Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Решение графическим методом типовой задачи оптимизации» по Экономике (Филонова Е. С.)

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

Контрольная работа

Вариант № 2

Выполнила:

Факультет Группа №

л/д №

Проверила: Бесхлебнова Галина Александровна

Москва 2007 год

Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

1.2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Корма

Питат. вещества

Количество питательных веществ в 1 кг корма

1 2 А В 2

2 1

4 Цена 1 кг корма, т.руб.

0,2 0,3 Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

РЕШЕНИЕ:

Введем следующие обозначения:

количество кормов первого вида;

количество кормов второго вида. Цена 1 кг корма первого вида составляет (тыс. руб.), а цена 1 кг корма второго вида - (тыс. руб.), т.е. необходимо минимизировать целевую функцию:

Ограничения задачи имеют вид:

,

Первое ограничение по питательному веществу А . Прямая проходит через точки (0;6) и (3;0) (рис. 1.1).

Второе ограничение по питательному веществу В . Прямая проходит через точки (0;3) и (6;0) (рис. 1.1).

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

Рис. 1. 1.

Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая выше пересекающихся прямых и . В данном случае целевая функция не ограничена сверху - это особый случай решения ЗЛП, максимальной точки нет.

При минимизации функции линия уровня перемещается в направлении противоположному вектору - градиенту.

Решая систему уравнений

,

Находим, что , .

Ответ:

Затраты на корма будут минимальными , если ежедневно будет расходоваться по 2 килограмма кормов каждого вида

(,).

При решении задачи на максимум - решений не будет, т.к. целевая функция не ограничена сверху (особый случай ЗЛП).

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

2.2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы сырья

А Б

В

Г I II III

1 0 4 0

1 2 2 3 0

1 2

4 180 210 800

Цена изделия

9 6 4 7

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

РЕШЕНИЕ:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

норма расхода сырья на одно изделие А

норма расхода сырья на одно изделие Б

норма расхода сырья на одно изделие В

норма расхода сырья на одно изделие С

Целевая функция имеет вид

, где

Ограничения:

Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1), и (рис. 2.2).

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (2115 ед.) предприятие может получить при выпуске 95 единиц изделия А и 210 единиц изделия В. При этом тип сырья 2 и 3 будут использованы полностью, а из 180 единиц сырья 1 будет использовано только 95 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3.

Рис. 2.3

Содержание отчета по результатам

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных , которые соответственно равны 95; 210; 0; 0; значение целевой функции - 2115, а также левые части ограничений.

Оптимальный план

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения: тип сырья 1, 2 и 3. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:

двойственная оценка типа сырья 1

двойственная оценка типа сырья 2

двойственная оценка типа сырья 3

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

Необходимо найти такие "цены" на типы сырья,чтобы общая стоимость используемых типов сырья была минимальной.

Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 4 переменных, следовательно, в двойственной задаче 4 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

тогда

Подставим оптимальные значения вектора в полученные выражения

И получим

так так 95 < 180, то ,

,

. Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

если В задаче и , поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

Решая систему уравнений:

,получим , ,

Проверяем выполнение первой теоремы двойственности

Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен, верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений - Отчет по устойчивости (рис.2.4).

Рис.2.4

Содержание по отчету устойчивости

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора :

; ;

; ; ; ;

; ;. Затраты на 3 и 4 изделия превышают цену (;). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения и (нормир. стоимость) равны -0,5 и -5 соответственно. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.

3) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

Запасы сырья по второму и третьему виду были использованы полностью, а по первому виду сырья было недоиспользовано 85 единиц.

Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению . Оно определяется:

Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья II и III вида и уменьшим I вида, то выручка возрастет на 540 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 2655 единиц.

При этом структура плана не изменилась - изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.

Решим систему уравнений:

,

откуда .

Новый оптимальный план ,

при этом , т.е. теряется при уменьшении I вида сырья 180 ед., приобретается при увеличении II вида сырья - 720 ед.

Оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Для оценки целесообразности включения в план изделия "Д" воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.

, подставим , ,

Т.к. , то включение в план изделия "Д" выгодно.

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

Таблица 1

Вариант Для первой строки

Для второй строки

Для третьей строки

№ 1А

2А 3А 4А 1Б

2Б 3Б 4Б 1В

2В 3В 4В 2

0,0 0,1

0,2 180 0,1 0,2

0,1 200 0,2 0,1

0,2 200

Таблица 2

Предприятия (виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аi j

Конечный продукт Y

1

2 3 1

2 3 1А 1Б

1В 2А 2Б

3А 3Б 3В

4А 4Б 4В

РЕШЕНИЕ:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

1.1. Заполним таблицу 2 данными:

Предприятия

(виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аi j

Конечный продукт Y

1 2 3

1 2 3 0,0

0,1 0,2 0,1 0,2

0,1

0,2 0,1 0,2 180

200 200 1.2. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (рис. 3.1)

Рис. 3.1

Исходные данные

1.3. Найдем разность между единичной матрицей Е и матрицей А.

Для этого воспользуемся правилом вычитания матриц одинаковой размерности. (рис. 3.2)

Рис. 3.2

1.4. Найдем обратную матрицу . Воспользуемся встроенными функциями MS Excel (математические, обратная матрица) (рис. 3.3).

Рис. 3.3

1.5. Чтобы определить Валовую продукцию (матрицу), надо матрицу = умножить на Конечный продукт (матрицу ). Воспользуемся опять встроенными функциями MS Excel (математические, умножение матриц) (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Определение валовой продукции (матрица)

1.6. Матрица (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

2.1. Для распределения продукции предприятий холдинга необходимо найти (рис. 3.4)

Рис. 3.4

Распределение продукции предприятий холдинга

2.2. Построим межотраслевой баланс производства (рис. 3.5)

Рис. 3.5

Межотраслевой баланс производства

Условно чистая продукция - это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.

