Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Определение наличия тренда» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Контрольная работа

по дисциплине "Эконометрика"

Вариант № 13

Выполнил:

Проверил:

Тула, 2006 г.

Задание I.

Исходные данные:

Показатель

Номер наблюдения

1 2 3 4 5 6

7 8 9 X(t) 12

17 20

21 25 27 24 28

31 1) определить наличие тренда Y(t);

2) построить линейную модель Y(t)=a0+a1t, параметры которой оценить с помощью МНК;

3) оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d1=1,08 и d2=1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1)=0,36;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;

4) для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;

5) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P=70% используйте коэффициент t=1,11)

Все расчеты проводились с использованием программы "Статэксперт", результаты которых представлены в виде таблиц и графиков.

1) Определение наличия тренда.

Определим статистики временного ряда:

Cтатистики временного ряда - Показатель-A

Базисные характеристики

Наблюдение

Абс. прирост

Темп роста

Темп прироста

2 5.000

141.667 41.667 3

8.000 166.667 66.667

4 9.000 175.000

75.000

5 13.000 208.333

108.333 6 15.000

225.000 125.000

7 12.000

200.000 100.000

8 16.000 233.333

133.333 9 19.000

258.333

158.333 Цепные характеристики

Наблюдение

Абс. прирост

Темп

роста Темп

прироста

2 5.000 141.667

41.667

3 3.000 117.647

17.647 4 1.000

105.000 5.000 5

4.000

119.048 19.048 6

2.000 108.000 8.000

7 -3.000 88.889

-11.111

8 4.000 116.667

16.667 9 3.000

110.714 10.714

Средние характеристики

Характеристика

Значение

Среднее арифметическое

22.778

Средний темп роста (%)

112.596 Средний темп прироста (%)

12.596 Средний абсолютный прирост

2.375

Результаты проверки гипотезы об отсутствии тренда приведены в таблице:

Гипотеза об отсутствии тренда

Метод проверки

Результат

Метод Форстера-Стюарта

Нет Метод сравнения средних

Нет Вывод: гипотеза отвергается

Приведем графики.

2) Построим линейную модель.

Рассмотрим уравнение вида , где t - время. С помощью данной функции будем аппроксимировать функцию, заданную таблично с помощью метода наименьших квадратов, т.е. сумма квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями: (1).

Параметры модели , согласно методу наименьших квадратов находятся из решения системы уравнений из преобразования (1):

Решая эту систему, получим:

где и - средние значения соответственно моментов наблюдения и уровней ряда.

Параметры моделей

Модель

a1 a2

Y(t)=+12.528+2.050*t

12.528 2.050 3) Оценим адекватность, точность и качество построенной модели.

Проверка однородности данных

Аномальные наблюдения не обнаружены

Автокорреляционная функция

Лаг Исходный

ряд Разностный

ряд (d=1)

1 0.512 -0.177

2 0.219 -0.337

Cтандартные отклонения = +0.4244, +0.3785

Частная автокорреляционная функция

Лаг Исходный

ряд Разностный

ряд (d=1) 1

0.542

-0.244 2 -0.058

-0.380 Cтандартные отклонения = +0.3333, +0.3780

Таблица кривых роста

Функция

Критерий

Эластич ность

Y(t)=+12.528+2.050*t

3.915

0.450 Выбрана функция Y(t)=+12.528+2.050*t

Характеристики базы моделей

Модель

Адекват

ность Точность

Качество

Y(t)=+12.528+2.050*t

70.984

47.770 53.573 Лучшая модель Y(t)=+12.528+2.050*t

4) Приведем характеристики остатков.

Таблица остатков

номер

Факт Расчет

Ошибка абс.

Ошибка относит.

