Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

Задача 1 По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.) 36 28 43 52 51 54 25 37 51 29 85 60 99 117 118 125 56 86 115 68 Требуется: 1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии. 2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков. 3. Проверить выполнение предпосылок МНК. 4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента 5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели. 6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения. 7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза. 8. Составить уравнения нелинейной регрессии: * гиперболической; * степенной; * показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии. 9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. Решение: 1) Сначала, для удобства решения, отсортируем все x и y в порядке возрастания (табл.1) x 25 28 29 36 37 43 51 51 52 54 y 56 60 68 85 86 99 115 118 117 125 Табл.1. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии, воспользуемся инструментом анализа данных Регрессия. Для этого в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Регрессия. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис.2) Рис.2. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия. Результаты регрессионного анализа для данных представлены на рис.3. Рис.3.Результаты применения инструмента Регрессия Таким образом, получено уравнение регрессии y=-1+2.32x Экономическая интерпретация коэффициента регрессии заключается в том, что если объёмы капиталовложений возрастут на 1 млн., то объём выпуска продукции возрастёт на 2,32 млн.руб. 2) Вычислим остатки, найдём остаточную сумму квадратов (рис.4) и построим график остатков (рис.5) № п/п x y ypi ei ei2 1 25 56 56,807 -0,807 0,651 2 28 60 63,748 -3,748 14,045 3 29 68 66,061 1,939 3,758 4 36 85 82,257 2,743 7,524 5 37 86 84,571 1,429 2,043 6 43 99 98,453 0,547 0,299 7 51 115 116,962 -1,962 3,850 8 51 118 116,962 1,038 1,077 9 52 117 119,276 -2,276 5,180 10 54 125 123,903 1,097 1,203 Рис.4. Рис.5. По графику остатков можно сказать о гомоскедастичности остаточной компоненты, подтверждать эти данные будем аналитическим исследованием. 3) Проверим выполнение предпосылок МНК, то есть остаточная компонента должна удовлетворять четырём требованиям: 1) Математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю М(е)=0 2) Последовательные уровни должны быть некоррелируемы r(ei;еi+1)=0 3) Дисперсия остатков должна быть гомоскедастичной D(e)=0 4) Ряд значений остаточной компоненты должен соответствовать нормальному закону распределения. Математическое ожидание остаточной компоненты равно нулю, так как значит первое требование выполнено. Независимость последовательных уровней остаточной компоненты проверяется с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Для этого вычисляется dрасч. dрасч=, произведем необходимые расчёты (рис.6) № п/п x y ypi ei ei^2 еi-ei-1 (еi-ei-1)2 1 25 56 56,807 -0,807 0,651 2 28 60 63,748 -3,748 14,045 -2,941 8,650 3 29 68 66,061 1,939 3,758 5,686 32,334 4 36 85 82,257 2,743 7,524 0,804 0,647 5 37 86 84,571 1,429 2,043 -1,314 1,726 6 43 99 98,453 0,547 0,299 -0,882 0,778 7 51 115 116,962 -1,962 3,850 -2,509 6,297 8 51 118 116,962 1,038 1,077 3,000 9,000 9 52 117 119,276 -2,276 5,180 -3,314 10,980 10 54 125 123,903 1,097 1,203 3,373 11,375 Итого: 39,630 81,787 Рис.6. dрасч==2,064 dрасч>2переходим к d dрасч=4-dрасч=4-2,064=1,936 1,936последовательные уровни остаточной компоненты независимы, значит второе требование выполнено. Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора хj остатки ?i имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Чтобы проверить это мы исключим из рассмотрения с центральных наблюдений; при этом (п-с):2>p, где р - число оцениваемых параметров. Разделим совокупность из (п-с) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и с большими значениями фактора х) и определим по каждой из групп уравнение регрессии. Определим остаточную сумму квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и найдем их отношения: Fрасч=S1:S2. При выполнении гипотезы о гомоскедастичности отношение Fрасч будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы ((п-с-2р):2) для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин. В нашем случае п=10, с=2, р=2, выделим 2 центральных наблюдения из всей совокупности и рассчитаем уравнение регрессии для каждой из двух оставшихся групп с помощью инструмента Регрессия, а их остатки запишем в соответствующую графу. (рис.7) № п/п x y ypi ei ei^2 Еi 1 25 56 56,807 -0,807 0,651 0,969 2 28 60 63,748 -3,748 14,045 -3,177 3 29 68 66,061 1,939 3,758 2,108 4 36 85 82,257 2,743 7,524 0,100 5 37 86 84,571 1,429 2,043 6 43 99 98,453 0,547 0,299 7 51 115 116,962 -1,962 3,850 -0,917 8 51 118 116,962 1,038 1,077 2,083 9 52 117 119,276 -2,276 5,180 -1,750 10 54 125 123,903 1,097 1,203 0,583 Итого: 39,630 Рис.7 Возведём в квадрат остаточные компоненты каждой группы и подсчитаем сумму каждой из них (рис.8) № п/п x y ypi ei ei^2 Еi Ei^2 1 25 56 56,807 -0,807 0,651 0,969 0,939 2 28 60 63,748 -3,748 14,045 -3,177 10,093 3 29 68 66,061 1,939 3,758 2,108 4,442 4 36 85 82,257 2,743 7,524 0,100 0,010 5 37 86 84,571 1,429 2,043 15,485 6 43 99 98,453 0,547 0,299 7 51 115 116,962 -1,962 3,850 -0,917 0,840 8 51 118 116,962 1,038 1,077 2,083 4,340 9 52 117 119,276 -2,276 5,180 -1,750 3,062 10 54 125 123,903 1,097 1,203 0,583 0,340 Итого: 39,630 8,583 Рис.8 Затем большую сумму поделим на меньшую, таким образом найдём Fрасч Fрасч=15,485/8,583=1,804. Fтабл находим на уровне значимости 0,05 со степенями свободы ((п-с-2р):2). Таким образом Fкрит=F0.05;2;2=19,00 Fрасч<Fкрит> остатки гомоскедастичны, это значит что третье требование выполнено. Чтобы проверить соответствие ряда значений остаточной компоненты нормальному закону распределения, нужно подсчитать R/Sрасч. R/Sрасч=, где S?= S?== 2.23 R/Sрасч==2,91 Так как R/Sрасч (2,7;3,7), то остаточная компонента распределена по нормальному закону и значит четвёртое требование выполнено. Все предпосылки МНК выполнены. 4) Чтобы осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, нужно сравнить tрасч и tкрит. Значение tкрит зависит от принятого уровня значимости (в данном случае ?=0,05) и от числа степеней свободы (п-р-1), где п-число единиц совокупности, р-число факторов. В нашем случае tрасч a0=-0.37, а tкрит=t0.05;7=2,3646, так как tрасч<tкрит, то коэффициент a0 является статистически незначимым, tрасч а1=34,515>tкрит, поэтому коэффициент а1 является статистически значимым, надёжным, на него можно опираться в анализе и прогнозе. 5) Чтобы вычислить коэффициент детерминации воспользуемся формулой: . Для этого произведём необходимые расчёты (рис.9) № п/п x y 1 25 56 243,36 1361,61 2 28 60 158,76 1082,41 3 29 68 134,56 620,01 4 36 85 21,16 62,41 5 37 86 12,96 47,61 6 43 99 5,76 37,21 7 51 115 108,16 488,41 8 51 118 108,16 630,01 9 52 117 129,96 580,81 10 54 125 179,56 1030,41 Итого: 406 929 1102,4 5940,9 среднее 40,6 92,9 - - s 11,067 25,692 - - s2 122,48 660,08 - - Рис.9 ?x2= ?y2= Исходя из этого найдём коэффициент детерминации: 0,99 Это означает, что 99% вариации объёма выпуска продукции (у) объясняется вариацией фактора х - объёмом капиталовложений. Проверка значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического Fкрит значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: Fфакт=, где п- число единиц совокупности. Fкрит - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости ?. Fфакт ==792 Fкрит=F0,05;1;8=5,32 Fфакт>Fкрит Следовательно, гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надёжность. Значит уравнение значимо и может быть перенесено для прогнозирования на любой объект генеральной совокупности. Найдём величину средней ошибки аппроксимации : = Произведём необходимые расчёты (рис.10) № п/п x y ei Аi 1 25 56 -0,807 1,440 2 28 60 -3,748 6,246 3 29 68 1,939 2,851 4 36 85 2,743 3,227 5 37 86 1,429 1,662 6 43 99 0,547 0,553 7 51 115 -1,962 1,706 8 51 118 1,038 0,879 9 52 117 -2,276 1,945 10 54 125 1,097 0,877 Итого: 406 929 0 21,387 Рис.10 Следовательно, =21,387:102,1% Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 - 10%. <5%, поэтому модель точна и по ней можно прогнозировать с достаточно высокой вероятностью. 6) Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Точечный прогноз получается подстановкой в модель прогнозного значения фактора х. ynp=a0+a1xnp xпр=хmax*0.8 xпр=54*0,8=43,2 Для получения интервального прогноза найдём ширину доверительного интервала. Uпр=Se*tкр*, где Se=, tкр=tтабл=t0.1;n-2 Произведём необходимые расчёты (рис.11) № п/п x y 1 25 56 243,36 2 28 60 158,76 3 29 68 134,56 4 36 85 21,16 5 37 86 12,96 6 43 99 5,76 7 51 115 108,16 8 51 118 108,16 9 52 117 129,96 10 54 125 179,56 Итого: 406 929 1102,4 среднее 40,6 92,9 Рис.11 tкр= tтабл=t0.1;8 1,85 Se=2.23; (43,2-40,6)2=6,76 Uпр=2,23*1,85*4,3 Следовательно, интервальный прогноз будет выглядеть: 94,92 7) Представим графически: фактические и модельные значения у, точки прогноза (рис.12) Рис.12 8) Уравнение гиперболической модели у=а+b линеаризуется при замене: z=. Тогда у=a+bz. Для расчётов используем данные в табл.13 № п/п x y z yz 1 25 56 0,0400 2,24 2 28 60 0,0357 2,1429 3 29 68 0,0345 2,3448 4 36 85 0,0278 2,3611 5 37 86 0,0270 2,3243 6 43 99 0,0233 2,3023 7 51 115 0,0196 2,2549 8 51 118 0,0196 2,3137 9 52 117 0,0192 2,25 10 54 125 0,0185 2,3148 Итого: 406 929 0,2652 22,84889 среднее 40,6 92,9 0,026522 2,284889 s2 122,48 660,08 0,0000616 Табл.13 Значения параметров регрессии а и b составили: b=-2907.6 a=92.9-(-2907.6)*0.026522170 Получено уравнение: График построенной модели представлен на рис.14 Рис.14 Построению степенной модели y=axb предшествует процедура линеаризации переменных. В данном примере линеаризация производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lg y=lg a+b*lg x Y=С+b*X, где Y=lg y, X=lg x, С=lg a Для расчётов используем данные таблицы 15 № п/п x y Y X YX (Xi-Xcp)^2 1 25 56 1,7482 1,3979 2,4439 0,0380 2 28 60 1,7782 1,4472 2,5733 0,0212 3 29 68 1,8325 1,4624 2,6799 0,0170 4 36 85 1,9294 1,5563 3,0028 0,0013 5 37 86 1,9345 1,5682 3,0337 0,0006 6 43 99 1,9956 1,6335 3,2598 0,0016 7 51 115 2,0607 1,7076 3,5188 0,0131 8 51 118 2,0719 1,7076 3,5379 0,0131 9 52 117 2,0682 1,7160 3,5490 0,0152 10 54 125 2,0969 1,7324 3,6327 0,0195 Итого: 406 929 19,5161 15,9290 31,2316 0,1408 среднее 1,9516 1,5929 3,1232 s2 0,0156 Табл.15 Рассчитаем С и b: b== С= Получим линейное уравнение: Выполнив его потенцирование, получим: График построенной модели представлен на рис.16 Рис.16 Построению уравнения показательной кривой y=abx также предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения: lg y=lg a+x*lg b Y=A+Bx, где Y=lg y, B=lgb, А=lg a В таблицу данных запишем новый столбец Yi, введём в него функцию, возвращающую десятичный логарифм числа. Для этого выделим столбец Yi, на панели инструментов выбираем кнопку Вставка функции, в окне Категория выбираем математические , в окне Функция - log10. (рис.17) Рис.17 Заполняя аргументы функции в графе число выделить столбец уi. Далее воспользуемся инструментом анализа данных Регрессия. Для этого в главном меню надо последовательно выбрать Сервис/Анализ данных/Регрессия, щёлкнуть ОК. Заполнить диалоговое окно ввода данных и параметров вывода. Входной интервал У - выделить столбец Yi, входной интервал Х - выделить столбец хi , установить соответствующие флажки в диалоговом окне. (рис.18) рис.18 Результаты регрессионного анализа: А=1,5, В=0,01 получим линейное уравнение: Произведём потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме: График построенной модели представлен на рис.19 Рис.19 9) Найдём коэффициент детерминации для гиперболической модели , по формуле: R2=1-. Для расчётов используем данные табл.20 № п/п x y yпр ei ei^2 (yi-ycp)^2 1 25 56 53,7 2,3 5,29 1361,61 2,3 0,0411 2 28 60 66,2 -6,2 38,44 1082,41 6,2 0,1033 3 29 68 69,7 -1,7 2,89 620,01 1,7 0,025 4 36 85 89,2 -4,2 17,64 62,41 4,2 0,0494 5 37 86 91,4 -5,4 29,16 47,61 5,4 0,0628 6 43 99 102,4 -3,4 11,56 37,21 3,4 0,0343 7 51 115 113 2 4 488,41 2 0,0174 8 51 118 113 5 25 630,01 5 0,0424 9 52 117 114,1 2,9 8,41 580,81 2,9 0,0248 10 54 125 116,2 8,8 77,44 1030,41 8,8 0,0704 Итого: 406 929 219,83 5940,9 0,4709 среднее 40,6 92,9 Табл.20 Коэффициент детерминации будет равен: Это значит, что 96%изменений у происходит под влиянием х, если модель гиперболическая. Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации для этой модели, по формуле: модель адекватна и точна. Вычислим коэффициент детерминации для степенной модели , для расчётов используем данные таблицы 21. № п/п x y yпр ei ei^2 (yi-ycp)^2 1 25 56 58,88 -2,88 8,30 1361,61 2,88 0,0514 2 28 60 65,42 -5,42 29,36 1082,41 5,42 0,0903 3 29 68 67,59 0,41 0,17 620,01 0,41 0,006 4 36 85 82,62 2,38 5,65 62,41 2,38 0,028 5 37 86 84,75 1,25 1,56 47,61 1,25 0,0145 6 43 99 97,45 1,55 2,40 37,21 1,55 0,0157 7 51 115 114,19 0,81 0,66 488,41 0,81 0,007 8 51 118 114,19 3,81 14,52 630,01 3,81 0,0323 9 52 117 116,27 0,73 0,54 580,81 0,73 0,0062 10 54 125 120,42 4,58 21,01 1030,41 4,58 0,0366 Итого: 406 929 84,17 5940,9 0,2882 среднее 40,6 92,9 Табл.21 Коэффициент детерминации будет равен: R2=1-=1- Это значит, что 99% изменений у происходит под влиянием х. Найдём среднюю относительную ошибку аппроксимации для этой модели: модель адекватна и точна. Рассчитаем коэффициент детерминации для показательной модели , для этого используем данные таблицы 22. № п/п x y yпр ei ei^2 (yi-ycp)^2 1 25 56 51,84 4,16 17,28 1361,61 4,16 0,0743 2 28 60 55,02 4,98 24,84 1082,41 4,98 0,083 3 29 68 56,12 11,88 141,21 620,01 11,88 0,1747 4 36 85 64,46 20,54 421,87 62,41 20,54 0,2416 5 37 86 65,75 20,25 410,08 47,61 20,25 0,2355 6 43 99 74,04 24,96 622,76 37,21 24,96 0,2521 7 51 115 86,76 28,24 797,77 488,41 28,24 0,2456 8 51 118 86,76 31,24 976,23 630,01 31,24 0,2647 9 52 117 88,49 28,51 812,80 580,81 28,51 0,2437 10 54 125 92,07 32,93 1084,69 1030,41 32,93 0,2634 Итого: 406 929 5309,53 5940,9 2,0787 среднее 40,6 92,9 Табл.22 Таким образом, коэффициент детерминации будет равен: R2=1-=1- Это значит, что 11% изменений у происходит под влиянием х, если модель показательная. Вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации для данной модели: модель неадекватна и не точна. Сравнивая модели по коэффициенту детерминации, который показывает тесноту связи между факторами, и средней относительной ошибке аппроксимации, которая определяет точность модели, можно сказать что степенная модель лучше всех описывает взаимосвязь (ее коэффициент детерминации ближе всех к 1 и самая маленькая величина средней относительной ошибки аппроксимации), гиперболическая чуть хуже и очень плохо описывает изучаемую взаимосвязь показательная модель. Задача 2 По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + ?1 y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + ?2 n y1 y2 x1 x2 1 61,3 31,3 9 7 2 88,2 52,2 9 20 3 38 14,1 4 2 4 48,4 21,7 2 9 5 57 27,6 7 7 6 59,7 30,3 3 13 Решение: Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице: n y1 y2 x1 x2 1 61,3 31,3 9 7 2 88,2 52,2 9 20 3 38 14,1 4 2 4 48,4 21,7 2 9 5 57 27,6 7 7 6 59,7 30,3 3 13 Сумма: 352,6 177,2 34 58 ср.