0140 2 44 41,078

0,891 1,073 44,344

-0,344 0,0078 3

52 41,633

0,791 1,259 53,426

-1,426 0,0274 4

34 42,640 0,856

0,794

33,430 0,570 0,0168

5 37 43,263 0,786

0,860 37,672 -0,672

0,0182

6 48 44,249 0,846

1,080 47,286 0,714

0,0149 7 59 45,629

1,006

1,279 56,756 2,244

0,0380 8 36 46,253

0,892 0,784 37,011

-1,011

0,0281 9 41 47,311

0,941 0,864 40,524

0,476 0,0116 10

52 48,217

0,931 1,079 52,125

-0,125 0,0024 11

62 48,943 0,869

1,272

62,874 -0,874 0,0141

12 38 49,402 0,746

0,775 39,075 -1,075

0,0283

13 46 51,079 1,026

0,886 43,317 2,683

0,0583 14 56 52,041

1,006

1,077 56,230 -0,230

0,0041 15 67 52,938

0,974 1,268 67,464

-0,464

0,0069 16 41 53,603

0,881 0,769 41,798

-0,798 0,0195 ?

0,3103

=1,93% < 5%, значит точность модели хорошая.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования

3.1. Оценить случайность остаточной компоненты по критерию пиков

По графику остатков ряда найдем поворотные точки (рис. 1). Общее число поворотных точек p равно 8. По формуле (1) рассчитаем критическое значение pкрит.

(1)

Рисунок 1

p> pкрит (8>6), значит условие случайности уровней ряда выполнено.

3.2. Оценить независимость уровней ряда остатков

1) по d- критерию Дарбина - Уотсона

2) по первому коэффициенту автокорреляции r1

1) d- критерий найдем по формуле: . Произведем вспомогательные расчеты для нахождения значений числителя и знаменателя дроби. Результаты вычислений представлены в таблице 5.

Таблица 5

t Y(t)

Yрасч(t) E(t)

|Et/Y(t)| E(t)2

(E(t)-E(t-1))2 E(t)*E(t-1)

0 1

35 34,509 0,491

0,0140 0,241

2 44 44,343

-0,343

0,0078 0,117 0,695

-0,168 3 52 53,427

-1,427 0,0275 2,037

1,177

0,489 4 34 33,431

0,569 0,0167 0,324

3,986 -0,812 5

37 37,675

-0,675 0,0182 0,456

1,548 -0,384 6

48 47,289 0,711

0,0148

0,506 1,922 -0,480

7 59 56,758 2,242

0,0380 5,026 2,343

1,594

8 36 37,011 -1,011

0,0281 1,023 10,584

-2,268 9 41 40,526

0,474

0,0116 0,225 2,207

-0,480 10 52 52,126

-0,126 0,0024 0,016

0,360

-0,060 11 62 62,874

-0,874 0,0141 0,764

0,560 0,110 12

38 39,075

-1,075 0,0283 1,156

0,041 0,940 13

46 43,318 2,682

0,0583

7,194 14,119 -2,884

14 56 56,231 -0,231

0,0041 0,053 8,484

-0,618

15 67 67,464 -0,464

0,0069 0,215 0,054

0,107 16 41 41,797

-0,797

0,0194 0,636 0,111

0,370 ? 0,3103

19,990 48,190 -4,544

Тогда ; т.к. d>2, то имеет место отрицательная автокорреляция. В этом случае необходимо дополнительное исследование.

По условию d1 = 1,10 и d2 =1,37; d2<<2, значит условие независимости остатков ряда выполнено.

2) Для дополнительной проверки используют первый коэффициент автокорреляции r1. Статистику r1 находим по формуле: .

Значения числителя и знаменателя берем из таблицы 5, тогда r1 равно:

По условию критическое значение r1=0,32.

Т.к. |0.23|<0.32| > |rрасч|<rкрит, то уровни ряда независимы.

3.3. Нормальность распределения остатков по R/S- критерию

Статистика R/S находится по формуле: , где

Emax - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax = 2,682; Emin = -1,427

По условию нам дан критический интервал от 3 до 4,21, т.к. значение R/S = 3.56 входит в этот интервал, то по этому критерию модель адекватна и уровни остатков ряда распределены по нормальному закону.

4. Точечный прогноз на 4 шага вперед.

В предыдущем пункте мы проверили модель на ее точность и адекватность по разным критериям. Все ее параметры являются удовлетворительными, а, следовательно, по данной модели можно производить прогнозирование на следующие периоды.

