Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Расчёт прогнозного значения результативного признака» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Ярославский филиал

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине "Эконометрика"

Вариант 2

Выполнила: студентка III курса

специальности БУА и А

учетно-статистического факультета

вечерней формы обучения

номер личного дела

Проверил: доцент кафедры ЭММ и М

Асеев Дмитрий Иванович

Ярославль 2004

Задача 1

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).

Требуется:

1. Для характеристики Y от X построить следующие модели:

* линейную,

* степенную,

* показательную,

* гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

* индекс корреляции,

* среднюю относительную ошибку,

* коэффициент детерминации,

* F- критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрав лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% относительно среднего уровня.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Исходные данные к задаче 1 (вариант 2)

t Y X 1 26 40

2 28 39 3 36

43 4 34 46 5

38 50

6 44 53 7 42

57 Решение:

1. Для характеристики Y от X построим линейную, степенную, показательную и гиперболическую модели.

2. Оценим каждую модель, определив:

* индекс корреляции,

* среднюю относительную ошибку,

* коэффициент детерминации,

* значение F- критерия Фишера.

Все расчеты проведем с помощью табличного процессора MS Excel.

а) Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные Таблицы 1.1. в Приложении:

? (yi -)*(xi - ) 249,4286

ry,x = = = 0,9161

? (yi -)2*?(xi -)2 269,7143*274,8571

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом продукции Y прямая, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = a+b*x

Значение параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

- * 1695,7143 - 35,4286*46,8571

b = = = 0,9075

- 2234,8571 - 46,8571*46,8571

a = - b* = 35,4286 - 0,9075*46,8571 = - 7,0936

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

y = -7,09 +0,91*x.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 910 тыс. руб., что свидетельствует о недостаточной эффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R2 = r2y,x = 0,92 2 = 0,8392

Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 84% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F- критерия Фишера:

F>Fтабл., Fтабл. = 6,61, где Fтабл.(? k1 k2) для ? = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n-m-1 = 5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Eотн = 1/n * ?|Ei/yi|*100% = 1/7*40,4387 = 5,777%

В среднем расчетные значения y для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,777%.

б) Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: y = a*xb.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg y= lg a + b*lg x.

Расчеты приведены в таблице 1.2. Приложения

Обозначим Y = lg y, X = lg x, A = lg a.

Тогда уравнение примет вид Y = A + b*X - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.2.

- 2,5751 - 1,6669*1,5423

b = = = 1,2542

- 2,782 - 1,6669*1,6669

a = - b* = 1,5423 - 1,2542*1,6669 = - 0,5483.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Y = - 0,5483 + 1,2542*X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

y = 10-0,5483 * x1,2542

Получим уравнение степенной регрессии:

y = 0,283 * x1,25

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации R2 равен 0,8323: R2 = 2y,x = 0,912 = 0,8323.

Вариация результата y (объем выпуска продукции) на 83% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл. , где Fтабл. = 6,61 для ? = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n-m-1 = 5.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Eотн = 1/n * ?|Ei/ yi |*100% = 1/7*39,0226 = 5,5747%

В среднем расчетные значения y для степенной модели отличаются от фактических значений на 5,5747%.

в) Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой: y= a*bx.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lg y= lg a + x*lg b.

Расчеты приведены в таблицы 1.3. Приложения

Обозначим: Y = lg y, B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B*x.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.

- 72,7178 - 1,5423*46,8571

b = = = 0,0114

- 2234,8571 - 46,8571*46,8571

a = - b* = 1,5423 - 0,0114*46,8571 = 1,0077.

Уравнение будет иметь вид: Y = 1,01 +0,0114*x.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

y = 101,01* (100,0114)x

y = 10,18*1,03x.

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации: R2 = 2y,x = 0,92 = 0,81.

Вариация результата y (объем выпуска продукции) на 81% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл.; где Fтабл.= 6,61 для ? = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n - m - 1 = 5.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Eотн = 1/n * ?|Ei/ yi |*100% = 1/7*41,6104 = 5,94%

В среднем расчетные значения y для показательной модели отличаются от фактических значений на 5,94%.

г) Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: y = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x.

В результате получим линейное уравнение y = a + b*X.

Расчеты приведены в таблицы 1.4. Приложения с помощью ППП MS Excel

- 0,753 - 35,4286*0,0217

b = = = -2025,71

- 0,0005 - 0,0217*0,0217

a = - b*= 35,43 + 2025,71*0,0217 = 79,43

Получим уравнение гиперболической модели в виде:

y = 79,43 - 2025,71/x.

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Рассчитаем коэффициент детерминации: R2 = 2y,x = 0,932 = 0,87.

Вариация результата y (объем выпуска продукции) на 87% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем значение F- критерия Фишера:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо, т.к. F>Fтабл.; где Fтабл.= 6,61 для ? = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n - m - 1 = 5.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Eотн = 1/n * ?|Ei/ yi |*100% = 1/7*40,1172 = 5,73 %.

В среднем расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 5,73%.

3. Сводная таблица результатов для выбора лучшей модели

Параметры

Модель Коэффициент детерминации, R2

F-критерия Фишера

Индекс корреляции, ryx (yx)

Средняя относительная ошибка, Eотн.

линейная

0,84 26,10 0,92

5,78 степенная

0,83

24,82 0,91 5,57

показательная

0,81 21,14 0,90

5,94

гиперболическая

0,87 32,76 0,93

5,73 Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но гиперболическая модель имеет большее значение коэффициента детерминации R2 и большее значение F - критерия Фишера. Поэтому в качестве лучшей модели для построения прогноза выбрана гиперболическая модель.

4. Расчет прогнозируемых значений результативного показателя

Точечное значение прогнозируемой переменной

Для того, чтобы определить точечное значение прогнозируемого объема выпуска продукции (yпрогн) при условии, если объём капиталовложений (значение фактора x) увеличится на 10% относительно среднего уровня (=46,86), необходимо подставить значение х = xпрогн в выбранную для прогнозирования гиперболическую модель:

y = 79,43 - 2025,71/x, т.е.

yпрогн = 79,43 - 2025,71/51,55 = 40,13;

где

x = xпрогн = + 0,1* = 1,1* = 1,1*46,86 = 51,55.

Интервальные значения прогнозируемой переменной

Доверительные интервалы зависят от стандартной ошибки Sy, удаления фактора xпрогн от своего среднего значения , количества наблюдений (n = 7) и уровня значимости прогноза ? = 0,10. В частности, для точечного прогноза yпрогн = 40,13 предельная ошибка при его вычислении составит:

= Sy *t?*

(x=51,55; n=7; = 0,1) =5,8;

где - Sy - величина отклонения от линии регрессии вычисляется, используя данные таблицы 1.4., по формуле,:

Sy = ; - t? - значение критерия Стьюдента для m = 7-2 = 5 степеней свободы и уровня значимости = 0,1; t?(?; m) равно 2,015. Расчет произведен с помощью средств Excel.

Прогнозируемые значения c вероятностью (1- ?) попадут в интервал: (yпрогн ).

Таким образом, интервальные значения прогнозируемой переменной будут находиться между

- верхней границей интервального прогноза, равной 40,13 + 5,8 = 45,93

- нижней границей интервального прогноза, равной 40,13 - 5,8 = 34,33.

Таблица прогнозов

Прогнозное значение фактора x = xпрогн

Точечный прогноз

Нижняя граница

Верхняя граница

51,55 40,13 34,33

45,93 6. Исходные данные, расчетные значения и результаты прогнозирования по лучшей модели вида y = 79,43 - 2025,71/x. представлены на рисунке.

Задача 2

По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X1), ставки по депозитам (X2) и размера внутрибанковских расходов (X3).

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры модели.

3. Для характеристики модели определить:

* линейный коэффициент множественной корреляции,

* коэффициент детерминации,

* средние коэффициенты эластичности,

* бетта-, дельта- коэффициенты.

Дать их интерпретацию.

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.

5. Оценить с помощью t - критерия Стьюдента статистическую зависимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.

7. Отобразить результаты расчетов на графике.

