Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
2 монеты
docx

Шпаргалка «Экзаменационная» по Теории вероятностей и математической статистике (Ситникова Т. С.)

Аксиоматическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных событий Ω состоит из конечного числа элементарных событий {ω1, ω2… ωn}, которые равноправны по отношению друг к другу. Вероятность P(A) события А можно определить как долю тех элементарных событий в результате которых это событие осуществляется: P(A)=m/n,где n – общее число эл .событий в Ω, m – число тех из них, которые входят в А (благоприятствуют А).

Определение.

Числовая функция Р(А), определенная по алгебре событий F, называется вероятностью, если выполнены следующие условия:

1)Р(А)≥0 для любого А ϵ F

2) P(Ω)=1 3) если А и В несовместны, то Р(А+В)= Р(А)+Р(В)

Классическое определение вероятности

Если множество элементарных событий Ω={ω1,ω2,…ωn} конечно и все элементарные события равновозможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность Р(А)наступления события А, состоящего из m элементарных событий, входящих в Ω, определяется как отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n элементарных событий. Эта формула носит название классической формулы вероятности: Р(А)= m/n.

Пусть задано множество М = {ω1, ω2… ωn}, состоящие из n различных элементов.

Размещением множества М из

n различных эл-тов по m эл-тов называется любое упорядоченное подмножество множества М из m эл-тов (m≤n)

A_n^m=n(n-1)…(n-m+1)= n!/(n-m)!

Если в предыдущем определении m=n, то такое размещение называется перестановкой.

P^n=n! (число перестановок)

Сочетанием (или выборкой) множества М из n различных эл-тов по m эл-тов называется любое подмножество множества М из m эл-тов (m≤n)

C_n^m= n!/m!(n-m)!

Теорема сложения вероятностей.

Пусть задано вероятностное пространство (Ω,F,P) и A € F, В € F. Тогда вероятность появления хотя бы одного

из событий А или В равна

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Следствие (вероятность противоположного события).

Р(А)=1-Р(А).

Определение. События А1,А2,...,Аn называются попарно несовместными, если Ai ∙Aj=ᴓ для всех i≠j .

Пример. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?

Решение. Введем событие А= (5 очков выпало на первой кости) и В= (5 очков выпало на второй кости). Тогда

Р{А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) =1/6+1/6-1/36=11/36

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность

Пусть (Ω, F, P) – произвольное вероятностное пространство. Если А, В ϵ F, Р(А)>0, то условная вероятность В при условии, что событие А произошло определяется формулой:

Р(В/А)=Р(АВ)/Р(А)

События A и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

Пусть A, B € F. Тогда Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А), то есть вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную веро-ятность второго при условии, что первое произошло.

Следствие. Если А1,А2,...,Аn - произвольные события,

то P(A1*A2*..,*An) = P(A])*P(A2/A1)*…*P(An/Al*..*,An-1). В частности, P(А1 *А2*А3) = Р(A1) • Р(А2 / A1 ) • Р{A3 /A1 • А2).

Пример.В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд, не возвращая, два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть А = (первый шар белый), В = (второй

шар белый). Тогда P(A) = 5/9. Если событие А произойдет, то в

урне останется 4 белых и 4 черных шара. Поэтому P(B/A)=4/8=1/2

Значит, искомая вероятность равна P(AB) = P(A)*P(B/A) = 5/9*1/2=5/18 .

классическое определение вероятности: Р(АВ) = C25 / C29 =5/18

Формула полной вероятности

Пусть задано вероятностное пространство (Ω, F, Р), А € F, и попарно несовместные события Н1,Н2,...,Нп € F. Если Р(Нk)>0 (k=1,…,n) и А с Н1+ Н2 + … +Нn, то имеет место формула полной вероятности

События Н1,Н2,...,Нn обычно называют гипотезами, в предположении которых может произойти событие А

Пример. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, а во второй 1 белый и 4 черных. Из первой урны во вторую переложены два шара. Найти вероятность того, что вынутый из второй урны шар окажется белым.

Решение. Обозначим A=(вынутый из второй урны шар - белый), H1= (оба переложенных шара - белые), Н2= (переложены разноцветные шары), H3 =(оба переложенных шара – черные. Найдём вероятности Нi : P(H1)=C22/C25=1/10; P(H2)=C12*C13/C25 ; P(H3)= C23/ C25 =3/10/

Если выполнено Н1, то во второй урне будет 3 белых и 4 черных шара, следовательно Р(А/Н1)=3/7, Р(А/Н2)= 2/7, Р(А/Н3)=1/7. Применяем ф-лу полной вероятности: Р(А)=1/10*3/7+6/10*2/7+3/10*1/7=18/7*10=9/35

Формулы Байеса

Пусть выполнены все условия формулы полной вероятности. Тогда

P(Hi/A)=P(A/Hi)*P(Hi)/P(A/H1)*P(A/H2)*P(H2)+P(A/Hn)P(Hn)

Где i =1, 2…., n

Решение. Введем события А = (извлечен синий шар), Н1 = (выбрана первая урна), Н2= (выбрана вторая урна). Так

как урна выбирается наугад, то

P(H1)=P(H2)=1/2, кроме то-

го, по условию Применяя формулу Байеса, находим искомую вероятность

Математическое ожидание , дисперсия и свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, имеющей закон распределения

■(X&x1…&xn@p&p1…&pn)

Называется число MX, равное

МХ= х1р1 + х2р2 +… + хnpn =∑_(i=1)^n▒xipi

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется неотрицательное число DX, вычисляемое по формуле

DX= 〖M(X-MX)〗^2 =∑_(i=1)^n▒〖(〖xi-MX)〗^2 〗*pi

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется σ(Х)=√DX

Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если при все х,у ϵ R выполняется равенство P(X

Показать полностью…
Похожие документы в приложении