Для прогнозирования используют основную формулу . В ней нужно зафиксировать t=16, а k=1,2,3,4. Тогда получим:

Отобразим на графике фактические, расчетные и прогнозные значения (рис.2).

Рисунок 2

На графике хорошо видно, что расчетные значения точно описывают фактические значения показателя Y, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

ЗАДАЧА 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням. Рассчитать:

* экспоненциальную скользящую среднюю;

* момент; * скорость изменения цен;

* индекс относительной силы;

* %R, %K, %D. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить.

Решение

Исходные данные представлены в таблице 6:

Таблица 6

Дни Цены

макс.

мин. закр.

1 718 660 675

2 685 601 646

3 629

570 575 4 585

501 570 5 598

515 523 6 535

501 506

7 555 500 553

8 580 540 570

9 580 545 564

10 603

550 603 1) Найти экспоненциальную скользящую среднюю EMAt.

Для расчета экспоненциальной средней необходимо найти первоначальное значение EMA(5)=MA(5).

MA(5) = (675+646+575+570+523)/5 = 597,8

Далее экспоненциальную скользящую среднюю находим по основной формуле: , где k = 2/(n+1).

Т.к. период сглаживания по условию равен 5, тогда k = 2/(5+1)=1/3. Найдем .

Аналогично проводим расчеты для остальных дней (можно протянуть столбец в Excel для автоматического расчета). Результаты приведены в таблице 7.

Таблица 7

Дни Цены

MA(t) EMA(t) макс.

мин. закр.

1

718 660 675

2 685 601 646

3 629 570

575

4 585 501 570

5 598 515

523 597,8 572,8667

6 535

501 506 564 550,5778

7 555 500 553

545,4 551,3852 8

580 540

570 544,4 557,5901

9 580 545 564

543,2 559,7267 10

603 550

603 559,2 574,1512

2) Нахождение момента MOM.

По условию интервал сглаживания n=5, поэтому расчет момента начинается с 5 дня по формуле: .

. Остальные результаты расчетов приведены в таблице 8.

Таблица 8

Дни Цены

MA(t) EMA(t) MOM

макс. мин.

закр.

1 718 660

675 2 685

601 646

3 629

570 575

4 585 501 570

5 598 515

523 597,8

572,8667 -152 6

535 501 506 564

550,5778 -140 7

555 500

553 545,4 551,3852

-22 8 580 540

570 544,4 557,5901

0 9

580 545 564 543,2

559,7267 41 10

603 550 603 559,2

574,1512

97

С 5 по 7 день значения момента отрицательны, что свидетельствует о снижении цен в эти дни, рекомендуются продажи; тренд нисходящий. На 8 день момент равен 0 - происходит разворот. На 9-10 день тренд меняет свое направление - становится восходящим - значения момента положительно, следовательно, цены постепенно растут, рекомендуются покупки.

3) Скорость изменения цен ROC.

.

Формула показывает: при восходящем тренде ROC > 100%, при нисходящем меньше. Сигналом разворота является пересечение графика с уровнем 100%.

Таблица 9

Дни Цены

MA(t)

EMA(t) MOM ROC, %

макс. мин.

закр.

1 718

660 675

2 685 601 646

3 629

570 575

4 585

501 570

5 598 515 523

597,8

572,8667 -152 77,48

6 535 501 506

564 550,5778 -140

78,33

7 555 500 553

545,4 551,3852 -22

96,17 8 580 540

570 544,4

557,5901 0 100,00

9 580 545 564

543,2 559,7267 41

107,84

10 603 550 603

559,2 574,1512 97

119,17

С 5 - 7 день тренд нисходящий, т.к. он расположен ниже уровня 100%, рекомендуются продажи. На 8 день происходит пересечение графика с осью 100% - это сигнал к развороту тренда. 9-10 дни тренд возрастающий, он расположен выше оси 100%, рекомендуются покупки.

4) Индекс относительной силы RSI

RSI находим по формуле: , где

AU - сумма прироста за n дней, включая исходный;

AD - сумма убыли конечных цен за n дней, включая исходный.

Т.к. по условию нам дан уровень сглаживания n=5, то найдем изменения цен за 5 дней, использую формулу: .

Разность со знаком "+" записываем в колонку AU, отрицательные значения заносим в колонку AD, но без знака "-".

Затем рассчитаем сумму положительных приростов AU и отрицательных AD при интервале сглаживание 5 дней.