Исходные данные к задаче 2

Y X1 X2 X3 40

32 60 50 44 40

68 54

28 44 80 60 52

28 76 62 50 50

44 70 64 56 96

54 70

50 100 84 68 56

104 82 78 60 106

86 90 62 98 84

1. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции

Исходные статистические данные по всем переменным приведены в таблице 2.1. В примере количество наблюдений n = 10, количество факторов m = 3.

Таблица 2.1.

Исходные данные

Используем инструмент Корреляции (Анализ данных в Excel). Результаты расчетов представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2.

Матрица значений коэффициентов парной корреляции

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная Y, т.е. объем прибыли имеет тесную связь с размером внутрибанковских расходов X3 (yx3 = 0,7775), со среднегодовыми ставками по кредитам X1 (yx1 = 0,7413) и со ставками по депозитам X2 (yx2 = 0,6974). Предпочтение отдается фактору X3 размер внутрибанковских расходов, т.к. значение yx3 = 0,7775 больше, чем yx1 = 0,7413 и yx2 = 0,6974. Но факторы X1 и X3 тесно связаны между собой (x1x3 = 0,6877; выбираем максимальное по модулю значение коэффициента парной корреляции между факторами). Это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности и один из этих факторов X1 или X3 необходимо исключить из рассмотрения. Из двух анализируемых факторов X1 и X3 предпочтение отдается тому фактору, который имеет максимальное по модулю значение коэффициента парной корреляции с зависимой переменной Y.Также между факторами X2 и X3 менее тесная связь (x2x3 = 0,6075), чем между факторами X2 и X1 (x1x2 = 0,6163). Поэтому окончательно в модели оставляем факторы X2 и X3. В исходном задании n = 10 (количество наблюдений), m = 3 (количество факторов), после исключения незначимого фактора X1 n = 10, m = 2.

2. Расчет параметров модели

Оценка коэффициентов a0, a1, a2 уравнения линейной множественной регрессии вида y = a0 + a1*x1 + a2*x2 осуществляется на основании данных, приведенных в таблице 2.3., по методу наименьших квадратов, используя формулу: A = (XT* X)-1* XT* Y,

где A = , XT - транспонированная матрица Х.

Таблица 2.3.

Применим инструмент Регрессия (Анализ данных в Excel) (таблицы 2.4., 2.5., 2.6., 2.7.).

Таблица 2.4.

Таблица 2.5.

Таблица 2.6.

Таблица 2.7.

В таблице 2.6. содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, a2. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости объема прибыли Y от ставок по депозитам X1 и от размера внутрибанковских расходов X2 можно записать в следующем виде:

y = -19,0939 + 0,3207*x1 + 0,7405*x2 (1).

В таблице 2.7. приведены вычисленные по модели (1) расчетные значения yi и значения остаточной компоненты , представляющие собой разности между фактическими уi и расчетными yi значениями, т.е. =yi - yi.

Анализ остатков позволяет получить представление о правильности выбора вида модели и метода оценки коэффициентов. Наглядное представление об остатках можно получить с помощью графика остатков.

График остатков хорошо показывает резко отклоняющиеся от модели наблюдения - выбросы. По данным графика остатков выбросами можно считать значения в третьем ( = -23,005), в шестом ( = 13,307) и десятом (= 15,4492) наблюдениях. Устранение выбросов может производиться путем удаления этих точек из массива анализируемых данных. В данном случае удаление трех наблюдений из сравнительно короткого ряда наблюдений (n = 10) нецелесообразно, оно приведет к снижению надежности оценок коэффициентов уравнения регрессии и всего уравнения в целом. Метод механического сглаживания позволяет скорректировать аномальные значения, не сокращая количество наблюдений. В этой связи аномальное наблюдение у3 = 28 заменяем на среднее значение между двумя соседними значениями у2 = 44 и у4 = 52, т.е. у3, = (44+52)/2 = 48. Аналогично для у6 = 64, у6, = (50+70)/2 = 60 и для у10 = 90, у10, = (68+78)/2 = 73. При скорректированных значениях у3, = 28, у6, = 60 и у10, = 73 расчеты выполняются вновь по всем рассмотренным выше пунктам задания.

