Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
бесплатно
zip

Шпаргалка «Экзаменационная» по Теории вероятностей и математической статистике (Рудяк Ю. В.)

Различные события можно классифицировать следующим образом:

1) Невозможное событие – событие, которое не может произойти.

2) Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет.

3) Случайное событие – событие, которое может произойти, а может не

произойти.

Пример: Бросают 2 кубика:

Невозможное событие – сумма цифр равна 1, сумма цифр больше 13 и т.п.

Достоверное событие – сумма цифр больше 1 и меньше 13.

Случайное событие – сумма цифр меньше 5, сумма цифр больше 7 и т.п.

Дадим несколько определений относящихся к случайным событиям.

!___ОПРЕДЕЛЕНИЕ___!: Несовместными называются события, в которых появление

одного исключает появление другого.

Пример: Бросают кубик. Выпадение 2 исключает выпадение 1, 3 и т.д. Со-

бытия выпало 1, 2, 3 и.т.д. несовместны. А, например, два события: выпало

3 и выпало число очков меньше 5 – совместны, так как выпадение 3 очков

укладывается и в категорию «меньше 5».

!___ОПРЕДЕЛЕНИЕ___!: События образуют полную группу, если в результате испы-

тания появляется хотя бы одно из них.

Пример: Бросают кубик. Шесть событий: выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 образуют

полную группу, так как одно из этих событий обязательно произойдет.

Замечание: В задачах по теории вероятности часто неявно предполагаются

выполненными ряд очевидных условий. Так, в предыдущем примере неяв-

но предполагается, что кубик на ребро встать или в воздухе повиснуть не

может.

!___ОПРЕДЕЛЕНИЕ___!: События называются равновозможными, если при большом

числе испытаний частота их появления одинакова.

Пример: Равновозможные события: орел – решка при подбрасывании мо-

неты; выпадения 1, 2, 3, 4, 5, 6 при подбрасывании кубика. Неравновоз-

можные события: выпадение числа очков больше 1, между 4 и 6, равного 2

при подбрасывании кубика; оценки 2, 3, 4, 5 на экзамене.

!___ОПРЕДЕЛЕНИЕ___!: Событие называется элементарным если оно не разделимо на

более простые.

Пример: Шесть событий: выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 – элементарные, а событие

выпало число очков меньше 4 – не элементарное, так как разложимо на бо-

лее простые: выпало 1, 2, 3.

!___ОПРЕДЕЛЕНИЕ___!: Множество всех элементарных событий, которые могут поя-

виться в испытаниях, называется пространством элементарных событий Ω.

Очевидно, что все элементарные события попарно несовместны.

Пример: Пространство элементарных событий в задаче с подбрасыванием

кубика Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Аксиомы теории вероятностей:

1) Каждому событию A поставлено в соответствие некоторое число

P(A)≥0 называемое вероятностью этого события.

2) P(Ω)=1.

3) Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных со-

бытий равна сумме вероятностей этих событий.

В случае если элементарные события равновозможны, то вероятность каж-

дого из них p=1/N, где N – число элементарных событий.

При решении задач теории вероятностей часто приходится подсчи-

тывать количество возможных вариантов событий. Задачи, в которых вы-

числяется количество вариантов выбора решаются с помощью комбинато-

рики. Рассмотрим основные из них.

1) Перестановки.

Перестановки – это комбинации из одних и тех же элементов, отличаю-

щиеся порядком следования. Число всех возможных перестановок эле-

ментов равно

P_n = n! Действительно, будем расставлять n элементов по n местам в различном

порядке. Заполнить первое место мы можем n способами. Когда первое

место заполнено, перед нами n - 1 элемент для того что бы заполнить вто-

рое место. Таким образом, число способов заполнить второе место, когда

первое заполнено выбранным ранее элементом, равно n - 1. Причем такое

число способов заполнить второе место есть для каждого варианта запол-

нения первого места, значит, число способов заполнить первые два места

будет n(n - 1). Далее по аналогии, заполнить третье место можно n - 2

способами, а первые три – n(n - 1)(n - 2) и т.д. Предпоследнее место мож-

но заполнить двумя способами (осталось два элемента), последнее только

одним. Число способов заполнить все мест, а значит и число перестано-

вок равно n!.

2) Размещения.

