Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Региональная кафедра " Математика и информатика"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине "Эконометрика"

Вариант 2

Уфа - 2008

Задача.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

* гиперболической;

* степенной;

* показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Вариант 2

72 52 73 74

76 79

54 68 73 64

121 84 119 117

129 128 102 111

112 98

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Линейная модель: y^ = a + b * x

Составим таблицу исходных и расчетных данных

Таблица 1

t y x x*x y*x

у * у (y - yср)2

(x - xср)2 y^

1 121

72 5184 8712 14641

79,2 12,3 117,0

2 84 52 2704 4368

7056

789,6 272,3 88,9

3 119 73 5329

8687 14161 47,6

20,3

118,4 4 117 74

5476 8658 13689

24,0 30,3 119,8

5 129

76 5776 9804 16641

285,6 56,3 122,6

6 128 79 6241

10112

16384 252,8 110,3

126,8 7 102 54

2916 5508 10404

102,0

210,3 91,7 8 111

68 4624 7548 12321

1,2 0,3 111,4 9

112 73

5329 8176 12544

0,0 20,3 118,4

10 98 64 4096

6272

9604 198,8 20,3

105,8 сумма

1121 685 47675

77845

127445 1780,9 752,5

1121 ср.зн.

112,10 68,50 4767,50

7784,50

12744,50 178,09

75,25

Итак, = 15,93+1,40а

Коэффициент регрессии "b" показывает, что с ростом объема капитала вложений (Х) на 15,93 млн.руб. выпуск продукции (Y) вырастет на 1,4 млн. руб.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

Ei = y i - y^i

Дисперсия остатков

Среднеквадратическая велиина остатков SE = 6,099

График остатков

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Составим таблицу на основе остатков уровней ряда

Таблица 2

t y y^ E(t) = y - y^

E(t)2

p E(t) * E(t-1)

E(t) - E(t-1) [E(t) - E(t-1)[2

[E(t)/y(t)] *100%

1 121

117,0 4,0 15,89

3,29

2 84 88,9 -4,9

24,35

1 -19,67 -8,92

79,57 5,87 3 119

118,4 0,6 0,34

1 -2,87

5,52 30,43 0,49

4 117 119,8 -2,8

7,96 1 -1,64 -3,40

11,59

2,41 5 129 122,6

6,4 40,58 1 -17,98

9,19 84,49 4,94

6 128

126,8 1,2 1,34

1 7,38 -5,21 27,16

0,90 7 102 91,7

10,3

105,22 1 11,88

9,10 82,80 10,06

8 111 111,4 -0,4

0,16

0 -4,08 -10,66

113,55 0,36 9 112

118,4 -6,4 41,19

0 2,55

-6,02 36,24 5,73

10 98 105,8 -7,8

60,56 49,94 -1,36

1,86

7,94 сумма

1121 1121 0,0 297,59

6 25,52 -11,77

467,70

42,00 а) случайность уровней ряда E(t) проверим по критерию поворотных точек Р:

Ррасчет > Ркрит - свойство выполняется

Ррасчет = 6

Ркрит =

Ркрит =2

т.к. Р > 2, то свойство случайности выполняется.

б) независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда E(t) проверим по критерию Дарбина-Уотсона:

d1 =1,08

d2 =1,36 =1,57

T.к. d > d(2), то свойство независимости выполняется.

б) независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда E(t) проверим по первому коэф-ту корреляции:

Т.к. по модулю r(1) < 0,36, то свойство независимости выполняется

в) соответствие нормальному закону распределения (НЗР) проверим по RS-критерию:

т.к.RS = 2,96 находится в интервале [RSmin ; RSmax] (RSmin=2,7; RSmax=3,7 из таблицы), то гипотеза о НЗР уровней ряда E(t) подтверждается, что позволяет сделать прогноз

г) обнаружение гетероскедастичности (тест Голдфельда-Квандта)

