Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Решение графическим методом типовой задачи оптимизации» по Экономике (Филонова Е. С.)

Министерство образования и науки

ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра Экономико-математических

методов и моделей

Факультет Финансово-кредитный Специальность Финансы и кредит

(направление)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

"Экономико-математические методы и прикладные модели"

Вариант 4

Москва 2011

Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

1.4. На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои - 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей - 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои - 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение.

1. Таблица на основе условия задачи:

Параметры

Кукуруза

Соя

Ограничения

Сев/уборка (ден.ед.)

200 100 60000 Объем (ц)

30 60

21000 Ограничение по площади (га)

1 1 400 Стоимость (ден.ед.)

3 6 Пусть х1 гектаров нужно засеять кукурузы, х2 - сои.

Первое ограничение задачи - по площади - имеет вид: х1+ х2 ? 400, т.к. у фермера всего имеется 400 га земли.

Второе ограничение - по общим затратам на сев и уборку: 200х1+100х2 ? 60 000, т.к. фермер получил на расходы ссуду в 60 тыс. ден.

Третье ограничение - по объему собранного зерна: 30х1+60х2 ? 21 000, т.к. вместимость склада составляет 21 тыс. центнеров.

Прибыль фермера: 30х1•3+60х2•6 = 90x1+120x2 (ден. ед.)

Построим экономико-математическую модель задачи:

max f(X) = 90x1+120x2

х1+ х2 ? 400

200х1+100х2 ? 60 000

30х1+60х2 ? 21 000

x1,2 ? 0

Это задача линейного программирования с двумя переменными, а значит ее можно решить графическим методом.

Последнее ограничение - прямое, означает, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

Остальные три - функциональные ограничения.

1. Определим область допустимых решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой x1+x2=400. Построим прямую a по двум точкам (0;400) и (400;0), которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных.

Область решений строгого неравенства - одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется, то оно выполняется и во всех точках той полуплоскости, которой принадлежит контрольная точка, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенство x1+x2?400, получим 0 ? 400, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Аналогичным образом построим области решения двух других неравенств

200x1+100x2=60 000

2 x1+ x2 = 600

x1 = 0, x2 = 600

x1 = 300, x2 = 0

По точкам (0;600), (300;0) построим прямую b.

200х1+100х2 ? 60 000 при x1 = x2 = 0;

0 ? 60 000 выполняется, берется левая полуплоскость.

30x1+60х2=21 000

x1 = 0, x2 = 350

x1 = 700, x2 = 0

По точкам (0;350) и (700;0) построим прямую c.

30х1+60х2 ? 21 000 при x1 = x2 = 0;

0 ? 21 000 выполняется, берется нижняя полуплоскость.

Выделим общую область для всех неравенств. Обозначим вершины области латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки C, являющейся точкой пересечения первой и второй прямой:

x1+x2=400, x1 = 200; x2 = 200

2 x1+ x2 = 600.

Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами области АВСDO, представляющей собой область допустимых решений рассматриваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: А(0;350), В(100;300), С(200;200), D(300;0), О(0;0).

2. Построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. =(90;120). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (90;120) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации - в противоположном направлении.

3. Приравняем целевую функцию постоянной величине а:

90x1+120x2 = а.

Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 90x1+120x2 = 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О(0;0), а так как при x1 = 4 x2 = -3, то в качестве второй точки возьмем точку E(4;-3).

Через эти две точки проведем линию уровня f(Х)= 90x1+120x2 = 0.

В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции.

Решение исходной ЗЛП:

Вычислим значение целевой функции в точке B (100;300):

f(Х)= 90x1+120x2=90•100 + 120•300 = 45000.

max f(Х) =45000, достигается при x1 = 100, x2=300.

Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 100 га земли кукурузой, 300 га - соей. При этом прибыль составит 45 000 ден. ед.

Если поставить задачу минимизации функции f(Х) = 90x1+120x2 при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке О(0;0). Это означает, что фермер не получит ни чего, если не засеет поле зерновыми культурами.

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы

сырья А

А

Б В

I II

III 4 3 1

2

1 2 I II III

4 3 1 Цена изделия

10 14 Цена изделия

10 Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 единиц каждого;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2ед. каждого вида сырья и изделия "Д" ценой 12ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение.

