Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Расчёт вероятности событий» по Теории вероятностей и математической статистике (Борисова Л. Р.)

ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Факультет: Учетно-статистический .

Кафедра: Высшей математики

. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"

Вариант №3

Исполнитель:

специальность

группа

№ зачетной книжки

Руководитель:

Содержание

Контрольная работа №4 3стр.

Список используемой литературы 13стр.

Контрольная №4

1) При изучении структуры коммерческих банков по объявленному уставному фонду из трех тысяч банков страны, было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки сто. Данные о распределении банков по этому признаку представлены в таблице:

Размер уст. фонда

До 15

15-30 30-45 45-60

60-75 Свыше 75

Итого Число банков

7 9

18 34 22 10 100

Найти:

а) Вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рубле й (по абсолютной величине).

б) Границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена доля всех банков, размер уставного фонда которых не менее шестидесяти миллионов рублей.

в) Объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей см. пункт а)), можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение:

а) Найдем выборочную среднюю по формуле:

где -варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда, -соответствующие им частоты.

х1=7,5; х2=22,5; х3=37,5; х4=52,5; х5=67,5; х6=82,5- середины интервалов, n=100- объем выборки.

=1/100(7,5*7+22,5*9+37,5*18+34*52,5+67,5*22+10*82,5)=1/100(52,5+202,5+675+1785+1485+825)=1/100*5025=50,25.

Найдем выборочную дисперсию по формуле: .

=[(7,5-50,25)2*7+(22,5-50,25)2*9+(37,5-50,25)2*18+(52,5-50,25)2*34+(67,5-50,25)2*22+(82,5-50,25)2*10]/100= =(1827,56*7+770,06*9+162,56*18+5,06*34+297,56*22+1040,06*10)/100=

=(2792,92+6930,54+2926,08+172,04+654,32+10400,6)/100=

=39768,5/100=397,69.

Теперь найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней:

Наконец, найдем доверительную вероятность

. Ответ: вероятность того, что средний размер уставного фонда всех коммерческих банков отличается от среднего размера его в выборке не более чем на пять миллионов рублей, составляет 0,9892.

б) N=3000, n=100, m=32.

Выборочная доля всех банков, размер уставного фонда, который не менее шестидесяти миллионов w=m/n=32/100=0.32

Найдем среднюю квадратичную ошибку бесповторной выборки для доли:

Учитывая, что у=Ф(t)=0,9; таким образом t=1,65. Найдем предельную ошибку выборки для доли:=1,65*0,044=0,0726.

Теперь искомый доверительный интерес определяем как:

0,32-0,0726=< p =<0,32+0,0726

0,2474 =< p =< 0,3926

Ответ: С вероятностью 0,9, доля всех банков, размер уставного капитала которых не менее шестидесяти миллионов рублей, заключена от 0,2474 до 0,3926

в) В качестве неизвестного значения для определения объема выборки берем его состоятельную оценку =397,69

, учитывая что у=Ф(t)=0,95, t=1,96.

Ответ: Объем бесповторной выборки, при котором то же отклонение среднего размера уставного фонда всех банков (не более пяти миллионов рублей), можно гарантировать с вероятностью 0,95, составит 59,89.

2) По данным задачи 1), используя х2 - критерий Пирсона, при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - размер уставного фонда распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Теоретическое нормальное распределение имеет вид:

, где в качестве параметров а и используются их состоятельные выборочные оценки, равные соответственно и . Тогда:

Для расчета вероятностей попадания случайной величины в интервал , используя функцию Лапласа в соответствии со свойством нормального распределения.

1/2[Ф(-1,81)-Ф(-2,59)]=1,2(0,9904-0,9297)=1/2*0,0607=0,03;

1/2[Ф(-1,04)-Ф(-1,81)]=1,2(0,9297-0,7017)=1/2*0,228=0,114;

1/2[Ф(-0,27)-Ф(-1,04)]=1,2(0,7017-0,2128)=1/2*0,4889=0,245;

1/2[Ф(0,5)-Ф(-0,27)]=1,2(0,3829+0,2128)=1/2*0,5957=0,299;

1/2[Ф(1,27)-Ф(0,5)]=1,2(0,7959-0,3829)=1/2*0,413=0,207;

1/2[Ф(2,04)-Ф(1,27)]=1,2(0,9586-0,7959)=1/2*0,1627=0,081;

I

Интервал

[xi;xi+1]

Эмпирические

Частоты ni

Вероятности

pi Теоретич

Частоты n*pi

(ni-npi)2 (ni-npi)2

npi 1 До 15

7 9 16

0,03 3 11,4 14.4

2.56 0.178 2 15-30

0,114 3

30-45

18 0,245 24,5 42.25

1.725 4 45-60 34

0,299 29,9 16.81

0.562

5 60-75 22 0,207

20,7 1.69 0.082

6 Свыше 75

10 0,081

8,1 3.61 0.446

100 0,976 97,6

X2=2.993

Итого, значение статистики X2=2.993.

