Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

Всероссийский заочный финансово - экономический институт

Контрольная работа

по эконометрике

Вариант 3

Выполнила: Катаева Евгения

Студентка 3 курса (ФНО), 5 гр. (ЭГ)

Специальность: "Бух. учет, анализ и аудит"

Номер зачетной книжки: 06УБД44093

Проверил: Денисов В. П.

Омск - 2009

Содержание

1. Постановка задачи.3

2. Решение4

3. Вывод.14

4. Приложение.15

5. Литература.17

Постановка задачи

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.)

Х 38

28 27 37 46 27

41 39 28 44 Y

69 52 46 63 73

48 67

62 47 67

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

* Гиперболической;

* Степенной;

* Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам. Сделать вывод.

Решение

1. Параметры уравнения линейной регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: =a+b x.

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.

= =

= = 59,4-1,32*35,5=12,57. =12,57+1,32 x.

Таким образом, с увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпуска продукции увеличится на 1,32 млн. руб.

2. Вычисление остатков, остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков, построение графика остатков.

Расчеты представим в таблице 1 (см. приложение)

Остаточная дисперсия, показатель адекватности модели, для однофакторного уравнения рассчитывается по формуле: .

Используем данные табл. 1 получим: 76,97/8=9,62.

Чем меньше значение остаточной дисперсии, тем лучше регрессионное уравнение.

График остатков построим с помощью инструмента Excel Регрессия.

Рис.1 График остатков

3. Проверка выполнения предпосылок МНК.

Основными предположениями классической модели линейной регрессии являются следующие:

1) М(?i)=0, 2) M(?i2)=?2 - дисперсия случайной компоненты - константа,

3) COV(?i, ?j)=0.

Нарушение тех или иных предпосылок проверяется на основе выдвижения соответствующих гипотез относительно ?. Оценочными значениями ?i являются величины yi-i=i. Все критерии относительно ? основываются на этих оценочных значениях.

Для проверки второго условия МНК, то есть условия постоянства дисперсии случайно компоненты ? используем F-статистику, основанную на том, что величина F

( 12+22+ . .+n/22)

F= ______________________

( n/2+12+n/2+22+.+n2)

подчиняется F-распределению со степенями свободы n/2-1 и n/2-1. Если проверяется гипотеза о росте дисперсии Fрасч. должно быть меньше Fтабл., если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, Fрасч. должно быть больше Fтабл Выполнение второго условия называется гомоскедастичностью, а нарушение его - гетероскедастичностью.

F = . Табличное значение F- распределения при заданной вероятности 0,95 и степенях свободы (n/2-1) равно F(0,05; 4;4) =6,39. Fрасч.< Fтабл. Второе условие МНК (гомоскедастичность) с вероятностью 95% нарушено, принимается гипотеза о росте дисперсии .

Наиболее часто нарушаемым является третье условие. Показатель ковариации (cov) устанавливает наличие зависимости между случайными переменными. Поэтому нарушение третьего условия МНК свидетельствует о зависимости случайных компонент для наблюдений с различными номерами (i и j). Выполнение этого условия, как правило, проверяется на основе критерия Дарбина-Уотсона:

D-W= (i-i-1)2 / i2 где

i2 - остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений,

и подчиняется распределению Дарбина-Уотсона, для которого имеются таблицы квантилей. Сравнивая значения D-Wрасч. и D-Wтабл. можно проверить гипотезу о нарушении условия 3). Нарушение условия 3) называется автокорреляцией. При проверке наличия автокорреляции используются табличные данные. При количестве наблюдений более 10 d1=0,95; d2=1,23.

1) D-W?d1 - гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

2) d2? D-W?4-d2 - гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

3) D-W?4-d1 - принимается гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

Случаи, когда d1?D-W?d2 и 4-d2?D-W?4-d1, являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается. В этих случаях обращаются к другим критериям.

Расчет статистики Дарбина-Уотсона проведем, используя данные табл.1.

D-W = 61,76/76,97=0,8.

Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-Уотсона при n=10 составили d 1 = 0,95 и d2=1,23.

Расчетный показатель попал в область D-W?d1 - гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается (с заданной вероятностью можно утверждать о наличии положительной автокорреляции).

4. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений критерия Стьюдента для соответствующих коэффициентов регрессии : tрасч = b/ mb и tрасч = а/ mа.

m b - стандартная ошибка коэффициента b

ma - стандартная ошибка коэффициента а

m b = = ma=

S2 - остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Затем расчетные значения сравниваются с табличными. Критические значения t-статистики определяется при (n-2) степенях свободы и соответствующем уровне значимости.

Если tрасч не входит в заданный интервал, то выдвинутая гипотеза о том, что х не влияет на у, не принимается, т.е. если | tрасч| > t табл коэффициент регрессии считается значимым.

m b == = 0,14.

tb = 1,32/0,14=9,42. Расчетный показатель больше t табл.=2,306 с заданной вероятностью 95% и не входит в заданный интервал.

m а = ==5,07

tа = 12,57/5,07=2,48 . Расчетный показатель больше t табл. с заданной вероятностью 95% и степенями свободы (n-2) = 2,306.

Гипотеза о том, что х влияет на у не существенно отклоняется, коэффициенты уравнения регрессии значимые.

5. Вычисление коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), относительная ошибка аппроксимации. Вывод о качестве модели.

Величина RXY2 называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. Чем ближе его значение к единице, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает значимость переменных.

=

Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 95,8% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).

F-критерий Фишера .

Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы (m) и (n-m-1), где n- количество наблюдений, m - число включенных в модель факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном уровне значимости (достаточно большой вероятности), то модель признается значимой.

Fрасч

Fрасч больше табличного значения F0,05;1;8 = 5,32, т.е. не входит в правдоподобную область с плотностью распределения р=0,95 - гипотеза о несущественности уравнения отклоняется. Модель значима с вероятностью 95%.

6. Прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,01 при Х=80% от его максимального значения.

Для прогнозирования результативного показателя подставим в уравнение

=12,57+1,32 x значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения

= 0,8*46=36,8.

Тогда точечный прогноз составит: = 12,57+1,32*36,8=61,1.

7. График фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

График прогноза представим на рисунке 2.

Рис. 2. График по модели

8. Уравнения нелинейной регрессии:

8.1 Гиперболическая модель

Уравнение гиперболической функции: = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение = a + bX.

Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2 (см. приложение)

b = =

а = =59,4+1569,01*0,03=105,43.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

=105,43-1569,01/х.

8.2 Степенная модель

Уравнение степенной модели имеет вид: =аxb

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения : lg = lg a + b lg x.

Обозначим через Y=lg , X=lg x, A=lg a.

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3 (см. приложение)

b = =

A = = 1,77-0,8*1,54=0,54

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,54+0,8 Х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

= 100,54* х0,8.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

= 3,43* х0,8.

8.3 Показательная модель

Уравнение показательной кривой: =abx.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lg = lg a + x lg b. Обозначим: Y = lg , B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4 (см. приложение)

В = =

А = = 1,77-0,01*35,5=1,42

Уравнение будет иметь вид: Y = 1,42+0,01х.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

=101,42* ( 100,01)х = 26,05*1,02х.

Графики построенных моделей:

Рис.3. Гиперболическая

Рис.4. Степенная

Рис.5. Показательная

9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Вывод.

9.1 Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации: =

Вариация результата Y на 93,6% объясняется вариацией фактора Х.

Коэффициент эластичности:

= = 0,05. Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,05 %.

Бета-коэффициент :

Sx==0,006 Sy==9,65 105,43*0,06/9,65=0,07.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,07 среднеквадратического отклонения этого показателя.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

отн = 33,3/ 10= 3,33 %.

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,33%.

9.2 Степенная модель

Коэффициент детерминации: =

Вариация результата Y на 92,9% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:

= = 0, 47.

Это означает, что при увеличении факторного признака на 1 % результирующий увеличится на 0,47%.