Исходные данные к задаче 2 после устранения выбросов.

Y X1

X2 X3 40 32 60

50 44 40 68 54

48 44 80 60 52

28 76

62 50 50 44 70

60 56 96 54 70

50 100 84 68 56

104 82

78 60 106 86 73

62 98 84

1. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции

Исходные статистические данные по всем переменным приведены в таблице 3.1. В примере количество наблюдений n = 10, количество факторов m = 3.

Таблица 3.1.

Исходные данные

Используем инструмент Корреляции (Анализ данных в Excel). Результаты расчетов представлены в таблице 3.2.

Таблица 3.2.

Матрица значений коэффициентов парной корреляции

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная Y, т.е. объем прибыли имеет тесную связь с размером внутрибанковских расходов X3 (yx3 = 0,8873), со ставками по депозитам X2 (yx2 = 0,8465) и со среднегодовыми ставками по кредитам X1 (yx1 = 0,8025). Предпочтение отдается фактору X3 размер внутрибанковских расходов, т.к. значение yx3 = 0,8873 больше, чем yx2 = 0,8465 и yx1 = 0,8025. Но факторы X1 и X3 тесно связаны между собой (x1x3 = 0,6877; выбираем максимальное по модулю значение коэффициента парной корреляции между факторами). Это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности и один из этих факторов X1 или X3 необходимо исключить из рассмотрения. Из двух анализируемых факторов X1 и X3 предпочтение отдается тому фактору, который имеет максимальное по модулю значение коэффициента парной корреляции с зависимой переменной Y, т.е. X3. Также между факторами X2 и X3 менее тесная связь (x2x3 = 0,6075), чем между факторами X2 и X1 (x1x2 = 0,6163). Поэтому окончательно в модели оставляем факторы X2 и X3. В исходном задании n = 10 (количество наблюдений), m = 3 (количество факторов), после исключения незначимого фактора X1 n = 10, m = 2.

2. Расчет параметров модели

Оценка коэффициентов a0, a1, a2 уравнения линейной множественной регрессии вида y = a0 + a1*x1 + a2*x2 осуществляется на основании данных, приведенных в таблице 3.3., по методу наименьших квадратов, используя формулу: A = (XT* X)-1* XT* Y,

где A = , XT - транспонированная матрица Х.

Таблица 3.3.

Применим инструмент Регрессия (Анализ данных в Excel) (таблицы 3.4., 3.5., 3.6., 3.7.).

Таблица 3.4.

Таблица 3.5.

Таблица 3.6.

Таблица 3.7.

В таблице 3.6. содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, a2. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости объема прибыли Y от ставок по депозитам X1 и от размера внутрибанковских расходов X2 можно записать в следующем виде:

y = -4,9721 + 0,308*x1 + 0,5488*x2 (2).

3. Оценка характеристик модели

- линейный коэффициент множественной корреляции R. Рассчитанное значение этого коэффициента возьмем из таблицы 3.4. (множественный R):

R = 0,9681; - коэффициент детерминации R2. Расчетное значение этого коэффициента приводится в таблице 3.4. (R-квадрат) R2 = 0,9372. Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов х1 и х2. Следовательно, около 93,72% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

- средние коэффициенты эластичности Э1 и Э2. Учитывая, что коэффициенты регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, рассчитаем средние коэффициенты эластичности Э1 и Э2 для факторов х1 и х2 соответственно по формулам:

; j = 1, 2

где, - коэффициент регрессии для фактора хj, - среднее значение для фактора хj (таблица 3.1.), - среднее значение для результирующей переменной y:

Э1 = 0,308*83,2/58,3 = 0,44

Э2 = 0,5488*68,6/58,3 =0,65.

Коэффициент эластичности показывает, насколько процентов изменяется зависимая переменная у от своего среднего значения при изменении фактора хj на один процент от своего среднего значения .