знач: 58,77 29,53 5,67 9,67 Пусть структурная форма модели (СФМ), исходя из матрицы парных коэффициентов корреляции есть: Преобразуем СФМ в приведённую форму: u1 и u2 - случайные ошибки Для каждого уравнения приведённой формы при расчёте коэффициентов d можно применить МНК. Для упрощения расчётов можно работать с отклонениями от средних уровней Y=y-ycp и X=x-xcp (ycp и xcp - средние значения). Преобразованные таким образом данные сведены в таблицу 23. N Y1 Y2 X1 X2 1 2,53 1,77 3,33 -2,67 2 29,43 22,67 3,33 10,33 3 -20,77 -15,43 -1,67 -7,67 4 -10,37 -7,83 -3,67 -0,67 5 -1,77 -1,93 1,33 -2,67 6 0,93 0,77 -2,67 3,33 Табл.23 Для нахождения коэффициентов d11 и d12 первого уравнения приведенной формы, решаем следующую систему уравнений: Необходимые расчёты приведены в таблице 24. n Y1 Y2 X1 X2 Y1X1 Y1X2 X1^2 X2^2 X1X2 1 2,53 1,77 3,33 -2,67 8,44 -6,76 11,11 7,11 -8,89 2 29,43 22,67 3,33 10,33 98,11 304,14 11,11 106,78 34,44 3 -20,77 -15,43 -1,67 -7,67 34,61 159,21 2,78 58,78 12,78 4 -10,37 -7,83 -3,67 -0,67 38,01 6,91 13,44 0,44 2,44 5 -1,77 -1,93 1,33 -2,67 -2,36 4,71 1,78 7,11 -3,56 6 0,93 0,77 -2,67 3,33 -2,49 3,11 7,11 11,11 -8,89 Сумма: 174,33 471,33 47,33 191,33 28,33 Табл.24 Подставляя рассчитанные в таблице 24 значения, получим: 174,33=47,33d11+28,33d12 471,33=28,33d11+191,33d12 Решение этих уравнений даёт значения d11=2.4 и d12=2.1. Первое уравнение приведённой формы модели примет вид: y1=2.4x1+2.1x2 Для нахождения коэффициентов d21 и d22 второго уравнения приведённой формы можно использовать следующую систему нормальных уравнений: Необходимые расчёты приведены в таблице 25. n Y1 Y2 X1 X2 X1^2 X2^2 X1X2 Y2X1 Y2X2 1 2,53 1,77 3,33 -2,67 11,11 7,11 -8,89 5,89 -4,71 2 29,43 22,67 3,33 10,33 11,11 106,78 34,44 75,56 234,22 3 -20,77 -15,43 -1,67 -7,67 2,78 58,78 12,78 25,72 118,32 4 -10,37 -7,83 -3,67 -0,67 13,44 0,44 2,44 28,72 5,22 5 -1,77 -1,93 1,33 -2,67 1,78 7,11 -3,56 -2,58 5,16 6 0,93 0,77 -2,67 3,33 7,11 11,11 -8,89 -2,04 2,56 Сумма: 47,33 191,33 28,33 131,27 360,77 Табл.25 Подставляя рассчитанные значения, получим: 131,27=47,33d21+28,33d22 360,77=28,33d21+191,33d22 Решение этих уравнений даёт значения d21=1.8 и d22=1.6. Второе уравнение приведённой формы модели примет вид: y2=1.8x1+1.6x2 Для перехода от приведённой формы к структурной форме, выразим x2 из второго уравнения приведённой формы и подставим это выражение в первое уравнение приведённой формы. Таким образом будет получено первое уравнение структурной модели. 1,6х2=у2-1,8х1 х2=0,625у2-1,125х1 у1=2,4х1+2,1(0,625у2-1,125х1) у1=1,31у2+0,04х1 - первое уравнение СФМ Из первого уравнения приведённой формы выразим х1 2,4х1=у1-2,1х2 х1=0,42у1-0,88х2 Во второе уравнение приведённой формы подставляем х1 у2=1,8(0,42у1-0,88х2)+1,6х2 у2=0,76у1+0,02х2 - второе уравнение СФМ Для нахождения свободных членов этих уравнений, то есть для перехода к исходным координатам, воспользуемся уравнениями: а01=у1ср-b12 y2 cp-a11 x1 cp= 58.77-1.31*29.53-0.04*5.67=19.86 a02=y2 cp-b21y1 cp-a22 x2 cp= 29.53-0.76*58.77-0.02*9.67=-15.33 Окончательный вид структурной модели: 1

Показать полностью…
Похожие документы в приложении