Размещениями называют комбинации, составленные выбором из n раз-

личных элементов m элементов, отличающиеся либо составом элементов,

либо их порядком следования. Число всех возможных размещений m эле-

ментов из n равно

A m|n = n! / (n - m)! (m сверху, n снизу; выбираем m из n)

(читается «а из эн по эм» или «а эм эн»). Действительно, будем расстав-

лять n элементов по m местам в различном порядке. Заполнить первое

место мы можем n способами. Когда первое место заполнено, перед нами

n - 1 элемент для того что бы заполнить второе место. Таким образом,

число способов заполнить второе место, когда первое заполнено выбран-

ным ранее элементом, равно n - 1. Причем такое число способов заполнить

второе место есть для каждого варианта заполнения первого места, значит,

число способов заполнить первые два места будет n(n - 1). Далее по анало-

гии, заполнить третье место можно n - 2 способами, а первые три –

n(n - 1)(n - 2) и т.д. Предпоследнее место можно заполнить n - m + 1 спо-

собами (осталось n - m + 2 элементов), последнее n - m + 1 способами.

Число способов заполнить все m мест, а значит и число размещений равно

n(n - 1)(n - 2)...(n - m + 2)(n - m + 1) = n! / (n - m)!

3) Сочетания.

Сочетаниями называются комбинации, составленные выбором m элемен-

тов из n различных элементов, отличающиеся только составом (но не по-

рядком следования). Число всех возможных сочетаний m элементов из n

равно

C m|n = n! / m!(n-m)!

(читается «цэ из эн по эм» или «цэ эм эн»). Действительно, имеется A m|n

возможных размещений m элементов из n. Размещений, различающихся

порядком следования элементов при заданном их составе – m!, то есть на

одно сочетание приходиться m! размещений. Следовательно, количество

сочетаний есть

C m|n = A m|n / m! = n! / m!(n - m)!

4) Выбор с возвращением.

Выбор с возвращением представляет собой комбинации m элементов из n

элементов, отличающиеся составом или порядком следования, причем вы-

бранный элемент возвращается на место (может участвовать в дальнейшем

выборе). Число комбинаций m элементов из n элементов всего, при усло-

вии, что выбранный элемент возвращается на место и может участвовать в

дальнейшем выборе, равно n\m (n в степени m). Действительно, будем

расставлять n элементов по m местам в различном порядке. Заполнить первое

место мы можем n способами. Второе место можем заполнить тоже n способами.

Причем такое число способов заполнить второе место есть для каждого ва-

рианта заполнения первого места, значит, число способов заполнить пер-

вые два места будет n^2 (n в степени 2). Заполнить третье и все последующие

места можем также n способами. По аналогии, всего способов заполнить m

мест, выбирая из элементов – n^m.

Пример: Крыловский квартет: всякий раз пересаживаясь, исполняются де-

сятиминутные произведения. Сколько времени потребуется на прослуши-

вание всех вариантов исполнения?

Количество вариантов для пересаживания (перестановок) равно

P_4 = 4! = 24. Требуемое время для исполнения 24 х 10 мин. = 240 мин. - 4 часа.

Пример: Имеется кодовый замок с 10 цифрами. Длина кода – 3 цифры.

Сколько вариантов выбора?

а) порядок безразличен

C 3|10 = 10! / 3!7! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / 1*2*3*1*2*3*4*5*6*7 = 8*9*10 / 1*2*3 = 120.

б) порядок важен

A 3|10 = 10! / 7! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / 1*2*3*4*5*6*7 = 8*9*10 = 720.В случаях, когда пространство элементарных событий дискретно, а

сами элементарные события равновозможны, вероятность того или иного

события A определяют как отношение числа элементарных событий N_A,

благоприятствующих наступлению события A, к общему числу элемен-

тарных событий N : P(A) = N_A / N.

Пример: Имеется 10 ключей. Какова вероятность того, что из первых трех

выбранных наугад ни один не подойдет к двери?

Три ключа из десяти можно выбрать C 3|10 способами. Три не подходящих

ключа можно выбрать C 3|9 способами (подходящий к двери ключ

откладывается). Вероятность

P = C 3|9 / C 3|10 = (9!/3!6!) / (10!/3!7!) = 7 / 10 = 0,7.

Пример: Кидают 2 кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших чисел

не более 5, 6, 7, 8, 9?

Всего вариантов 6^2 = 36.

