Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Решение графическим методом задачи линейного программирования» по Экономике (Филонова Е. С.)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский Заочный Финансово-Экономический Институт

Контрольная работа

по экономико-математеческим методам и прикладным моделям

Вариант № 9

Преподаватель:

Работа выполнена

2009 г.

ЗАДАЧА 1

Решите графическим методом задачу линейного программирования. Найти максимум и минимум функции f(X) при заданных ограничениях.

Решение

1. Построим области допустимых решений, задаваемых ограничениями.

Первое ограничение . Прямая проходит через точки (-14; 0) и (0; 7). Второе ограничение . Прямая проходит через точки (8,5; 0) и (0; 17). Третье ограничение . Прямая проходит через точки (2,67; 0) и (0; -8). Четвертое ограничение . Прямая проходит через точки (4; 0) и (0; 4).

2. Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем начало координат (0; 0), тогда концом вектора-градиента является точка с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим осям координат - с1=4 и с2=-3, т.е. точка (4; -3).

Область допустимых решений и вектор-градиент целевой функции изображены на рисунке. Там же строим линию нулевого уровня целевой функции [f(X)=0] - прямую, в каждой точке которой целевая функция равна нулю.

Для определения положения точки максимума целевой функции смещаем линию, параллельную линии нулевого уровня, в направлении вектора-градиента целевой функции, до тех пор, пока эта линия не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой максимума целевой функции.

В нашей задаче такой точкой является точка Е - точка, образованная пересечением граничных прямых ограничений III и IV. Чтобы определить координаты точки Е, необходимо решить систему уравнений этих прямых:

В результате получим оптимальное решение задачи на максимум целевой функции: x1*=3; x2*=1. Целевая функция принимает в точке (3; 1) максимальное значение . Для любой другой точки либо не будут выполняться одновременно все неравенства ограничений, либо целевая функция будет иметь меньшее значение.

Для определения положение точки минимума целевой функции смещаем линию, параллельную линии нулевого уровня, наоборот, в направлении противоположном направлению вектора-градиента целевой функции. Предельная точка области допустимых решений при этом движении является точкой минимума целевой функции.

В нашей задаче такой точкой является точка В, образованная пересечением граничных прямых ограничений I и осью ОХ2. Ее координаты определяются решением системы уравнений этих прямых

Откуда x1*=0 и x2*=7. Таким образом, целевая функция принимает в точке (0;7) минимальное значение для данных условий задачи

. Для любой другой точки либо не будут выполняться одновременно все неравенства ограничений, либо целевая функция будет больше.

ЗАДАЧА 2

Используйте аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы сырья

А Б В Г

I 2 1 0,5 4

2400

II 1 5 3 0 1200

III 3 0 6 1 3000

Цена изделия

7,5 3

6 12 При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: Х1=0, Х2=0, Х3=400, Х4=550.

Требуется:

1) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевые значения Х1, Х2;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

3) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

4) определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида;

5) определить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10 ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых видов продукции А, Б, В, Г, Д соответственно как х1, х2, х3, х4, х5 . Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий - 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Решаем задачу линейного программирования на ЭВМ с помощью табличного процессора MS Excel. Использование надстройки "Поиск решение" программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий Х*=(0; 0; 400; 550). Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(X*)=9000

Следовательно, для получения максимальной выручки от реализации готовой продукции следует производить 400 изделий В, 550 изделий Г и не производить изделия А (x1*=0) и изделия Б (x2*=0). Выпуск изделий А и Б невыгоден при данных условиях задачи.

1. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане и поясним нулевые значения переменных. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*= (0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т.е. являются дефицитными. На это указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y1*=3); наименее дефицитен ресурс II (y2*=1,5).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I и II сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 3 руб., увеличение объема ресурса II на единицу - на 1,5 руб. Ресурс III используется не полностью 2950<3000, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y3*=0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость. Поясним равенство нулю x1*=0 и x2*=0. Если изделие вошло в оптимальный план (х>0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна его цене. В нашей задаче это изделия В и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдёт в оптимальный план (затраты по изделию А равны его цене 7,5-7,5=0 и затраты по изделию Б превышают его стоимость 3-10,5=-7,5).

2. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Используя теоремы двойственности, составим модель такой задачи. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III соответственно как y1, y2, y3. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость используемых ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи соответствует числу переменных исходной задачи и равно 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

Z(Y) = 2400y1+1200y2+3000y3> min;

(2х1* + х2* + 0,5х3* + 4х4* -2400) • у1* = 0;

(х1* + 5х2* + 3х3* + 0х4* -1200) • у2* = 0;

(3х1* + 0х2* + 6х3* + х4* -3000) • у3* = 0.

(2у1* + у2* + 3у3* -7,5) • х1* = 0;

(у1* + 5у2* + 0у3* -3) • х2* = 0;

(0,5у1* + 3у2* + 6у3* -6) • х3* = 0;

(4у1* + 0у2* + у3* -12) • х4* = 0.

х1* = х2* = 0.

(0,5у1* + 3у2* + 6у3* -6) • х3* = 0;

(4у1* + 0у2* + у3* -12) • х4* = 0.

0,5у1* + 3у2* + 6у3* = 6;

4у1* + 0у2* + у3* = 12

y1*=3; y2*=1,5; y3*=0.

Минимальное значение целевой функции двойственной задачи совпадает с максимальным значением целевой функции исходной задачи.

3. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Наиболее дефицитным является I вид ресурсов, так как его двойственная оценка ( ) является наибольшей (приложение 1)

4. При увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида увеличение выручки составит:

ден.ед.

И она составит: ден.ед.

Определим изменение плана выпуска из системы уравнений:

То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:

5. Оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

Затраты на изготовление единицы изделия Д составят:

Так как затраты на производство изделия превышают его стоимость (), то следовательно, продукцию Д выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции. Это, в свою очередь, препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие Д реализовывалось по цене равной или большей 12 руб., то его производство было бы выгодным.

ЗАДАЧА 3

Заданы матрица коэффициентов прямых затрат трех отраслей A=(aij) и вектор конечной продукции Y.

Требуется:

1) проверить продуктивность матрицы A;

2) построить баланс производства и распределения продукции отраслей.

A=

0,4 0,2 0,3 Y=

180 0,2 0,1 0,0

200 0,2 0,1

0,0

160 Решение. Для решения задачи используем табличный процессор EXCEL.

1. Матрица коэффициентов прямых затрат A является квадратной матрицей порядка n=3. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат , где - единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной функции EXCEL "МОБР" получим (см. прил.):

B= 2,045 0,523

0,614

0,455 1,227 0,136

0,455 0,227 1,136

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат B неотрицательны, следовательно матрица коэффициентов прямых затрат A продуктивна.

2. Вычисляем вектор валовой продукции X по формуле . С помощью встроенной функции EXCEL "МУМНОЖ" получим (см. прил.):

X=

570,91 349,09

309,09 Распределение продукции между предприятиями (внутреннее потребление) определяется из соотношения . Получим (см. приложение 2):

xij= 228,36 69,82

92,73

114,18 34,91 0,00

114,18 34,91 0,00

Заполняем схему баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга:

Производящие предприятия

Потребляющие предприятия

Конечная продукция Yi

Валовая продукция Xi

1 2

3 1 228,36

69,82 92,73 180,00

570,91 2 114,18

34,91

0,00 200,00 349,09

3 114,18 34,91

0,00 160,00 309,09

Условно чистая продукция Zj

114,18 209,45 216,36

540,00 Валовая

продукция Xj

570,91

349,09 309,09

1229,09 Задача 4

Имеется временной ряд прибыли предприятия за последние 9 лет (переменная Y, млн. руб.):

t 1

2 3 4 5 6 7

8 9 yt 45 43

40 36 38 34 31

28 25

Требуется:

1) сгладить Y(t) с помощью простой скользящей средней;

2) определить наличие тренда Yp(t);

3) построить линейную модель Yp(t)=a0+axt, параметры которой оценить МНК;

4) построить адаптивную модель Брауна Yp(t)=a0+axk с параметром сглаживания ?=0,4 и ?=0,7; выбрать лучшее значение ?.

5) оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d1=1,08 и d2=1,36) или по по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1)=0,36;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;

- для оценки точности модели используйте среднее квадратическое отклонение и среднюю по модулю ошибку;

6) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P=70% используйте коэффициент Kp =1,05) по двум построенным моделям.

Отобразить на графиках фактические данные, результаты расчетов (1, 3, 4, 6) и прогнозирования по всем моделям.

Решение.

Сгладим Y(t) с помощью простой скользящей средней по трем точкам:

где ?? - исходящий ряд, - сглаженный ряд.

Получим следующие данные:

t 1

2 3 4 5 6 7

8 9 yt 45 43

40 36 38 34 31

28 25

42,67 39,67

38 36 34,33 31

28

Линейную трендовую модель у1 = строим с помощью надстройкиEXCEL "Анализ данных. Регрессия" (меню "Сервис"):

В результате будет получена следующая таблица:

Средствами MS Excel получена следующая линейная модель:

Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

:

Оценку адекватности проведем по следующим показателям:

> Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:

Так как для данной модели , то условие выполнено.

> Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях.

Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d - статистику) по формуле:

Критические значения статистики: и . Так как , то условие выполнено.

> Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:

, где

Так как , то условие выполнено.

Таким образом, построенная модель адекватна.

1) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:

Так как , то построенная модель обладает хорошим уровнем точности.

5) Построим адаптивную модель Брауна. Расчетное значение показателя в момент времени t определяется по формуле:

, где

k - количество шагов прогнозирования (обычно k=1)

Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза:

используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:

а) Примем , тогда . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели:

Расчет проведем с помощью MS Excel:

В результате получим следующую таблицу:

0 47,639

-2,417 1 45

45,080

-2,453 45,222 -0,222

2 43 42,866 -2,393

42,627 0,373 3

40 40,170

-2,469 40,473 -0,473

4 36 36,613 -2,741

37,702 -1,702 5

38 36,514

-2,080 33,872 4,128

6 34 34,156 -2,150

34,434 -0,434 7

31 31,362

-2,311 32,006 -1,006

8 28 28,379 -2,479

29,052 -1,052 9

25 25,324

-2,623 25,900 -0,900

10 22,701

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:

В результате получим таблицу:

1 45 45,222

0,222 0,493 2 43

42,627 0,373 0,867

3 40

40,473 0,473 1,182

4 36 37,702 1,702

4,727 5 38 33,872

4,128

10,864 6 34 34,434

0,434 1,275 7 31

32,006 1,006 3,246

8 28

29,052 1,052 3,756

9 25 25,900 0,900

3,598 30,008

% б) Примем , тогда . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели:

Получим следующую таблицу:

0 47,639

-2,417 1 45

45,020 -2,526 45,222

-0,222

2 43 42,954 -2,278

42,494 0,506 3

40 40,061 -2,609

40,677

-0,677 4 36 36,131

-3,321 37,451 -1,451

5 38 37,533 -0,778

32,810

5,190 6 34 34,248

-2,128 36,755 -2,755

7 31 31,101 -2,677

32,120

-1,120 8 28 28,038

-2,884 28,424 -0,424

9 25 25,014 -2,960

25,154

-0,154 10

22,054 Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:

1 45 45,222

0,222

0,493 2 43 42,494

0,506 1,176 3 40

40,677 0,677 1,691

4 36

37,451 1,451 4,032

5 38 32,810 5,190

13,658 6 34 36,755

2,755

8,104 7 31 32,120

1,120 3,614 8 28

28,424 0,424 1,515

9 25

25,154 0,154 0,615

34,898 %

Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром .

6) Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

Оценку адекватности проведем по следующим показателям:

> Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:

Так как для данной модели , то условие выполнено.

> Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях.

Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d - статистику) по формуле:

Критические значения статистики: и . Так как , то условие выполнено.

> Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:

, где

Так как , то условие выполнено.

Таким образом, построенная модель адекватна.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Список литературы

1. Экономико-математические методы и прикладные модели. Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. - М.: ВЗФЭИ, 2002. - 104с.

2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/Под ред. В.В. Федосеева. - М.: Юнити, 1999. - 391 с.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000. - 136 с.

4. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 144 с.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2009. - 365 с.

7

Показать полностью…
Похожие документы в приложении