Бета-коэффициент:

, Sy= и Sx=.

Sx==0,09 Sy==0,07 0,54*0,09/0,07=0,64.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,64 среднеквадратического отклонения этого показателя.

отн= = 35,27/10 3,53%.

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 3,53%.

9.3 Показательная модель

Коэффициент детерминации: =

Вариация результата Y на 91,1% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:

= 28,43.

Это означает, что при росте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 28,43 %.

Бета-коэффициент :

Sx==7,0 Sy==0,07 1,42*7/0,07=136,28.

Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 136,28 среднеквадратического отклонения этого показателя.

отн= 40,78/ 10 = 4,08%.

В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,08%.

Вывод.

Лучшей из уравнений нелинейной регрессии является степенная:

выше коэффициент детерминации, наименьшая относительная ошибка. При использовании степенной модели можно получит более точный прогноз.

Таблица 1 (приложение)

n

(-)2 (-)2

()* *() =-

(i-i-1)2 ЕОТН

|/|*

(-)2 1 69 38 2622

1444 6,25 92,16

24,00 62,70 6,30

9,13

39,72 2 52 28

1456 784 56,25

54,76 55,50 49,51

2,49

14,51 4,79 6,21

3 46 27 1242 729

72,25 179,56 113,90

48,19

-2,19 21,91 4,76

4,79 4 63 37 2331

1369 2,25 12,96

5,40

61,38 1,62 14,51

2,57 2,63 5 73

46 3358 2116 110,25

184,96

142,80 73,25 -0,25

3,50 0,34 0,06

6 48 27 1296 729

72,25

129,96 96,90 48,19

-0,19 0,00 0,39

0,04 7 67 41 2747

1681

30,25 57,76 41,80

66,65 0,35 0,28

0,52 0,12 8 62

39 2418

1521 12,25 6,76

9,10 64,02 -2,02

5,58 3,25 4,07

9 47

28 1316 784 56,25

153,76 93,00 49,51

-2,51 0,24 5,33

6,29

10 67 44 2948

1936 72,25 57,76

64,60 70,61 -3,61

1,22

5,39 13,05 Итого

594 355 21734 13093

490,50 930,40 647,00

61,76

36,49 76,97 средн.

59,4 35,50 2173,4

1309,3

3,65

Таблица 2

t 2 (-)

(-)2 () () *()

()2

(-)2 ЕОТН

(i-i-1)2 1 69,0

38 0,03 1,82 0,0007

9,60

92,16 -0,003 -0,03

0,0000 64,14 23,66

7,05 2 52,0

28 0,04

1,86 0,0013 -7,40

54,76 0,006 -0,05

0,0000 49,39 6,81

5,02

5,1 3 46,0 27

0,04 1,70 0,0014

-13,40 179,56 0,008

-0,10

0,0001 47,31 1,73

2,86 15,40 4 63,0

37 0,03 1,70 0,0007

3,60

12,96 -0,002 -0,01

0,0000 63,02 0,00

0,03 1,7 5 73,0

46 0,02

1,59 0,0005 13,60

184,96 -0,008 -0,10

0,0001 71,32 2,83

2,31

2,90 6 48,0 27

0,04 1,78 0,0014

-11,40 129,96 0,008

-0,09

0,0001 47,31 0,47

1,43 0,99 7 67,0

41 0,02 1,63 0,0006

7,60

57,76 -0,005 -0,04

0,0000 67,16 0,02

0,23 0,71 8 62,0

39 0,03

1,59 0,0007 2,60

6,76 -0,004 -0,01

0,0000 65,19 10,21

5,15

9,23 9 47,0 28

0,04 1,68 0,0013

-12,40 153,76 0,006

-0,08

0,0000 49,39 5,71

5,08 0,65 10 67,0

44,0 0,02 1,52

0,0005

7,60 57,76 -0,007

-0,05 0,0000 69,77

7,65 4,13 0,14

Итого

594,0 355 0,29

16,87 0,0090

930,40 -0,56

0,0004

594,00 59,10 33,3

36,78 Средн

59,40 35,50 0,03

1,69

0,0009

3,33

Таблица 3.