Определим количество степеней свободы по формуле:k=m-r-1,

m- число интервалов (m=5,после объединения) , r- число параметров закона распределения (в нормальном распределении равно двум). Таким образом к=2. Соответствующее критическое значение статистики =5,99.

Так как , то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе с параметрами N(50,25;397,69) согласуется с опытными данными.

Гистограмма эмпирического распределения и нормальная кривая:

3)Распределение пятидесяти предприятий по размерам основных производственных фондов Х (миллионов рублей) и выпуску продукции У (миллионов рублей) дано в таблице:

Х\У

40-50 50-60 60-70

70-80 80-90 90-100

Итого 35-45

1 1

1 3 45-55

3 2 5 55-65

4 1 11 16

65-75

6 9 15

75-85 1 1

1 3 85-95

4 4

8 Итого 1

8 4 18 14 5 50

Необходимо:

а) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии.

б )Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость:

- найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию получившихся уравнений

- вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости =0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У

-используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятий на основные фонды которого сост 81 млн руб.

Решение:

а)Находим групповые средние по формулам:

, где nij-частоты пар (xi,yj) и ni=,m-число интервалов по переменной У.

, где nj=, l-число интервалов по переменной Х.

xi,yj-середины интервалов

xi =[40;50;60;70;80;90], yj =[45;55;65;75;85;95].

Групповые средние:

1=(45+55+65)/3=55,

2=(55*3+65*2)/5=59,

3=(55*4+65+75*11)/16=69,375,

4=(75*6+85*9)/15=81,

5=(75+85+95)/3=85,

6=(85*4+95*4)/8=90.

1=(40)/1=40,

2=(40+50*3+60*4)/8=53,75,

3=(40+50*2+60)/4=50,

4=(60*11+70*6+80)/18=64,44,

5=(70*9+80+90*4)/14=76,43, 6=(80+90*4)/5=88,

Х\У 40-50 50-60

60-70 70-80 80-90

90-100

Итого Уi 35-45

1 1 1 3

55 45-55 3 2

5

59 55-65 4 1

11 16 69,38

65-75 6 9

15

81 75-85 1

1 1 3 85 85-95

4 4 8 90

Итого

1 8 4 18 14 5

50 Хi 40 53,75

50 66,44 76,43

88

б) По данным таблицы найдем уравнения регрессии У по Х и Х по У:

40*3+50*5+60*16+70*15+80*3+90*8=120+250+960+1050+240+720=3340.

402*3+502*5+602*16+702*15+802*3+902*8=4800+12500+57600+73500+19200+64800=232400.

45+55*8+65*4+75*18+85*14+95*5=45+440+260+1350+1190+475=3760.

452+552*8+652*4+752*18+852*14+952*5=2025+24200+16900+101250+101150+45125=290650.

(40*45+40*55+40*65)+(50*3*55+50*2*65)+(60*4*55+60*65+60*11*75)+(70*6*75+70*9*85)+(80*75+80*85+80*95)+(90*4*85+90*4*95)=6600+14750+66600+85050+20400+64800=258200.

Находим выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии:

Уравнения регрессии:

Ух-75,2=0,7625(х-66,8); Ух=0,7625х-50,935+75,2; Ух=0,7625х+24,265.

Ху-66,8=0,8967(х-75,2); Ху-66,8=0,8967х-67,432; Ху=0,8967х-0,632.

Из первого уравнения регрессии У по Х следует, что при увеличении основных производственных фондов на один млн. руб. выпуск продукции предприятия У увеличивается в среднем на 0,7625. Второе уравнение регрессии Х по У показывает, что для увеличения выпуска продукции У на один млн. руб. необходимо в среднем увеличить ОПФ на 0,8967.

- Находим коэффициент корреляции , берем радикал с положительным знаком, так как коэффициенты положительны.

Связь между рассматриваемыми переменными прямая и достаточно тесная, r близок к единице.

Оценим значимость коэффициента корреляции:

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим t 0,95;48=2,01.

Поскольку t>t 0,95;48, коэффициент корреляции между выпуском продукции У и размерами основных производственных фондов Х значимо отличается от 0.

- у81=0,7625*81+24,265=86,0275.

Ответ: а) групповые средние: 1=55, 2=59,3=69,375,4=81,5=85,6=90.1=40,2=53,75,3=50,4=64,44,5=76,43, 6=88.

б) Уравнения прямых регрессии: Ух=0,7625х+24,265, Ху=0,8967х-0,632. Коэффициент корреляции: t=10,195 t 0,95;48=2,01. Средний выпуск продукции предприятий на основные фонды которого составляет 81 млн. соответствует 86,0275 млн. руб.

Список используемой литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник для ВУЗов, под ред. Н. Ш. Кремера-М.: Банки и биржи, ЮНИТИ

2. Гусев В.А. Математика, справочные материалы-.: Просвещение, 1990

3. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика-М.:Статистика, 1979.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов.-М.: ЮНИТИ-ДАНА,2002.

3.05.2007г.

- 7 -

Показать полностью…
Похожие документы в приложении