При изменении ставок по депозитам на 1% объем прибыли в среднем изменится на 44%, а при изменении размера внутрибанковских расходов на 1% объем прибыли в среднем изменится на 65%

- бетта-коэффициенты (). Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем бета - коэффициенты, значения которых рассчитываются по формулам:

; j = 1, 2

где - коэффициент регрессии для фактора хj;

- среднеквадратическое отклонение фактора хj, рассчитывается по формуле: ;

- среднеквадратическое отклонение зависимой переменной у, рассчитывается по формуле: .

Расчет среднеквадратических отклонений для факторов хj и зависимой переменной у представлен в таблице 3.8.

Таблица 3.8.

Значения бета - коэффициентов составят:

= 0,308*21,04/13,3 = 0,487

= 0,5488*14,33/13,3 = 0,591.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратической отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении ставок по депозитам на 21,04 тыс. руб. объем прибыли увеличится на 6,48 тыс. руб. (у = 0,487*13,3), а при увеличении размера внутрибанковских расходов на 14,33 тыс. руб. объем прибыли увеличиться на 7,86 тыс. руб. (у = 0,591*13,3).

- дельта-коэффициенты () оценивают долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов и рассчитываются по формулам:

; j = 1, 2

где - коэффициент парной корреляции между фактором хj и зависимой переменной у (таблица 3.2.), - бетта-коэффициент фактора хj; R2 - коэффициент детерминации (таблица 3.4.).

= 0,8465*0,487/0,9372 =0,440

= 0,8873*0,591/0,9372 =0,559.

4. Оценка надежности и качества уравнения регрессии

Качество модели оценивается по адекватности и точности на основе анализа остатков регрессии . Расчетные значения yi получаются путем подстановки в модель фактических значений всех включенных в модель факторов. В таблице 3.7. приведены вычисленные по модели (2) расчетные значения yi и значения остаточной компоненты , представляющие собой разности между фактическими уi и расчетными yi значениями, т.е. =yi - yi.

Анализ остатков позволяет получить представление о правильности выбора вида модели и метода оценки коэффициентов. Наглядное представление об остатках можно получить с помощью графика остатков.

График остатков хорошо показывает, что резко отклоняющихся от модели наблюдений - выбросов нет. Можно провести оценку надежности и качества уравнения регрессии.

Проверка значимости полученного уравнения множественной линейной регрессии в целом осуществлялась с помощью F-критерия Фишера.

Расчетное значение F-критерия Фишера определялось по формуле:

= = 52,244.

Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,05 при 1 = k = 2 и 2 = n - k - 1 = 10 - 2 - 1 = 7 составляет 4,74.

Поскольку Fрасч. > Fтабл., уравнение регрессии следует признать адекватным.

5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость уравнения множественной регрессии

Значимость коэффициентов уравнения регрессии a0, a1, a2 оценим с использованием t-критерия Стьюдента:

ta0 = -0,7809; ta1 = 4,0873; ta2 = 4,9595.

Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а0, a1, a2 приведены в четвертом столбце таблицы 3.6. (использована программа Excel). Табличное значение t-критерия Стьюдента t(0,05; 7) равно tтабл = 2,36. Так как |tрасч.| > tтабл., для a1, a2, то коэффициенты a1, a2 значимы, а для a0 |tрасч.| < tтабл. , то коэффициент a0 не значим.

6. Построение точечного и интервального прогнозов результирующего показателя на два шага вперед

Прогнозируемые точечные значения результирующего показателя упрогн по модели (2) можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов. В соответствии с методом экстраполяции необходимо определить прогнозируемые значения по факторам X2 и X3 на первом и на втором шагах. То есть необходимо определить значения факторов X2 и X3 в одиннадцатом X2,11, X3,11 и двенадцатом X2,12 и X3,12 наблюдениях по наилучшим подобранным моделям. Наилучшей считается та модель, для которой значение индекса (коэффициента) детерминации R2 максимально. В качестве анализируемых рассмотрим линейную, квадратичную и степенную зависимости значений факторов X2 и X3 от номера наблюдения (времени t). Исходные данные представлены в таблице 3.1.