1. Обозначим через хj , j=1,2,3 - объем выпуска продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи критерию "максимум прибыли":

max f(X) = 10x1+14x2+12x3

4x1+2x2+x3 ? 180

3x1+x2+2x3 ? 210

x1+2x2+3x3 ? 244

хj ? 0, j=1,2,3

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Найдем оптимальный план задачи с помощью надстройки Excel Поиск решения.

1) Для задачи подготовим форму для ввода условий (см. рис. 1)

Рис. 1. Введена форма для ввода данных.

2) В нашей задаче оптимальные значения вектора Х=(Х1, Х2, Х3) будут помещены в ячейках B3:D3, оптимальное значение целевой функции - в ячейке E4.

3) Введем исходные данные в созданную форму. Получим результат, показанный на рис. 2.

Рис. 2. Данные введены.

4) Введем зависимость для целевой функции с помощью "Мастер функций"::

* Курсор в ячейку Е4.

* открываем "Мастер функций".

* в окне "Категория" выбираем категорию Математические.

* в окне "Функции" - СУММПРОИЗВ, на экране появляется диалоговое окно "СУММПРОИЗВ".

* в строку Массив 1 вводим В3:D3.

* в строку Массив 2 вводим В4:D4.

* далее нажимаем ОК. На экране: в Е4 введена функция, как показано на рис. 3.

Рис. 3. Вводится функция для вычисления целевой функции.

5) Введем зависимость для левых частей ограничений:

* Курсор в E7: СУММПРОИЗВ(В3:D3; B7:D7).

* Курсор в E8: СУММПРОИЗВ(В3:D3; B8:D8).

* Курсор в E9: СУММПРОИЗВ(В3:D3; B9:D9).

На этом ввод зависимостей закончен.

Запуск Поиска решения

Далее выбираем на вкладке Данные==>Поиск решения, появится диалоговое окно Поиск решения.

6) Назначаем целевую функцию (установить целевую ячейку).

* Курсор в поле "Установить целевую ячейку".

* Вводим адрес $Е$4.

* Вводим направление целевой функции - Максимальному значению.

Вводим адрес искомых переменных:

* Курсор в поле "Изменяя ячейки".

* Ввести адреса $В$3:$D$3.

7) Вводим ограничений.

* нажимаем Добавить, появляется диалоговое окно "Добавление ограничения"(рис. 4).

Рис. 4. Ввод правых и левых частей ограничений.

* В поле "Ссылка на ячейку" вводим адрес $E$7.

* Вводим знак ограничения <=.

* в строке Ограничение вводим адрес $G$7.

* Добавить. На экране опять диалоговое окно Добавление ограничения.

* вводим остальные ограничения задачи по вышеописанному алгоритму.

после введения последнего ограничения нажимаем ОК, на экране появится диалоговое окно "Поиск решения" с введенными условиями.

На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рис. 5).

8) Вводим параметры для решения ЗЛП (рис. 6.).

* в диалоговом окне "Поиск решения" нажимаем Параметры, на экране появляется диалоговое окно "Параметры поиска решения".

* Устанавливаем флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.

* устанавливаем флажок в окне Неотрицательные значения (т.к. прямое ограничение исходной ЗЛП - ).

* ОК. (На экране диалоговое окно Поиска решения).

* Выполнить. (На экране появляется диалоговое окно Результаты поиска решения - рис. 7).

* нажимаем ОК

Рис. 5. Введены все условия для решения задачи

Рис. 6. Ввод параметров.

Рис. 7. Решение

Полученное решение означает, что максимум функции равен 1420, при Х1=0, Х2=74 и Х3=32.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом X = (x1 = 0, x2 = 74, х3 = 32):

4*0+2*74+1*32 = 180 = 180

3*0+1*74+2*32 = 138 < 210 (*)

1*0+2*74+3*32 = 244 = 244

Значение целевой функции на этом плане равно

f(X) = 10*0+14*74+12*32 = 1420

2. Сформулируем ЭММ двойственной задачи:

Обозначим через у1 - двойственную оценку сырья I (стоимость единицы сырья), через у2 - двойственную оценку сырья II, а через у3 - сырья III.

min g(Y) = 180y1+210y2+244y3

4y1+3y2+y3 ? 10

2y1+y2+2у3 ? 14

y1+2y2+3y3 ? 12 y1,2,3 ? 0.