Найдем значения RSI.

Аналогично найдем остальные значения RSI (табл. 10).

Таблица 10

Дни Цены

EMA(t)

MOM ROC, % макс.

мин. закр.

1 718 660

675

2 685 601 646

3 629 570

575 4 585

501 570

5 598 515

523 572,87 -152

77,48 6 535 501

506 550,58

-140 78,33 7 555

500 553 551,39

-22 96,17 8 580

540 570

557,59 0 100,00

9 580 545 564

559,73 41 107,84

10 603

550 603 574,15

97 119,17 Дни

Разность

AU(5)

AD(5) AU AD RSI

1

2 -29

29

3 -71 71

4 -5 5

5 -47 47

0 152

0 6 -17 17 0

169 0 7 47 47

47 140 25,13

8 17

17 64 69 48,12

9 -6 6 64 70

47,76 10 39 39

103

23 81,75

На 6 день RSI равен 0 - это означает, что AU = 0, т.е. за 5 дней нет приростов, только убыль > быстрый непродолжительный нисходящий тренд, ожидается разворот. Затем до 8 дня график находится в зоне перепроданности - операции следует приостановить в ожидании скорого разворота тренда. Далее мы видим выход графика из критической зоны, т.е. сигнал разворота, график входит в нейтральную зону от 20(25) до 75(80) (8 - 9 день) - возможны операции (рекомендуются продажи по сигналам МОМ и ЕМА). На 10 день график входит в критическую зону перекупленности - зону бездействия, рекомендуется приостановить операции - сделки следует приостановить в ожидании сигнала разворота (выхода графика из критической зоны).

5) Стохастические индексы %R, %K, %D.

, где

Ct - цена закрытия на текущий день;

H5 - максимальная цена за последние 5 дней;

L5 - минимальная цена за последние 5 дней.

Найдем значения показателей %R и %K.

Аналогично найдем значения для остальных дней.

Индекс %D находится так же как индекс %K, только в числителе и знаменателе берется сумма за последние 3 дня. Поэтому вычисление проводятся для 7, 8, 9, и 10 дней.

. Все полученные результаты занесены в таблицу 11.

Таблица 11

Дни Цены

Ct-L5 H5-L5 %К

%R %D макс.

мин.

закр.

1 718 660 675

2

685 601

646

3 629 570 575

4

585 501

570

5 598 515 523

22 217 10,14 89,86

6 535

501 506 5 184

2,72 97,28 7

555 500 553 53

129 41,09

58,91 15,09 8 580

540 570 70 98

71,43 28,57 31,14

9 580

545 564 64 98

65,31 34,69 57,54

10 603 550 603

103 103

100,00 0,00 79,26

Вывод: правила анализа стохастических линий соответствуют правилам анализа индекса относительной силы RSI(t). Таким образом, анализ стохастической линии %K показал, что с 5 - 6 день график находится в критической зоне перепроданности - рекомендуется приостановить операции. Далее - сигнал разворота - выход графика из критической зоны. С 7 - 9 день график находится в нейтральной зоне - можно проводить операции (продажи).

На 10 день график находится в верхней критической зоне перекупленности (75 (80) - 100) - следует приостановить операции в ожидании сигнала разворота. При этом на графике существует точка - десятый день, в которой %K равен 100. Это свидетельствует о том, что цена закрытия десятого дня 603 равна максимальной цене десятого дня с параметром сглаживания n = 5. Т.е. цена закрытия является максимальной за десять дней, что говорит о наличии непродолжительного быстро восходящего тренда и появлении последующего разворота.

Стохастическая линия %R имеет график симметричный %K, для него верхняя зона - это зона перепроданности, а нижняя критическая зона - зона перекупленности. Сигналы поведения графика %R полностью совпадают с сигналами поведения графика %K.

Рассматривая график %D, делаем вывод о том, что на 7 день все операции необходимо остановить, т.к. график находится в критической зоне перепроданности. Затем на 8 день до 9 дня - сигнал разворота и переход графика в нейтральную зону - рекомендуются продажи. На 10 день график в верхней критической зоне перекупленности - останавливаем операции.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Нахождение значений коэффициентов a(0), b(0) и с помощью функции "Регрессия" пакета анализа Excel.

t 1 2 3 4 5

6 7 8 Y(t) 35

44 52

34 37 48 59 36

1 См. Приложение 1

- -

Показать полностью…
Похожие документы в приложении