• Число комбинаций, когда сумма ≤ 5 : 1+2+3+4 = 10 (меньше 2 очков

не может быть; 2 очка - 1-1; 3 очка - 1-2, 2-1; 4 очка - 1-3, 3-1, 2-2;

5 очков - 1-4, 4-1, 2-3, 3-2). Вероятность P_≤5 = 10 / 36 = 5 / 18.

• Число комбинаций, когда сумма ≤6: 1+2+3+4+5 = 15 (тоже, плюс

варианты 6 очков - 1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3). Вероятность P_≤6 = 15 / 36.

• Число комбинаций, когда сумма ≤7: 1+2+3+4+5+6 = 21 (тоже, плюс

варианты 7 очков - 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4, 4-3). Вероятность P_≤7 = 21 / 36.

• Число комбинаций, когда сумма ≤8: 1+2+3+4+5+6+5 = 26 (тоже, плюс

вариаты 8 очков - 2-6, 6-2, 3-5, 5-3, 4-4). Вероятность P_≤8 = 26 / 36 = 13 / 18.

• Число комбинаций, когда сумма ≤9: 1+2+3+4+5+6+5+4 = 30 (тоже, плюс

варианты 9 очков - 3-6, 6-3, 4-5, 5-4). Вероятность P_≤9 = 30 / 36 = 15 / 18.

Пример: В группе учатся 30 студентов. Найти вероятность того, что среди

них нет студентов с совпадающими днями рождения.

Количество вариантов распределения дней рождений N = 365^30 (ролью ви-

сокосного года мы пренебрегаем, так как это сильно усложняет вычисле-

ния, но не приводит к существенному изменению самой вероятности).

Количество вариантов различных дней рождений:

N_разл = A 30|365 = 365! / (365 - 30)! = 365*364*363*...*336} 30

(для первого студента 365 варантов дня рождения, для второго - 364 и т.д.).

Вероятность P = N_разл / N =

365-1/365 * 365-2/365 * 365-3/365 * ... * 365-29/365 ≈ 0,29

Это означает, что вероятность того, что в группе найдутся хотя бы 2

студента с совпадающими днями рождений ≈ 70%.

Часто оказывается, что пространство событий является не дискрет-

ным, а непрерывным. В этом случае вероятность события A определяют

как отношение меры части пространства элементарных событий, благо-

приятствующей наступлению события A, к мере всего пространства эле-

ментарных событий.

Пример: Имеется мишень. Стрелок целится и попадает в нее, причем по-

падания в разные части мишени одинаковой площади равновозможны. Ве-

роятность попадания пули в какую-то область A мишени равна отноше-

нию площади этой области S_A к площади мишени S : P(A) = S_A / S.

Пример: В комнату, наполненную кислородом, поместили 1 молекулу азо-

та. Вероятность обнаружить спустя какое то время эту молекулу в некото-

рой части комнаты равна отношению объема этой части ΔV к объему

комнаты: P(ΔV) = ΔV / V.

!___ОПРЕДЕЛЕНИЕ___!: Суммой A + B двух событий A и B называют событие, со-

стоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Аналогично определяется сумма трех, четырех и более событий.

!___ТЕОРЕМА___!: Вероятность появления хотя бы одного из нескольких попарно

несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P (A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

Доказательство: Следует из третьей аксиомы.

!___ТЕОРЕМА___!: Сумма вероятностей попарно несовместных событий A1, A2, ...,

An, образующих полную группу, равна единице, то есть

P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1

Доказательство: Так как появление одного из событий полной группы

достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

P (A1 + A2 + ... + An) = 1

По предыдущей теореме

P (A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1

!___ТЕОРЕМА___! доказана.

!___ОПРЕДЕЛЕНИЕ___!: Противоположными событиями называют два несовместных

события, образующих полную группу.

Обозначают противоположные события чертой сверху: событие A^ проти-

воположно событию A.

!___ТЕОРЕМА___!: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице,

то есть P(A) + P(A^) = 1.

Доказательство: Следует из определения противоположных событий и

предыдущей теоремы.

Пример: В рассмотренной выше задаче про дни рождения, группа состоит

из 30 студентов. Пусть событие A заключается в том, что все дни рожде-

ния различны. Тогда событие A^ означает, что есть повторяющиеся дни

рождения. Как найдено выше P(A) ≈ 0,29. Согласно только что доказан-

ной теореме P(A^) = 1 - P(A) ≈ 0,71, то есть вероятность того, что будут

одинаковые дни рождения хотя бы у двух студентов ≈ 71%.

Показать полностью…
Похожие документы в приложении