1 12.000

14.578 -2.578

-21.481 2 17.000

16.628 0.372 2.190

3 20.000

18.678 1.322 6.611

4 21.000 20.728

0.272 1.296 5

25.000

22.778 2.222 8.889

6 27.000 24.828

2.172 8.045 7

24.000

26.878 -2.878

-11.991 8 28.000

28.928 -0.928

-3.314

9 31.000 30.978

0.022 0.072

Характеристики остатков

Характеристика

Значение

Среднее значение

0.000 Дисперсия

3.045

Приведенная дисперсия

3.915 Средний модуль остатков

1.419 Относительная ошибка

7.099

Критерий Дарбина-Уотсона

1.632 Коэффициент детерминации

0.994 F - значение ( n1 = 1, n2 = 7)

1257.087

Критерий адекватности

70.984 Критерий точности

47.770 Критерий качества

53.573

Уравнение значимо с вероятностью 0.95

5) Построим прогноз на 3 шага вперёд

Таблица прогнозов (p = 80%)

Упреждение

Прогноз Нижняя

граница Верхняя

граница 1

33.028

30.990 35.066

2 35.078 32.712

37.443 3 37.128

34.426

39.830 Приведем график прогноза:

Построим графики абсолютной и относительной ошибок:

Задание II.

1) построить матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X1(t) и X2(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с зависимой переменной Y(t).

Исходя из следующих данных:

Y(t) X1(t) X2(t)

12 20 25 17 22

30 20 24 36 21

26 41

25 25 38 27 29

43 24 35 47 28

38 45 31 43 50

С помощью Excel рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции переменных. Для этого воспользуемся стандартной функцией:

1) в главном меню последовательно выбираем пункты Вставка / Функция;

2) в открывшемся окне Мастер функций выбираем Категория: Статистические / Функция: КОРРЕЛ;

3) заполняем Массив1 и Массив2 необходимым множеством данных (Y(t) и X1(t), Y(t) и X2(t), X1(t) и X2(t));

4) результаты вычислений - матрица коэффициентов парной корреляции - представлены на рис.2.1.

Рис. 2.1. Матрица коэффициентов парной корреляции

Коэффициент корреляции также можно вычислить по следующей формуле:

; Для удобства вычисления коэффициента корреляции ry,x1 предварительные расчеты сведем в таблицу:

Наблюдение

Y(t)

X1(t) () ()2 ()

()2 ()() 1 12

20 -10,778 116,1605

-9,111

83,0123 98,1975

2 17 22 -5,778

33,3827 -7,111 50,5679

41,0864

3 20 24 -2,778

7,7160 -5,111 26,1235

14,1975 4 21 26

-1,778

3,1605 -3,111 9,6790

5,5309 5 25 25

2,222 4,9383 -4,111

16,9012

-9,1358 6 27 29

4,222 17,8272 -0,111

0,0123 -0,4691 7

24 35

1,222 1,4938 5,889

34,6790 7,1975 8

28 38 5,222 27,2716

8,889

79,0123 46,4198

9 31 43 8,222

67,6049 13,889 192,9012

114,1975

Сумма 205 262

279,5556 492,8889

317,2222 Среднее зн.

22,778

29,111

В итоге при подстановке значений вычисляем ry,x1:

По аналогии расчета коэффициента ry,x1 вычисляем коэффициент парной корреляции ry,x2 и rx1,x2:

Наблюдение

Y(t) X2(t) () ()2

() ()2 ()() 1

12 25 -10,778 116,1605

-14,444

208,6420 155,6790

2 17 30 -5,778

33,3827 -9,444 89,1975

54,5679

3 20 36 -2,778

7,7160 -3,444 11,8642

9,5679 4 21 41

-1,778

3,1605 1,556 2,4198

-2,7654 5 25 38

2,222 4,9383 -1,444

2,0864

-3,2099 6 27 43

4,222 17,8272 3,556

12,6420 15,0123

7 24

47 1,222 1,4938

7,556 57,0864 9,2346

8 28 45 5,222

27,2716

5,556 30,8642 29,0123

9 31 50 8,222

67,6049 10,556 111,4198

86,7901

Сумма 205 355

279,5556 526,2222

353,8889 Среднее зн.