Для нахождения оценок y1, у2, у3 используем вторую теорему двойственности.

Из анализа использования сырья (*) видим:

Сырье I-ого типа в производственной программе используется полностью, является дефицитным и его двойственная оценка положительна, т.е. у1>0.

Сырье II-ого типа в производственной программе используется не полностью, является недефицитным и его двойственная оценка равна нулю, т.е. у2=0.

Сырье III-ого типа в производственной программе используется полностью, является дефицитным и его двойственная оценка положительна, т.е. у3 >0.

Так как х2 > 0 и х3 > 0, то изделия Б и В вошли в производственную программу, на основании этого второе и третье неравенства функциональных ограничений двойственной ЗЛП можно записать в виде уравнений:

2y1+y2+2y3 и = 14

y1+2y2+3y3 = 12.

Ранее установлено, что у2=0, тогда для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

у2 = 0 2y1+y2+2y3 = 14

y1+2y2+3y3 = 12.

т.е. у1 = 4,5; y2 = 0; y3 = 2,5.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

g(Y) = 180*4,5+210*0+244*2,5 = 1420, т.е. f(X) = g(Y) = 1420

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

3. Нулевое значение переменной у2 проанализировано в п. 2.

Подставим в функциональное ограничение двойственной задачи для изделия А значения переменных У.

где

20,5 - затраты на ресурсы для изделия А;

10 - планируемая доходность изделия А.

Нулевое значение переменной х1 в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. затраты на ресурсы превосходят планируемую доходность.

4.1. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

В примере недефицитным ресурсом является II тип сырья, поскольку у2= 0.

Дефицитным является III тип сырья, так как у3 равен 2,5, но наиболее дефицитным является I тип сырья, показатель которого у1 равен 4,5.

4.2. Допустим, что запасы сырья I вида увеличили на 4 ед., т. е. теперь они составляют 180 + 4 = 184 единиц, и запасы сырья III вида увеличили на 4 ед., т. е. теперь они составляют 244 + 4 = 248 единиц.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

max f(X) = 10x1+14x2+12x3

4x1 + 2x2 + x3 ? 184

3x1 + x2 + 2x3 ?210

x1 + 2x2 + 3x3 ?248

xj ? 0, j=1,2,3

Отсюда определяем план выпуска в новых производственных условиях:

X=(x1=0, x2=76,x3=32). Прибыль составит 1448 ден.ед., т.е. увеличится на 28 ден.ед. (рис.8).

рис.8 Оптимальный план выпуска и прибыль в новых условиях

Проверим результаты при помощи теоремы об оценках ?f(X) = yi • ?bi.

Колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(X). Оно определяется величиной yi в случае, когда при изменении величин bi значения переменных yi в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными.

Далее находим (ден. ед.), т.е. увеличение запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого приведет к увеличению выручки от реализации продукции на 28 денежных единиц.

4.3. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если ? j = ? aij yi - cj ? 0 - выгодно,

если ? j > 0 - невыгодно.

у1 = 4,5; y2 = 0; y3 = 2,5

Определим целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется 1, 3 и 2 ед. каждого вида сырья соответственно.

? 4 = 1*4,5 + 3*0 + 2*2,5- 13 = -3,5 < 0, т.е. включение в план изделия "Г" ценой 13 ед. выгодно.

Определим целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

? 5 = 2*4,5 + 2*0 + 2*2,5 - 12 = 2 > 0, т.е. включение в план изделия "Д" ценой 12 ед. нецелесообразно.

Задача 4.4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

t 1 2 3 4 5

6 7

8 9 Y(t) 30 28

33 37 40 42 44

49 47 Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную модель Брауна , с параметром сглаживания ?=0,4 и ?=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%)

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

1. Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда.

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко - ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

.

Расчетные значения и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

Необходимые расчеты произведем в таблице Excel при помощи формул (рис.9).

Значение критерия Ирвина для уровня значимости , т.е. с 5%-ной ошибкой, при равно . Так как все расчетные значения меньше табличного значения, то аномальных уровней в данном временном ряду нет.

2. Построим линейную модель , параметры которой оценим методом наименьших квадратов (МНК).