Для фактора X2 Ставки по депозитам выбрана модель вида:

X2 = 0,0909*t2 + 4,1636*t + 56,8;

имеющая наибольшее значение индекса детерминации R2 = 0,553. По данной модели при t = 11 и t = 12 получен прогноз на 2 шага вперед. График модели временного ряда Ставки по депозитам приведен на рис. 6.1. Прогнозируемые значения по фактору X2 составили:

X2,11 = 0,0909*112 + 4,1636*11+ 56,8 = 112,7804

X2,12 = 0,0909*122 + 4,1636*12 + 56,8 = 117,853.

Для фактора X3 Размер внутрибанковских расходов выбрана модель вида:

X3 = 0,0303*t2 + 3,8485*t + 46,267;

которая имеет наибольшее значение индекса детерминации R2 = 0,7808. По данной модели при t = 11 и t = 12 получен прогноз на 2 шага вперед. График модели временного ряда Размер внутрибанковских расходов приведен на рис. 6.2. Прогнозируемые значения по фактору X3 составили:

X3,11 = 0,0303*112 + 3,8485*11 + 46,267 = 91,9941

X3,12 = 0,0303*122 + 3,8485*12 + 46,267 = 96,1456.

Рис. 6.1 Ставки по депозитам

Рис. 6.2. Размер внутрибанковских расходов

Для получения точечных оценок прогноза зависимой переменной упрогн в одиннадцатом упрогн., 11 и двенадцатом упрогн., 12 наблюдениях по модели:

у = -4,9721 + 0,308x2 + 0,5488x3

подставим в нее найденные прогнозные значения факторов X2, X3 соответственно в одиннадцатом X2,11, X3,11 и двенадцатом X2,12, X3,12 наблюдениях:

упрогн., 11 = -4,9721 + 0,308* 112,7804 + 0,5488 * 91,9941 = 80,2506,

упрогн., 12 = -4,9721 + 0,308* 117,853 + 0,5488 * 96,1456 = 84,0913.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

= = , где

- среднеквадратическое отклонение зависимой переменной у;

= 3,779 (таблица 3.4. стандартная ошибка);

tкр - критическое или табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости = 0,05, т.е. при доверительной вероятности 95%, и числе степеней свободы = n - m - 1 = 10 - 2 - 1 = 7; tкр (0,05; 7) = 2,36;

X - матрица значений факторов X0, X2, X3, включенных в модель (таблица 3.3.); размерность матрицы X - (103);

XT - транспонированная матрица X; размерность матрицы XT - (310);

(XT*X)-1 - матрица обратная к матрице XT*X; размерность матриц XT*X и (XT*X)-1 - (33);

Xпр - матрица-столбец прогнозируемых значений факторов; размерность матрицы Xпр - (31);

XпрT - транспонированная матрица прогнозируемых значений факторов Xпр; размерность матрицы XпрT - (13).

Расчеты интервального прогноза представлены в приложениях (в таблицах Excel).

Предельная ошибка прогноза на первом шаге, т.е. в одиннадцатом наблюдении составит:

11 = = 3,779*2,36*0,6529 = 5,8228.

Предельная ошибка прогноза на втором шаге, т.е. в двенадцатом наблюдении составит:

12 = = 3,779*2,36* 0,7422 = 6,6196.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

- верхняя граница прогноза: упрогн. +

- нижняя граница прогноза: упрогн. -

Результаты расчетов прогнозных оценок модели регрессии представлены в таблице 6.1.

Результаты прогнозирования Таблица 6.1.

Шаг

Точечный прогноз, упрогн.

Предельная ошибка,

Нижняя граница,

упрогн. -

Верхняя граница,

упрогн. +

1 80,2506 5,8228

74,4278

86,0734 2 84,0913

6,6196 77,4717 90,7109

Таблица 1.1.

1. Построение линейной модели парной регрессии

Таблица 1.2.

2. Построение степенной модели парной регрессии

Таблица 1.3.

3. Построение показательной модели парной регрессии

Таблица 1.4.

4. Построение гиперболической модели парной регрессии

7

Показать полностью…
Похожие документы в приложении