22,778

39,444

Наблюдение

X1(t) X2(t) ()

()2 ()

()2 ()() 1 20

25 -9,111 83,0123

-14,444 208,6420

131,6049

2 22 30 -7,111

50,5679 -9,444 89,1975

67,1605 3 24 36

-5,111

26,1235 -3,444 11,8642

17,6049 4 26 41

-3,111 9,6790 1,556

2,4198

-4,8395 5 25 38

-4,111 16,9012 -1,444

2,0864 5,9383 6

29 43

-0,111 0,0123 3,556

12,6420 -0,3951

7 35 47 5,889

34,6790

7,556 57,0864 44,4938

8 38 45 8,889

79,0123 5,556 30,8642

49,3827

9 43 50 13,889

192,9012 10,556

111,4198 146,6049

Сумма

262 355 492,8889

526,2222 457,5556

Среднее зн.

29,111

39,444

Полученные значения коэффициентов парной корреляции сведем в следующую таблицу:

Y(t) X1(t) X2(t)

Y(t)

1 0,854585 0,922674

X1(t) 0,854585 1

0,898431 X2(t) 0,922674

0,898431

1 Из таблицы видно, что значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь переменной Y(t) с коэффициентом X2(t). Но в то же время коэффициент rx1,x2 также имеет тесную межфакторную связь, которая превышает тесноту связи X1(t) с Y(t). В связи с этим для улучшения данной модели можно исключить из нее фактор X1(t) как малоинформативный, недостаточно статистически надежный.

2) Построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t)=а0+а1 X(t).

Для проведения регрессионного анализа воспользуемся EXCEL:

1) в главном меню последовательно выбираем пункты Сервис / Анализ данных;

2) в открывшемся окне Анализ данных выбираем Инструменты анализа: Регрессия;

3) заполняем Входной интервал Y и Входной интервал X множеством данных Y(t) и X2(t);

4) отмечаем флажком Метки;

5) в поле Остатки отмечаем флажком Остатки, График остатков, График подбора;

6) результат регрессионного анализа представлен в табл. 2.1-2.3;

Таблица 2.1

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

-3,7489

4,2679 -0,8784 X2(t)

0,6725 0,1062 6,3311

Во втором столбце табл.2.1 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости Y(t) от X2(t) имеет вид: Y(t)= -3,7489+0,6725 • X(t)

Таблица 2.2

Расчеты по модели регрессии

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Предсказанное Y(t)

Остатки 1

13,0638 -1,0638

2 16,4263 0,5737

3 20,4614

-0,4614 4 23,8239

-2,8239 5 21,8064

3,1936 6 25,1689

1,8311

7 27,8590 -3,8590

8 26,5139 1,4861

9 29,8765 1,1235

Оценка параметров модели без ПЭВМ.

Построим линейную однопараметрическую модель регрессии для X2(t).

Y(t)= -3,7489+0,6725 • X(t).

3) Оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;

Оценим качество построенной модели, исследуя адекватность.

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

а) при проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей (с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона).

Таблица 2.3

Данные для вычисления d-критерия

Наблюдение

Y(t) Y-расчетное

Отклонение E(t)

E(t)-E(t-1) (E(t)-E(t-1))2

E(t)2 1 12 13,0638

-1,0638 1,1317

2 17

16,4263 0,5737 1,6375

2,6814 0,3291 3

20 20,4614 -0,4614

-1,0351

1,0714 0,2129 4

21 23,8239 -2,8239

-2,3625 5,5814 7,9744

5 25

21,8064 3,1936 6,0175

36,2103 10,1991

6 27 25,1689 1,8311

-1,3625

1,8564 3,3529 7

24 27,8590 -3,8590

-5,6901 32,3772

14,8919

8 28 26,5139 1,4861

5,3451 28,5701 2,2085

9 31 29,8765 1,1235

-0,3626

0,1315 1,2623 Сумма

108,4798

41,5627 ;

попало в интервал от d2 до 2, значит модель уровня ряда остатков независима, автокорреляции нет, свойство независимости выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

б) проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

. Количество поворотных точек равно 5 (график остатков).

в) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия.

, где -максимальный уровень ряда остатков, равный 3,1936;

- минимальный уровень ряда остатков, равный -3,8590;

-среднеквадратическое отклонение,

, Тогда:

Расчетное значение попадает в интервал (2,7.3,7), следовательно, свойство нормальности распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

г) проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков осуществляется с использованием t-критерия Стьюдента.

