Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Поиск параметров уравнения линейной регрессии» по Эконометрике (Горбатков С. А.)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ

ФИНАНСОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Филиал в г.Уфа

Кафедра математики и информатики

Контрольная работа

по дисциплине: Эконометрика

7 вариант

Преподаватель:

Работа выполнена

студенткой курса

учётно-статистического факультета

специальности Бухгалтерский учет, анализ и аудит

Группа ()

Личное дело №

Уфа - 2008г.

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

* гиперболической;

* степенной;

* показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Вариант 7

36 28 43 52

51 54

25 37 51 29

85 60 99 117 118

125 56 86 115

68

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

1. Составим линейную модель: = a + b • x

Составим таблицу исходных и расчетных данных:

Таблица 1

t y x y • x

1 85 36

1296 3060 7225

62,4

21,2 82,3 2 60

28 784 1680 3600

1082,4 158,8 63,7

3 99

43 1849 4257 9801

37,2 5,8 98,5 4

117 52 2704 6084

13689

580,8 130 119,3

5 118 51 2601

6018 13924 630

108,2

117,0 6 125 54

2916 6750 15625

1030,4 179,6 123,9

7 56

25 625 1400 3136

1361,6 243,4 56,8

8 86 37 1369 3182

7396

47,6 13 84,6 9

115 51 2601 5865

13225 488,4 108,2

117,0

10 68 29 841 1972

4624 620 134,6

66,1 сумма

929 406

17586 40268 92245

5940,9 1102,4 929

ср.знач. 92,9

40,6

1758,6 4026,8 9224,5

594,1 110,2

1.1.Найдем параметры уравнения линейной регрессии:

b = 2,314

a = = 92,90 - 2,314 • 40,60 = -1,048.

Итак, получаем уравнение линейной модели:

Коэффициент регрессии b показывает, что с ростом объема капиталовложений (x) на 1 млн. руб. выпуск продукции (y) вырастает на 2,31 млн. руб.

2. Найдем остаточную сумму квадратов:

Дисперсия остатков:

Среднеквадратическая величина остатков:

График остатков:

Рис. 1. График остатков.

3. Проверка предпосылок МНК.

Составим таблицу на основе остатков уровней ряда: Таблица 2

t y p

100%

1 85 82,3 2,7

7,29 3,18

2 60 63,7 -3,7

13,69

1 -9,99 -6,4 40,96

6,17 3 99 98,5

0,5 0,25 1 -1,85

4,2 17,64

0,51 4 117 119,3

-2,3 5,29 1 -1,15

-2,8 7,84 1,97

5 118

117,0 1 1 0 -2,3

3,3 10,89 0,85

6 125 123,9 1,1

1,21

1 1,1 0,1 0,01

0,88 7 56 56,8

-0,8 0,64 1 -0,88

-1,9

3,61 1,43 8 86

84,6 1,4 1,96 1

-1,12 2,2 4,84

1,63

9 115 117,0 -2

4 1 -2,8 -3,4

11,56 1,74 10 68

66,1

1,9 3,61 -3,8

3,9 15,21 2,79

сумма 929 929

-0,2

38,94 7 -22,79

-0,8 112,56 21,1

а) случайность уровней ряда проверим по критерию поворотных точек p:

p > (2 • ); 2,

у нас, p= 7 > 2. Т.к. p > 2, то свойство случайности выполняется.

б) Независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда проверим по критерию Дарбина-Уотсона:

d = 2,89 нижнее критическое значение d(1)=1,08

нижнее критическое значение d(2)=1,36

Т.к. d >2, то используем =4 - d = 4 - 2,89 = 1,11;

Т.к. > d(1), но < d(2), то d-критерий не используется.

Независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда проверим по первому коэффициенту корреляции:

|r(1)| = |- 0,59| = 0,59

Т.к. по модулю r(1) >0,36, то свойство независимости не выполняется.

в) Соответствие нормальному закону распределения (НЗР) проверим по RS-критерию:

Т.к. R/S = 2,89 находится в интервале [RSmin; RSmax], (RSmin=2,7; RSmax=3,7 - таблицы), то гипотеза о НЗР уровней ряда подтверждается, что позволяет сделать прогноз.

г) Проверка гипотезы о M(

t = ;? = n-1) = = 2,26

гипотеза о M( принимается.

д) Обнаружение гетероскедостичности (тест Голдфельда- Квандта):

Таблица 3

x y E=y -

25 56 55,2 0,8

0,64 28 60 63,1

-3,1

9,61 29 68 65,7

2,3 5,29 36 85

84,1 0,9 0,81 37

86 86,8

-0,8 0,64

16,99 x y

E=y - 43

99 98,6

0,4 0,16 51 118

116,6 1,4 1,96

51 115 116,6 -1,6

2,56

52 117 118,8 -1,8

3,24 54 125 123,3

1,7 2,89 10,81

Т.к. , то с вероятностью 95 % гипотеза о гетероскедастичности отклоняется.

4. Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента:

4.1. Найдем стандартную ошибку параметров.

стандартная ошибка параметра ; стандартная ошибка параметра .

(для

Т.к. , то с вероятностью 95% параметр a данного уравнения регрессии не значим.

А т.к. , то с вероятностью 95% параметр b данного уравнения регрессии значим.

4.2. Рассчитаем коэффициент линейной корреляции:

Можно считать, что связь между y и x весьма тесная.

5. Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 99,4% объясняется вариацией признака х.

5.1. Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

5.2. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 2,11%.

