Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная № 4 «Выборочная средняя и выборочная дисперсия» по Теории вероятностей и математической статистике (Борисова Л. Р.)

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет непрерывного обучения

Специальность "Финансы и кредит"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

по дисциплине теория вероятности и математическая статистика

Вариант 7

Студентки Бекмеметьева Е.А.

Личное дело № 09ФФ941717

Преподаватель Коропец А.А

Орел 2010

Задание 1

Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:

Время,

мин 1,52,5 2,53,5

3,54,5 4,55,5 5,56,5

6,57,5 7,58,5 8,59,5

9,5- 10,5

Итого Число разговоров

3 4 9 14 37 12

8 8 5 100 Найти:

а) границы в которых с вероятностью 0,9973 заключена средняя продолжительность телефонных разговоров всех абонентов (число которых очень велико);

б) число телефонных разговоров, при котором с вероятностью 0,97 можно было утверждать, что доля всех разговоров продолжительностью не более 6,5 минут отличается от доли таких разговоров в выборке не более, чем на 0,1 (по абсолютной величине);

в) вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной доли (см. п. б)) не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине).

Решение

а) Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию используя формулы:

К- длина интервала (1) С- середина среднего интервала (6)

Результат оформим в таблице.

№ интервал

средний интервал

m U1 U1m U1^2

U1^2m 1 1,5-2,5

2 3

-4 -12 16 48 2

2,5-3,5 3 4 -3

-12 9 36 3 3,5-4,5

4 9

-2 -18 4 36 4

4,5-5,5 5 14 -1

-14 1 14 5 5,5-6,5

6 37

0 0 0 0 6 6,5-7,5

7 12 1 12 1 12

7 7,5-8,5 8 8

2 16

4 32 8 8,5-9,5

9 8 3 24 9 72

9 9,5-10,5 10 5

4 20

16 80 Итого

- - 100 - 16

- 330 - выборачная средняя

по таблице критических точек Лапласа t=3

предельная ошибка выборки

границы: ; 6.16-0.542Х06.16+0.542; 5,618 Х06.702

Таким образом с надежностью 0,9973 средняя продолжительность телефонных разговоров всех абонентов заключена в границах от 5,618 до 6,702

б) В качестве неизвестного значения генеральной доли р возьмем ее состоятельную оценку w, которая определяется по формуле:

= 3+4+9+14+37/100= 0,67

m - число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n - общее число единиц в совокупности.

Учитывая, что у=Ф(t) = 0,97 и t=2,17, найдем объем бесповторной выборки по формуле:

- известна из пункта а).

При Р = 0,9545 коэффициент доверия t = 2 (по таблице значений функции Лапласа Ф(t)).

разговоров

Вывод. Для того, чтобы обеспечить долю всех разговоров продолжительностью не более 6,5 минут необходимо отобрать в выборочную совокупность 104 разговоров.

в) Средняя квадратичная ошибка (из предыдущих расчетов) рассчитаем по формуле:

Теперь искомую доверительную вероятность находим по формуле:

= Ф=Ф(1,06)=0,7109

Т.е. искомую вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной доли не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине), равна 0,7109

Задание 2

По данным задачи 1, используя -критерий Пирсона, уровне значимости ? = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - продолжительность телефонных разговоров - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую.

Решение

Для решения используем следующие формулы:

; ; Результаты расчетов представим в таблице

Xi-xi+1 hi Wi=hi/n

Zi Zi+1

Pi h,i=n*Pi

1,5-2,5 3 0.03

- -2.01 -1 -0.9556

0.022

2.22 0.0067 2,5-3,5

4 0.04 -2.01 -1.46

-0.9556 -0.8557

0.05

5 3,5-4,5 9 0.09

-1.46 -0.91 -0.8557

-0.6372 0.109 10.9

0.339

4,5-5,5 14 0.14

-0.91 -0.36 -0.6372

-0.2812 0.178 17.8

0.812

5,5-6,5 37 0.37

-0.36 0.19 -0.2812

0.1507 0.216 21.6

10.9796

6,5-7,5 12 0.12

0.19 0.74 0.1507

0.5407 0.195 19.5

2.8846

7,5-8,5 8 0.08

0.74 1.29 0.5407

0.8029 0.131 13.1

1.99

8,5-9,5 8 0.08

1.29 1.84 0.8029

0.9342 0.066 6.6

0.3191

9,5-10,5 5 0.05

1.84 - 0.9342 1

0.033 3.3 Сумма

100 1

17.33

Найдем число степеней свободы

К=r-l-1 , где r - число интервалов с учетом объединенных крайних.