, где -среднее значение уровней остаточного ряда;

-среднеквадратическое отклонение уровней остаточного ряда.

В нашем случае =0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Для расширенной характеристики модели регрессии вычислим несколько дополнительных показателей: коэффициент детерминации R2 и коэффициент множественной корреляции R:

Регрессионная статистика

Множественный R

0,9227 R-квадрат

0,8513 Нормированный R-квадрат

0,8301

Стандартная ошибка

2,4367 Наблюдения

9 Коэффициент детерминации:

R2 показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, более 85,1 % вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора.

R - коэффициент множественной корреляции. R=0,9227 показывает тесноту связи зависимой переменной Y с факторами X, включенными в модель.

4) Для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и ?-коэффициент.

а) Расчет коэффициента эластичности.

Он показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат Y от своей средней величины при изменении фактора Х на 1% от своего среднего значения:

Для линейной модели производная по функции равна коэффициенту при Х, т.е. а1. Тогда получим:

Следовательно, при изменении Х на 1% от своего среднего значения величина Y в среднем изменится на 1,16%.

б) Расчет ?-коэффициента.

?-коэффициент показывает, на какую часть сигмы изменяется результативный признак, при изменении факторного признака на величину его сигмы. Сравнение ?-коэффициентов при различных факторах дает возможность оценить силу их воздействия на результативный признак. Он вычисляется по формуле:

, Дисперсии определим по формулам:

, Все необходимые вычисления сведем в таблицу:

Наблюдение

Y(t) X2(t) Y(t)2

X2(t)2 1 12 25

144 625 2 17 30

289 900

3 20 36 400 1296

4 21 41 441 1681

5 25 38 625 1444

6 27

43 729 1849 7

24 47 576 2209

8 28 45 784 2025

9 31

50 961 2500 Сумма

205 355 4949 14529

Среднее зн.

22,778

39,444 549,8889

1614,3333 ,

Тогда:

- при изменении факторного признака на величину его сигмы результативный признак изменяется на 0,92 сигмы.

5) Построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности Р = 70 % используйте коэффициент v = 1,11). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня).

Для вычисления прогнозных оценок Y на основе построенной модели необходимо получить прогнозные оценки фактора X.

Получим прогнозные оценки фактора на основе величины его среднего абсолютного прироста САП.

; ;

Построим прогноз на 2 шага вперед. Для этого определим значение X на первом и втором шагах соответственно:

; l=1; ; l=2;

. Для получения прогнозных оценок зависимой переменной подставим в модель:

Y(t)= -3,7489+0,6725 • X(t)

найденные прогнозные значения фактора X:

Y(10)= -3,7489+0,6725 • X(10)= -3,7489+0,6725 •53,125=31,98

Y(11)= -3,7489+0,6725 • X(11)= -3,7489+0,6725 •56,25=34,08

Определим доверительный интервал прогноза, который будет иметь следующие границы:

- верхняя граница прогноза: Y(N+l) + U(l);

- нижняя граница прогноза: Y(N+l) - U(l).

Величина U(l) имеет вид:

, где - стандартная ошибка. Значение ошибки было определено при исследовании модели на точность и адекватность ( = 2,4367).

Необходимые вычисления для определения доверительного интервала сведем в таблицу:

Наблюдение

X2(t) () ()2 1

25 -14,444 208,6420

2 30 -9,444 89,1975

3 36

-3,444 11,8642 4

41 1,556 2,4198

5 38 -1,444 2,0864

6 43

3,556 12,6420 7

47 7,556 57,0864

8 45 5,556 30,8642

9 50

10,556 111,4198

Сумма 355

526,2222 Для прогноза на два шага имеем:

Результаты прогнозных оценок по модели регрессии представим в таблице:

Время

Шаг Прогноз

Нижняя граница

Верхняя граница

10 1

31,98 28,704 35,256

11 2 34,08 30,608

37,552 Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

Показать полностью…
Похожие документы в приложении