Для построения необходимо найти такие значения и , при которых сумма квадратов отклонений эмпирических данных от расчетной прямой является наименьшей. Данные параметры рассчитываются следующим образом:

Для этого формируется таблица с промежуточными расчетами (рис.9).

Рис. 9 Промежуточные расчеты

Таким образом, уравнение регрессии зависимости(спрос на кредитные ресурсы) от t (время) имеет вид:

Последовательно подставляя в модель значение фактора t от 1 до 9, находим расчетные значения уровней.

3. Построим адаптивную модель Брауна с параметрами сглаживания ? = 0,4 и ? = 0,7, выберем лучшее значение ?.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов.

t y

t-t среднее

(t-t среднее)^2

y-yср (t-t среднее)*(y-yср)

1 30

-2 4 -3,6 7,2

2 28 -1 1 -5,6

5,6 3 33 0 0

-0,6

0 4 37 1 1 3,4

3,4 5 40 2 4

6,4 12,8 tср=3

yср= 33,6

10 29

Остальные вычисления производим по формулам:

Вычисления отразим в таблице.

При ? = 0,4, ? = 1-0,4 = 0,6

1-?2 = 1-0,62 = 1-0,36 = 0,64

(1-?)2 = (1-0,6)2 = 0,42 = 0,16

t Y(t) a0

a1 Yp(t)

E(t) 0 24,90

2,90 1 30 29,21

3,25 27,80 2,20

2 28

29,61 2,54 32,46

-4,46 3 33 32,69

2,68 32,14 0,86

4 37

36,41 2,94 35,37

1,63 5 40 39,77

3,04 39,35 0,65

6 42

42,29 2,91 42,81

-0,81 7 44 44,43

2,72 45,20 -1,20

8 49

48,33 3,02 47,15

1,85 9 47 48,57

2,32 51,35 -4,35

Таким образом, на последнем шаге получена модель:

Составим модель при ? = 0,7, ? = 1-0,7 = 0,3

1-?2 = 1-0,32 = 1-0,09 = 0,91

(1-?)2 = (1-0,3)2 = 0,72 = 0,49

Получим следующую таблицу:

t Y(t) a0

a1 Yp(t) E(t) 0

24,90 2,90

1 30

29,80 3,98 27,80

2,20 2 28 28,52

1,15 33,78 -5,78

3 33

32,70 2,78 29,67

3,33 4 37 36,86

3,52 35,48 1,52

5 40

40,03 3,33 40,39

-0,39 6 42 42,12

2,66 43,37 -1,37

7 44

44,07 2,28 44,79

-0,79 8 49 48,76

3,58 46,35 2,65

9 47

47,48 0,96 52,34

-5,34 В результате получим модель .

При ? = 0,4 модель Брауна лучше, так как расчетные значения ближе к фактическим, чем при ? = 0,7.

4. Оценим адекватность построенной линейной модели. Результаты исследования отразим в таблице.

Линейная модель

t Yt Yp(t)

Et точки поворота

Et2 Et-Et-1 (Et-Et-1)2

Et*Et-1

|Et/Yt|*100 1 30

28,36 1,64 - 2,70

5,48 2 28

30,99

-2,99 1 8,93 -4,63

21,47 -4,92 10,67

3 33 33,62 -0,62

0 0,39

2,37 5,60 1,86

1,89 4 37 36,26

0,74 0 0,55 1,37

1,87

-0,46 2,01 5 40

38,89 1,11 1 1,23

0,37 0,13 0,83

2,78

6 42 41,52 0,48

0 0,23 -0,63 0,40

0,53 1,14 7 44

44,16

-0,16 1 0,02 -0,63

0,40 -0,07 0,35

8 49 46,79 2,21

1 4,89

2,37 5,60 -0,34

4,51 9 47 49,42

-2,42 - 5,87 -4,63

21,47

-5,36 5,15 сумма

350 350 0,00 4

24,82 - 56,94 -7,93

33,99

* Случайность остаточной компоненты по критерию пиков.

Для проверки условия случайности возникновении отдельных отклонений от тренда часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить, как

где р - фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1,96 - квантиль нормального распределения для 5%-го уровня значимости;

квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть (не путать с процедурой округления!).

