Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Филиал в г. Барнауле

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по эконометрике

Вариант № 7

Выполнила:

Специальность: Бухгалтерский учет,

анализ и аудит

Группа:

№ личного дела:

Проверил преподаватель:

Барнаул 2008

Условие задачи

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициенту регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ().

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.

9. Для указанных моделей найти коэффициента детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. Данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

X 36 28 43 53

51 54 25 37 51

29 Y 85 60 99

117 118

125 56 86 115

68 Решение задачи

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициенту регрессии.

Построим линейную модель .

Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной X (Данные > Сортировка):

Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели.

Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Таблица 5

Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модель построена, и ее уравнение имеет вид:

Коэффициент регрессии, следовательно, при увеличении объема капиталовложений (X) на 1 млн. руб. объем выпуска продукции увеличивается в среднем на 2,31 млн. руб.

Свободный член в данном уравнении не имеет реального смысла.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Остатки модели содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).

Программой РЕГРЕССИЯ найдены также и остаточная сумма квадратов и дисперсия остатков (таблица 3).

Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:

1. Вызвать Мастер диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

2. Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений X указать исходные данные X (таблица 1); значения Y - остатки (таблица 5).

В результате получим график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются 4 условия Гаусса-Маркова.

1. Проведем проверку случайности остаточной компонента по критерию поворотных точек.

Количество поворотных точек определим по графику остатков: .

Вычислим критическое значение по формуле:

. При найдем

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

2. Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: .

Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Гольдфельда-Квандта.

В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных () выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов .

С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Рассчитаем статистику критерия: .

Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы составляет .

Схема критерия:

Сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

3. Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона

. Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты .

Таким образом,

Схема критерия:

4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью критерия:

. С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим , . Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет . Тогда:

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения и при составляет (2,67; 3,57).

Схема критерия:

2,92 (2,50; 3,31), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента ().

t-статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.

Для свободного коэффициента определена статистика .

Для коэффициента регрессии определена статистика .

Критическое значение найдено для уравнения значимости и числа степеней свободы с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

Схема критерия:

Сравнение показывает:

, следовательно, свободный коэффициент a не является значимым, его можно исключить из модели.

, значит, коэффициент регрессии b является значимым, его и объем капиталовложений нужно сохранить в модели.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет .

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 99% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F-критерия Фишера.

F-статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет .

Критическое значение найдено для уровня значимости и чисел степеней свободы , .

Схема критерия:

Сравнение показывает: ; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 6).

Таблица 6

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Сравним: 2,14% < 5%, следовательно, модель является точной.

Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 54, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

. Таким образом, если объем капиталовложений составит 43,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 98,92 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

Предварительно подготовим:

- стандартную ошибку модели (Таблица 2);

- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:

При размах доверительного интервала для среднего значения

Границами прогнозного интервала будут

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 43,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 97,3 млн. руб. до 100,53 млн. руб.

7. Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) - покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью опции Добавить линию тренда. построим линию модели:

тип > линейная; параметры > показывать уравнение на диаграмме.

Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя > прогноз; значения ; значения ;

Имя > нижняя граница; значения ; значения ;

Имя > верхняя граница; значения ; значения

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.

Гиперболическая модель не является стандартной.

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).

Таблица 7

С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

Таким образом, ; , следовательно, уравнение гиперболической модели .

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных , ряд теоретических значений .

Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

Таким образом, уравнение степенной модели .

Показательная модель тоже стандартная (экспоненциальная).

Построим ее с помощью Мастера диаграмм.

Можно вычислить (функция EXP), тогда уравнение показательной модели .

9. Для указанных моделей найти коэффициента детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем теоретические значения , найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня исходных данных ; ошибки модели и относительные погрешности (таблицы 8-10).

Среднюю относительную погрешность найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс детерминации вычислим по формуле , для чего подготовим числитель дроби - функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель - функция КВАДРОТКЛ для столбца Y.

Таблица 8

Таблица 9

Таблица 10

Составим сводную таблицу характеристик качества построенных моделей:

Столбец средних относительных погрешностей показывает, что наиболее точной является степенная модель, ее погрешность - наименьшая. Также точность степенной модели высокая - 3,98% < 5%.

По величине индекса детерминации лучшая модель - степенная (индекс детерминации наибольший). , таким образом, вариация объема выпуска продукции на 99% объясняется по уравнению линейной модели вариацией объема капиталовложений.

Для нелинейных моделей коэффициенты эластичности определяются соотношением , согласно которому:

* для степенной модели коэффициент эластичности и представляет собой постоянную величину;

* для показательной модели коэффициент эластичности и зависит от значения фактора X;

* для гиперболической модели коэффициент эластичности и также зависит от значения фактора X.

Для построенной степенной модели получим . Следовательно, согласно этой модели увеличение объема капиталовложений на 1% приводит к увеличению объема выпуска продукции на 1,03%.

Результаты расчета коэффициентов эластичности для показательной и гиперболической моделей приведены в таблице.

Таким образом, согласно показательной модели увеличение объема капиталовложений на 1% приводит к росту объема выпуска продукции на величину от 0,66% до 1,43%. Согласно гиперболической модели при увеличении объема капиталовложений на 1% происходит рост объема выпуска продукции в пределах от 2,61% до 0,50%.

Окончательный вывод о качестве моделей по коэффициентам эластичности следует делать с учетом экономического смысла задачи.

Показать полностью…
Похожие документы в приложении