2

()2 ()2 ()* ()

()2 (i-i-1)2

ЕОТН 2 1 69

1,84

38 1,58 2,90 2,50

0,0050 0,00146 0,003

1,80 0,00163 6,13

8,89

37,6 2 52 1,72

28 1,45 2,48 2,09

0,0027 0,00890 0,0049

1,69

0,0006 2,75 11,41

5,30 7,59 3 46

1,66 27 1,43 2,38

2,05

0,0110 0,01213 0,0116

1,68 0,00029 -1,83

21,05 3,99 3,36

4 63

1,80 37 1,57 2,82

2,46 0,0010 0,00071

0,0008 1,79 0,0001

1,46

10,84 2,32 2,1

5 73,0 1,86 46

1,66 3,10 2,76

0,0091

0,01470 0,012 1,86

0,00000 -0,24 2,90

0,34 0,06 6 48,0

1,68

27 1,43 2,41 2,05

0,0075 0,01213 0,0095

1,68 0,0000 0,17

0,17

0,35 0,03 7 67,0

1,83 41 1,61 2,95

2,60 0,0034 0,00508

0,004

1,82 0,0000 0,19

0,00 0,29 0,0 8

62 1,79 39 1,59

2,85

2,53 0,0006 0,00246

0,001 1,81 0,0002

-2,19 5,67 3,53

4,78

9 47 1,67 28 1,45

2,42 2,09 0,0092

0,00890 0,009 1,69

0,000411

-2,25 0,00 4,78

5,04 10 67 1,83

44,0 1,64 3,00

2,70

0,0034 0,01039 0,006

1,85 0,00054 -3,69

2,1 5,50 14 ?

594 17,68

355 15,42 27,3

23,8 0,053 0,077

0,061 0,00 0,0038

54,1

35,27 74,2 Ср

59,4 1,77 35,5

1,54 2,73 2,38

3,53

Таблица 4.

2 (-)

(-)2 (-) *(-)

(y-)2

()2 ЕОТН (i-i-1)2

1 69,0 1,84 38,0

69,88 1444,00 0,071

0,005

0,18 62,03 48,56

1,793 0,002 10,10

2 52,0 1,72

28,0

48,05 784,00 -0,052

0,003 0,39 49,37

6,94 1,693 0,001

5,06

18,7945 3 46,0

1,66 27,0 44,89

729,00 -0,105 0,011

0,89

48,25 5,07 1,684

0,000 -4,90 23,87

4 63,0 1,80 37,0

66,58

1369,00 0,032 0,001

0,05 60,63 5,61

1,783 0,000 3,76

21,36

5 73,0 1,86 46,0

85,71 2116,00 0,096

0,009 1,00 74,47

2,15

1,872 0,000 -2,01

14,70 6 48,0 1,68

27,0 45,39 729,00

-0,087

0,007 0,74 48,25

0,06 1,684 0,000

-0,52 1,47 7 67,0

1,83

41,0 74,87 1681,00

0,058 0,003 0,32

66,4 0,33 1,822

0,000

0,85 0,68 8 62,0

1,79 39,0 69,9

1521,00 0,025 0,001

0,09

63,5 2,14 1,803

0,000 -2,36 4,14

9 47,0 1,67 28,0

46,82

784,00 -0,096 0,009

0,72 49,37 5,60

1,693 0,000 -5,03

0,81

10 67,0 1,83 44,0

80,35 1936,00 0,058

0,003 0,50 71,14

17,14

1,852 0,001 -6,18

3,15 Итого

594,0 17,68 355,0

632,4

13093,00 0,053

4,86 93,61

0,005 40,78 88,97

Средн

59,4 1,77 35,50

63,24 1309,30

0,49

Литература

1. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы. Москва ИНФРА-М 2002 г.

2. Задания для выполнения контрольной и лабораторной работ (дополнение к изд. Номеру 1/5 - 05) Москва. ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК 2007 г.

17

7

Показать полностью…
Похожие документы в приложении