Ответ:

1) Матрица (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2)

Межотраслевой баланс

Производящие предприятия

Потребляющие предприятия

Конечный продукт Y

Валовой продукт Х

1 2 3 1

0 33,11 72,56 180

285,67

2 28,57 66,21 36,28

200 331,06 3 57,13

33,11 72,56 200

362,80

Условно чистая продукция

199,97 198,63 181,40

580 Валовой продукт

285,67

331,06 362,80

979,53

Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Номер варианта

Номер наблюдения ( t = 1,2,.,9)

1 2 3 4 5 6

7 8 9 2 43 47

50 48

54 57 61 59 65

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По двум построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ:

1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число () (таблица 4.1).

; ,

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

Таблица 4.1

t Y

1 43 -4 16

-10,78 116,16 -

- 2

47 -3 9 -6,78

45,94 4 0,08

3 50 -2 4 -3,78

14,27

3 0,06 4 48

-1 1 -5,78 33,38

2 0,04 5 54

0 0

0,22 0,05 6 0,11

6 57 1 1 3,22

10,38 3 0,06

7 61

2 4 7,22 52,16

4 0,08 8 59

3 9 5,22 27,27

2 0,04

9 65 4 16 11,22

125,94 6 0,11 Сумма

45 484 0 60 0,00

425,56

Среднее

5 53,78

Все полученные значения сравнили с табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.3 и 4.4.

Таблица 4.3

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

а0 40,86 1,38

29,68

t а1 2,58 0,24

10,56 Во втором столбце табл. 4.2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t - статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис. 4.5).

Таблица 4.4

Вывод остатков

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1 43,44

-0,44 2

46,03 0,97

3

48,61 1,39

4 51,19

-3,19 5

53,78

0,22 6

56,36 0,64

7 58,94

2,06

8 61,53

-2,53 9

64,11 0,89

Рис. 4.5

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.1

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона по формуле:

, используются данные табл. 4.4.

Таблица 4.6

Наблюдение

1 -0,44

0,20

- - - 2 0,97

0,95 1,41 -0,44

0,19 3 1,39 1,93

0,42

0,97 0,94 4 -3,19

10,20 -4,58 1,39

1,93 5 0,22 0,05

3,41

-3,19 10,18 6 0,64

0,41 0,42 0,22

0,05 7 2,06 4,23

1,42

0,64 0,41 8 -2,53

6,39 -4,59 2,06

4,24 9 0,89 0,79

3,42

-2,53 6,40 Сумма

0 25,14 24,35

,

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d1 (рис. 4.7). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.

Анализ независимости с помощью критерия Дарбина - Уотсона Рис. 4.7

1)

2) 3) 4)

d1

d2 2 4

свойство не выполняется

применять другой

критерий

свойство выполняется

преобразовать dn=4-d

0 d1 d2 2

4 1,08 1,36

|r(1)|<0,36

3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) - 1, 96 - (16n-29)/90]

Количество поворотных точек равно 4 (рис.4.8).

Рис. 4.8

Неравенство выполняется (4 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS - критерия:

, где

- максимальный уровень ряда остатков,

- минимальный уровень ряда остатков,

- среднеквадратическое отклонение,

,

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

В таблице 4.9 собраны данные анализа ряда остатков.

Анализ ряда остатков Таблица 4.9

Проверяемое свойство

Используемые статистики

Граница

Вывод наименование

значение

нижняя верхняя

Независимость

d - критерий Дарбина-Уотсона

1,08 1,36 Нельзя сделать вывод по этому критерию, т.к.

Случайность

Критерий пиков (поворотных точек)

4 > 2 2 адекватна

Нормальность

RS - критерий

2,96

2,7 3,7 адекватна

Среднее = 0 ?

t - статистика

Стьюдента

0,000 -2,179 2,179

адекватна

Вывод: модель статистически неадекватна

4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где

Таблица 4.10

Расчет относительной ошибки аппроксимации

t Y Предсказанное Y

1

43 43,44 -0,44

0,01 2 47 46,03

0,97 0,02 3 50

48,61

1,39 0,03 4 48

51,19 -3,19 0,07

5 54 53,78 0,22

0,00

6 57 56,36 0,64

0,01 7 61 58,94

2,06 0,03 8 59

61,53

-2,53 0,04 9

65 64,11 0,89 0,01

Сумма 45 484

0 0,23

Среднее 5

53,78

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.2

5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.11)

t = 1,12

Рис. 4.11

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где

(находим из таблицы 4.1),

,

. Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб. 4.12).

Таблица 4.12

Таблица прогноза

n +k U (k)

Прогноз Формула

Верхняя граница

Нижняя граница

10 U(1) =3,23 66,66

Прогноз + U(1)

69,89

63,43 11 U(2) =3,62

69,24 Прогноз - U(2)

72,86 65,62

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив его данными прогноза.

Рис. 4.13

Литература

1. Гармаш А.Н., Гусарова О.М., Орлова И.В., Якушев А.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме "Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений" -М.: ВЗФЭИ, 2002.

2. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. Практикум. - М.: Финстатинформ, 2000.

3. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.

4. Половников В.А., Орлова И.В., Гармаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели: Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. - М.: ВЗФЭИ, 2002.

5. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.

1 Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.

2 Копр по ЭММ, http://62.117.66.200/repository/{1962E801-3231-4BB1-BE75-6D0AF7088CFB}/main3.htm

-

-

8 3

Показать полностью…
Похожие документы в приложении