К = 7-2-1=4 Х2кр(0,05;4) = 9,49

Так как , то гипотеза о нормальности данного распределения отвергается. Таким образом, случайная величина - Х - стоимость компьютера не может быть распределена по нормальному закону.

Гистограмма продолжительности телефонных разговоров и нормальная кривая Гаусса.

Задание 3

Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден. ед.) приводится в таблице:

y

x 10 15 20

25 30 35 Итого

20 4 2

6 30

5 3 8 40

5 45 5 55

50 2 8 7

17 60

0 4 7 3 14

Итого 4 7

10 57 19 3 100

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости ? = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.

Решение:

а) Находим групповые средние

Для каждого значения хi, т.е. для каждой строки корреляциооной таблицы вычислим групповые средние

, где nij-частоты пар (xi,yj) и ni=

m-число интервалов по переменной Y.

, где Групповые средние:

1=(4*10+2*15)/6 = 11.67 2=(5*15 + 3*20)/8 = 16.88

3=(5*20+45*25+5*30)/55 = 25 4=(2*20+8*25+7*30)/17= 26.47

5=(0*20+4*25+7*30+3*35)/14= 29.64

Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X.

1=(4*20)/4= 20 2=(2*20+5*30)/7= 27.14

3=(3*30+5*40+2*50+0*60)/10= 36 4=(45*40+8*50+4*60)/57= 42.81

5=(5*40+7*50+7*60)/19=51.05 6=(3*60)/3=60

х/у 10 15 20

25 30 35 Итого

среднее у

20 4

2 6 11,66667

30 5 3

8 16,875 40

5 45

5 55 25 50

2 8 7 17 26,47059

60 0 4 7 3

14 29,64286

Итого 4 7

10 57 19 3 100

среднее х

20 27,14286

39 42,80702 51,05263

60 Эмпирическую линию регрессии ух строим по точкам , i = 1,2,.,6.

20 30 40 50

60

11.67 16.88 25

26.47 29.64 Эмпирическую линию регрессии ху строим по точкам , j = 1,2,.,6.

20 27,14 39

42,81

51,05 60 10

15 20 25 30 35

а) найдем уравнения регрессии Y по Х и Х по Y:

хi ni

xi*ni xi^2*ni yj

nj yj*nj yj^2*nj

20 6 120 2400

10 4

40 400 30 8 240

7200 15 7 105

1575 40 55 2200

88000

20 10 200 4000

50 17 850 42500

25 57 1425 35625

60 14

840 50400 30 19

570 17100

35 3 105 3675

100

4250 190500 100

2445 62375 20*6+30*8+40*55+50*17+60*14=4250

202*6+302*8+402*55+502*17+602*14=190500

10*4+15*7+20*10+25*57+30*19+35*3=2445

102*4+152*7+202*10+252*57+302*19+352*3=62375

4*10*20+2*15*20+5*15*30+3*20*30+5*20*40+2*20*50+45*25*40+8*25*50+4*25*60+5*30*40+7*30*50+7*30*60+3*35*60= 107850

Находим выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии:

76:100*10*5-(42,5-40)(24,45-25)=39,38

Уравнения регрессии у на х:

Уравнения регрессии у на х:

Полученные уравнения характеризуют изменение выручки (Y) при изменении тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем (Х) и наоборот.

Находим коэффициент корреляции

, берем радикал с положительным знаком, так как коэффициенты положительны. Связь между рассматриваемыми переменными прямая, существует корреляционная зависимость.

Оценим значимость коэффициента корреляции:

Сравниваем tтаб и t0,95;98 => 12,3>1,98, коэффициент корреляции между видами тарифов на сотовую связь х и выручкой от них У значимо отличимы от нуля. Из уравнения регрессии У по Х следует, что при увеличении стоимости тарифов на сотовую связь Х на 1 ден.ед. выручка от них увеличится в среднем на 0,4 ден.ед Уравнение регрессии Х по У показывает, что для увеличения выручки Y на одну ден.ед. необходимо в среднем увеличить виды тарифов Х на 1,52 ден.ед. (свободные члены в уравнениях регрессии не имеют реального смысла)

в) ,при х = 20 ден. ед.

При 20 видов тарифов на сотовую связь мобильных систем в среднем выручка составит 15,45 ден.ед.

3

Показать полностью…
Похожие документы в приложении