Таблица 3

x y y^ Е = У - У^

Е2 52 84 89,5

-5,5 30,42 54 102

92,3

9,7 95,01 64 98

105,9 -7,9 62,99

68 111 111,4 -0,4

0,17

72 121 116,9 4,1

16,94 S1 = Сумма Е12 =

205,54 x

y y^

Е = У - У^ Е2

73 119 116,2 2,8

7,67 73 112 116,2

-4,2

17,90 74 117 118,6

-1,6 2,61 76 129

123,4 5,6 31,53

79 128

130,5 -2,5 6,44

S2 = Сумма Е22 =

66,15

Fтабл = 9,28 (для a = 0,05; k1 = n1 - m = 5 - 1 - 1 = 3; k2 = n - n1 - m = 5 - 1 - 1 = 3)

Т.к. F < Fтабл, то с вероятностью 95% гипотеза о гетероскедастичности отклоняется

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Sb- стандартная ошибка параметра "b"

Sа- стандартная ошибка параметра "а"

tтабл = 2,31 (для a = 0,05; k = n - m - 1 = 10 - 1 - 1 = 8)

Т.к. tа < tтабл, то с вероятностью 95% параметр "а" данного уравнения регрессии незначим

Т.к. tb > tтабл, то с вероятностью 95% параметр "b" данного уравнения регрессии значим

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Рассчитаем коэффициент линейной корреляции:

Можно считать, что связь между Y и X весьма тесная.

Расчитаем коэффицент детерминации:

R2 = r 2 =0,9132 = 0,833

Можно сказать, что вариация признака Y на 83,3 % объясняется вариацией признака X

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Fтабл = 5,32 (для a = 0,05; k1 = m = 1; k2 = n - m - 1 = 10 - 1 - 1 = 8)

Т.к. F > Fтабл, то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения (y*) отличаются от фактических значений (y) на 4,2 %

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Хпр = Хмакс * 80% / 100% = 79,00*0,8=63,20

Yпр. = 15,93+1,40*63,20=104,60

Границы доверительного интервала прогноза

tа = 1,86 (для a = 0,10; k = n - m - 1 = 10 - 1 - 1 = 8)

Интервальный прогноз

Нижняя граница прогноза Ун = Упр - U =104,66-12,10=92,56

Верхняя граница прогноза Ув = Упр + U =104,66+12,10=116,76

92,56<yпр<116,76

8. Составление уравнений нелинейной регрессии

Cтепенная модель:

Y*=a*xb Произведем логарифмирование данного уравнения: lg(y*) = lg(a) + b * lg(x)

Обозначим: Y = lg(y); X = lg(x); A = lg(a)

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения: Y = A + b * X

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (см. таблицу 4)

Таблица 4

t y x Y=lg(y)

X=lg(x) X2 Y*X

y* E=y-y* E2 [E/y]*100

1 121

72 2,083 1,857

3,450 3,868 116,9

4,13 17,03 3,41

2 84

52 1,924 1,716

2,945 3,302 88,9

-4,88 23,83 5,81

3 119

73 2,076 1,863

3,472 3,867 118,2

0,76 0,58 0,64

4 117

74 2,068 1,869

3,494 3,866 119,6

-2,60 6,75 2,22

5 129

76 2,111 1,881

3,537 3,970 122,3

6,69 44,73 5,18

6 128

79 2,107 1,898

3,601 3,999 126,4

1,64 2,68 1,28

7 102

54 2,009 1,732

3,001 3,480 91,7

10,25 105,07 10,05

8 111

68 2,045 1,833

3,358 3,748 111,4

-0,39 0,15 0,35

9 112

73 2,049 1,863

3,472 3,818 118,2

-6,24 38,90 5,57

10 98

64 1,991 1,806

3,262 3,597 105,8

-7,85 61,58 8,01

сумма

1121 685 20,463

18,319 33,592 37,515

1119,5 1,51 301,32

42,52

ср.зн. 112,10

68,50 2,05 1,83

3,36 3,75

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Вернемся к исходному уравнению через потенциирование

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между Y и X весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации: R2 = r2 =0,9112=0,831

"Можно сказать, что вариация признака Y на 83,1 % объясняется вариацией признака X"

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Fтабл = 5,32 (для a = 0,05; k1 = m = 1; k2 = n - m - 1 = 10 - 1 - 1 = 8)

Т.к. F > Fтабл, то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (y*) отличаются от фактических значений (y) на 4,25%

Показательная модель:

Y*=a*xb Произведем логарифмирование данного уравнения: lg(y*) = lg(a) + b * lg(x)

Обозначим: Y = lg(y); X = lg(x); A = lg(a)

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения: Y = A + b * X

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (см. таблицу 5)

Таблица 5

t y Y=lg(y) x

x2 Y*x y* E=y-y*

E2 [E/y]*100 1

121 2,083

72 5184 149,96

116,5 4,5 20,06

3,70 2 84 1,924

52 2704

100,06 89,4 -5,4

29,54 6,47 3 119

2,076 73 5329 151,51

118,1

0,9 0,86 0,78 4

117 2,068 74 5476

153,05 119,6 -2,6

6,99

2,26 5 129 2,111

76 5776 160,40

122,9 6,1 37,80

4,77

6 128 2,107 79

6241 166,47 127,8

0,2 0,03 0,14 7

102 2,009

54 2916 108,46

91,8 10,2 103,37

9,97 8 111 2,045

68 4624

139,08 110,5 0,5

0,23 0,44 9 112

2,049 73 5329 149,59

118,1

-6,1 36,87 5,42

10 98 1,991 64

4096 127,44 104,8

-6,8

46,52 6,96 сумма

1121 20,463 685

47675 1406,04 1119,6

282,28

40,90 ср.зн.

112,10 2,05 68,50

4767,50 140,60

1. Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Вернемся к исходному уравнению через потенциирование

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между Y и X весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации: R2 = r2 =0,9172=0,841

"Можно сказать, что вариация признака Y на 84,1 % объясняется вариацией признака X"

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Fтабл = 5,32 (для a = 0,05; k1 = m = 1; k2 = n - m - 1 = 10 - 1 - 1 = 8)

Т.к. F > Fтабл, то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (y*) отличаются от фактических значений (y) на 4,09%

4. Гиперболическая модель: y* = a + b / х

Обозначим: Х = 1/х

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения: y = a + b * X

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (см. таблицу 6)

Таблица 6

t y x X=1/x

X2 y*X y* E=y-y*

E2 [E/y]*100 1

121 72

0,014 0,00019 1,681

117,6 3,4 11,90

2,85 2 84 52 0,019

0,00037

1,615 87,9 -3,9

14,91 4,60 3 119

73 0,014 0,00019

1,630

118,6 0,4 0,15

0,33 4 117 74

0,014 0,00018 1,581

119,6

-2,6 6,95 2,25

5 129 76 0,013

0,00017 1,697 121,6

7,4 54,56

5,73 6 128 79

0,013 0,00016 1,620

124,4 3,6 13,03

2,82

7 102 54 0,019

0,00034 1,889 91,8

10,2 103,63 9,98

8 111

68 0,015 0,00022

1,632 113,0 -2,0

4,04 1,81 9 112

73 0,014

0,00019 1,534 118,6

-6,6 43,67 5,90

10 98 64 0,016

0,00024

1,531 107,9 -9,9

98,04 10,10 сумма

1121 685 0,149

0,0023

16,412 1121 3E-13

350,89 46,37 ср.зн.

112,1 5,3 0,015

0,0002

1,641

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Вернемся к исходному уравнению

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между Y и X весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации: R2 = r2 =0,8962=0,803

"Можно сказать, что вариация признака Y на 84,1 % объясняется вариацией признака X"

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Fтабл = 5,32 (для a = 0,05; k1 = m = 1; k2 = n - m - 1 = 10 - 1 - 1 = 8)

Т.к. F > Fтабл, то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (y*) отличаются от фактических значений (y) на 4,64%

9. Сравнение моделей

Таблица 7

Индекс Коэф-т

F-крит Ср отн

коррел

детерм Фишера

ошибка r

R^2 F Еотн

Линейная

0,913 0,833 39,88

4,20 Степенная

0,911 0,831 39,28

4,25

Показательная

0,917 0,841 42,47

4,09 Гиперболическая

0,896

0,803 32,60 4,64

Все модели сравнительно одинаково описывают процесс, но лучшие показатель имеет показательная модель

Рис.2: Графики линейной и степенной функций

Рис.3: Графики показательной и гиперболической функций

3

Показать полностью…
Похожие документы в приложении