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и, стало быть, модель не является адекватной.

Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат: р = 4 больше 2 (критическое число поворотных точек, рассчитанное по формуле).

* Независимость уровней ряда остатков по d-критерию (d1 = 1,08, d2 = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина - Уотсона. С этой целью строится статистика Дарбина- Уотсона (d -статистика), в основе которой лежит расчетная формула:

Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При отсутствии автокорреляции значение d примерно равно 2, а при полной автокорреляции - 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. При сравнении расчетного значения d -статистики с табличным могут возникнуть такие ситуации: d2 < d < 2 - ряд остатков не коррелирован; d < d1 - остатки содержат автокорреляцию; d1 < < d < d2- область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать по формуле d'= 4 - d.

В нашем случае d = 2,29 > 2, значит находим d' = 4 - 2,29 = 1,71. Следовательно, ряд остатков не коррелирован, независимость выполняется.

Воспользуемся первым коэффициентом автокорреляции, который вычислим по формуле:

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным r(1)=0,36. Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же фактическое значение больше табличного, делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Так как |r1| < r(1) (0,32 < 0,36), то свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.

* Нормальность распределения остаточной компоненты по R/S - критерию с критическими уровнями 2,7 - 3,7.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S -критерия:

где Еmах и Emin - максимальный и минимальный уровни ряда остатков соответственно;

Еmах=2,21, Emin=-2,99

- среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение попадает между табулированными границами, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Так как 2,7<2,95,<3,7, то свойство нормальности выполняется.

Итак, все четыре пункта проверки 1-4 дают положительный результат, делается вывод о том, что выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики. В этом случае ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

Проверим адекватность построенной адаптивной модели Брауна с коэффициентом ? = 0,4: .

Составим таблицу расчетов.

t Yt

Yp(t) Et точки поворота

Et2 Et-Et-1 (Et-Et-1)2

Et*Et-1

|Et/Yt|*100 1 30

27,80 2,20 - 4,84

- - - 7,33 2

28 32,46

-4,46 1 19,89 -6,66

44,36 -9,81 15,93

3 33 32,14 0,86

0 0,73

5,32 28,26 -3,82

2,59 4 37 35,37

1,63 1 2,67 0,78

0,60

1,40 4,41 5 40

39,35 0,65 0 0,42

-0,98 0,96 1,06

1,63

6 42 42,81 -0,81

0 0,65 -1,46 2,12

-0,53 1,92 7 44

45,20

-1,20 1 1,44 -0,40

0,16 0,97 2,73

8 49 47,15 1,85

1 3,41

3,05 9,30 -2,22

3,77 9 47 51,35

-4,35 - 18,92 -6,20

38,41

-8,04 9,26 сумма

350 353,63 -3,63

4 52,99 - 124,18

-20,98

49,57 Оценка качества на основе остаточной компоненты E(t) дало следующие результаты:

Р = 4, значит неравенство р > 2 выполняется. Свойство случайности выполняется.

- независимость выполнена.

.

Так как R/S не принадлежит интервалу (2,7-3,7), значит, свойство нормальности не выполняется.

5. Оценка точности линейной модели.

Вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

.

Так как Еотн. = 3,78 < 15, ошибку можно считать приемлемой.

Проверим адаптивную модель Брауна на точность:

. Точностные характеристики приемлемые.

6. Построим точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед.

Линейная модель

При прогнозировании на два шага имеем

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза:

Нижняя граница прогноза:

Результат прогноза представим в таблице.

время t шаг

k точечный прогноз

интервальный прогноз

нижняя граница

верхняя граница

10 1 52,06 49,61

54,50

11 2 54,69 52,10

57,28 Адаптивная модель Брауна при ? = 0,4: .

Прогнозные оценки получаются путем подстановки значений k = 1, k = 2.

Результат прогноза представим в таблице.

время

t шаг k точечный прогноз

интервальный прогноз

нижняя граница

верхняя граница

10 1 50,89 47,32

54,46 11 2 53,20

49,42 56,98 7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически.

Список использованной литературы:

1. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели.- М.:ЮНИТИ,2002.

2. Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. Выполнение расчетов в среде Excel: Практикум. - М.: Финстатинформ, 2000.

3. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник

Показать полностью…
Похожие документы в приложении