5.3. Вычислим коэффициент эластичности для линейной модели:

Дадим оценку качества модели:

Случайность уровней ряда

свойство выполняется

независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда

свойство выполняется

соответствие нормальному закону распределения (НЗР)

соответствует

обнаружение гетероскедастичности (тест Голдфельда-Квандта)

гетероскедастичность есть

оценим значимость параметров уравнения регрессии

параметры уравнения значимы

коэффициент линейной корреляции:

высокий

коэффициент детерминации:

высокий

значимость уравнения регрессии

значимо

средняя ошибка аппроксимации:

модель точная

Вывод: модель качественная.

6. Прогнозирование среднего значения У.

6.1. Пусть прогнозное значение x составляет 80 % относительно максимального значения ():

6.2. Границы доверительного интервала прогноза:

6.3. Интервальный прогноз:

Нижняя граница прогноза

Верхняя граница прогноза

94,56 8. Составление уравнений нелинейной регрессии.

2. Степенная модель: = a •

Произведем логарифмирование данного уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (табл.4.)

Таблица 4

t y x Y•X

E=y- 1 85

36 1,929 1,556

2,421

3,002 82,3 3 9

3,53 2 60 28 1,778

1,447 2,094 2,573

63,7

-3,4 11,56 5,67

3 99 43 1,996

1,633 2,667 3,259

98,5

0,5 0,25 0,51 4

117 52 2,068 1,716

2,945 3,549 119,3

-2,6

6,76 2,22 5 118

51 2,072 1,708

2,917 3,539 117,0

0,7 0,49

0,59 6 125 54

2,097 1,732 3,000

3,632 123,9 0,6

0,36

0,48 7 56 25 1,748

1,398 1,954 2,444

56,8 -0,4 0,16

0,71

8 86 37 1,934

1,568 2,459 3,033

84,6 1,6 2,56 1,86

9 115

51 2,061 1,708

2,917 3,520 117,0

-2,3 5,29 2,00

10 68

29 1,833 1,462

2,137 2,680 66,1

2,3 5,29 3,38 сумма

929 406

19,516 15,928 25,511

31,230 929 0 41,72

20,95 ср.зн.

92,9

40,6 1,95 1,59

2,55 3,12

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Вернемся к исходному уравнению через потенцирование:

Итак, составим уравнение степенной модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 99,2% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 2,11%.

Вычислим коэффициент эластичности для степенной модели:

3. Показательная модель:

Произведем логарифмирование данного уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализ модели (табл. 5).

Таблица 5

t y Y•x

E=y- 1 85

1,929 36 1296 69,44

79,2

5,8 33,62 6,82

2 60 1,778 28

784 49,78 64,1

-4,1

16,72 6,81 3 99

1,996 43 1849 85,83

95,3 3,7 13,53

3,72

4 117 2,068 52

2704 107,54 121

-4 15,68 3,38 5

118 2,072

51 2601 105,67

117,8 0,2 0,04

0,17 6 125 2,097

54 2916

113,24 127,5 -2,5

6,43 2,03 7 56

1,748 25 625 43,70

59,2

-3,2 10,22 5,71

8 86 1,934 37

1369 71,56 81,3

4,7 21,85

5,44 9 115 2,061

51 2601 105,11

117,8 -2,8 7,84

2,44

10 68 1,833 29

841 53,16 65,8

2,2 4,81 3,22 сумма

929 19,516

406 17586 805,03

929 130,74 39,74

ср.знач. 92,9

1,95

40,60 1758,6 80,5028

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Составим уравнение показательной модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 97,8% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 3,97%.

Вычислим коэффициент эластичности для показательной модели:

4. Гиперболическая модель:

Обозначим: Х =

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения:

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (табл.6).

Таблица 6

t y

x y•X E=y-

1 85 36 0,028

0,00077 2,361 88,8

-3,8

14,44 4,47 2 60

28 0,036 0,00128

2,143 63,2 -3,2

10,24

5,33 3 99 43 0,023

0,00054 2,302 103,4

-4,4 19,36 4,44

4 117

52 0,019 0,00037

2,250 116,4 0,6

0,36 0,51 5 118

51 0,020

0,00038 2,314 115,2

2,8 7,84 2,37 6

125 54 0,019 0,00034

2,315

118,7 6,3 39,69

5,04 7 56 25 0,040

0,00160 2,240 49,4

6,6 43,56

11,79 8 86 37

0,027 0,00073 2,324

91,3 -5,3 28,09

6,16

9 115 51 0,020

0,00038 2,255 115,2

-0,2 0,04 0,17

10 68

29 0,034 0,00119

2,345 67,2 0,8

0,64 1,18 сумма

929 406

0,265 0,00759 22,849

929 164,26 41,47

ср.зн. 92,90

40,60

0,027 0,0008 2,285

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Составим уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 97,2% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 4,15%.

Вычислим коэффициент эластичности для показательной модели:

7. Построим графики

Рис. 2. Графики линейной функции с прогнозом и степенной функции.

Рис.3. Графики показательной и гиперболической функции.

10. Сравнение моделей.

Таблица 7

Индекс корреляции

r Коэффициент детерминации

F-критерий Фишера,

F Сред. Относит. Ошибка

Линейная

0,997 0,994 1325,33

2,11

Степенная

0,996 0,993 1134,86

2,11 Показательная

0,989

0,978 355,55 3,97

Гиперболическая

0,986 0,972 277,71

4,15

Все модели сравнительно одинаково описывают процесс, но лучшие показатели имеет линейная модель.

3

Показать полностью…
Похожие документы в приложении