Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
docx

Контрольная «Построение экономико-математической модели задачи» по Экономике (Филонова Е. С.)

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ ФИНАНСОВО - КРЕДИТНЫЙ

КАФЕДРА Экономико-математических

методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ "Экономико-математические методы

и прикладные модели"

Вариант 1

Исполнитель:

специальность Ф и К

курс

группа

№ зачетной книжки

Руководитель:

Москва 2008 год

Задача 1

1.1 Инвестор располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительство предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причём последних можно купить не более, чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям составляют 8% в год, а по акциям В - 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум, и почему?

Решение.

Сформулируем экономико-математическую модель задачи. Обозначим через х1 объём денежных средств вложенных в акции автомобильного концерна А, х2 - инвестиции в акции строительного предприятия В. Прибыль по акции автомобильного концерна А составляет 0, 08 х1, а по акциям строительного предприятия В - 0,1х2, т.е. необходимо максимизировать целевую функцию:

f () = 0,08х1 + 0,1х2max,

при ограничениях х1 + х2 300 (1)

х1 - 2х2 0 (2)

х1 - х2 100 (3)

х1 0 х2 0 (4)

Условие (1) отражает общую располагающую сумму вложений в акции, (2) и (3) - ограничения по сумме возможного приобретения акций, (4) условия неотрицательных значений.

Для решения задачи графическим методом найдём область допустимых значений задачи.

Прямые ограничения означают, что область решения будет лежать в первой четверти декартовых координат.

Определим множество решений первого неравенства х1 + х2 300.

Решением уравнения служат точки прямой х1 + х2 - 300 = 0. Построим прямую по двум точкам (0;300) и (300;0), которые получаем, подставляя в уравнение вместо одной из переменных 0 (на рис.1 обозначаем её цифрой ?). Найдём область решения неравенства, для этого подставим координаты (0:0), получаем

0 < 300,т.е. оно выполняется. Следовательно. Областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Аналогично строим области решения двух других неравенств

х1 - 2х2 0

х1 - 2х2 = 0; х1 = 0 х2 = 0 Получаем точку с координатами (0,0). Это означает, что данная точка входит в ОДР задачи.

х1 - х2 100; х1 = 0 х2 = -100

х1 =100 х2 = 0 . (на рис. прямая ??)

х1 - х2 100 при х1 = х2 = 0, 0<100 выполняется, берётся верхняя полуплоскость.

Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины четырёхугольника латинскими буквами ОАВС - ОДР задачи.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор градиент , координаты которого являются частными производными функции

f (), т.е. =( с1;с2)= (0,08;0,1). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (0,08;0,1) с началом координат. Для удобства строим вектор пропорциональный вектору , 1000=(80;100).

Построим линию уровня целевой функции перпендикулярную вектору-градиенту: приравняем целевую функцию постоянной величине а

0,08х1 + 0,1х2=а

Вычислим координаты двух точек, если а = 0, то

0,08х1 + 0,1х2=0; х1=100;х2=-80

х1=-100;х2=80

Линия уровня проходит через точку (100;-80) и (-100;80).

Для нахождения f () = 0,08х1 + 0,1х2 необходимо линию уровня смещать параллельно себе в направлении вектора-градиента . Максимум целевой

функции достигает в точке В полученной путём пересечения двух прямых.

Найдём координаты точки В, для этого достаточно решить два уравнения:

Отсюда решение f () =26 и достигается при х1=200; х2=100.

Если поставить задачу минимизировать функцию f () = 0,08х1 + 0,1х2 при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. Как это видно на рис.1, минимум целевой функции достигается в точке О(0;0), следовательно, можно записать min f ()=0 и достигается при х1=0; х2=0.

Рис.1

Задача 3

3.1 Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трёх видов, при этом каждое из трёх предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идёт на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки ( I =1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А ( норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=() (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Вариант №

Для первой строки

Для второй строки

Для третьей строки

2А ЗА 4А 1Б

2Б ЗБ 4Б 1В

2В 3В 4В 1

0,1 0,2

0,1 200 0,2 0,1

0,0 150 0,0 0,2

0,1 250 Предприятия (виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат aij

Конечный продукт Y

1 2 3 1 1А

2А ЗА 4А 2

1Б 2Б

ЗБ 4Б 3 1В

2В 3В 4В

Решение.

1. Сформируем матрицу

Сформируем модель Леонтьева

Х 1= 0,1х1 + 0,2х2 + 0,1х3 + 200

Х2 = 0,2х1 + 0,1х2 + 0х3 + 150

Х3 = 0х1 + 0,2х2 0,1х3 + 250

Приведём подобные слагаемые и поменяем знак

0,9х1 - 0,2х2 - 0,1х3 = 200

-0,2х1 + 0,9х2 = 150

-0,2х2 + 0.9х3=250

Формируем матрицу и приводим её элементы а21,а31,а32 к нулю

Далее составляем и решаем уравнения

-17,33х3 = -4812,5

х3 =277,7

3,85х2 - 0,1?277,7 = 675

х2 = 168,11

0,9х1-0,2?168,11-0,1?277,7 = 200

х1 = 290,43

Составим таблицу производства и распределения продукции предприятий холдинга:

Таблица 3.1

Потребители/производители

1 2

3 У Х 1 29,04

33,62 27,77 200

90,43 +200 2 58,09

16,81

0 150 74,9 +150

3 0 33,62 27,77

250 61,39 +250

сумма

87,13 84,05 55,54

600 826,72 2. Проверяем продуктивность исходной матрицы по формуле и если элементы положительны, то матрица продуктивна.

От матрицы ищем обратную матрицу

Находим определитель данной матрицы по правилу Сарруса

Так как ?0 матрица невырожденная и обратная матрица существует и единственная.

Транспонируем матрицу, для этого ищем алгебраические дополнения всех элементов.

и так далее

Находим обратную матрицу по формуле:

Так как все элементы матрицы положительны, следовательно, она продуктивна.

Задача 4

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) приведён в таблице:

Номер наблюдения (t=1.2.39)

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 14 21

24 33 41 44 47

49

Требуется:

1.Проверить наличие аномальных наблюдений.

2.Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчётные, смоделированные значения временного ряда).

3.Построить адаптивную модель Браунас параметром сглаживания а=0,4 и а=0,7; выбрать лучшее значения параметра сглаживания.

4.Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

5.Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6.По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели ( доверительный интервал прогноза рассчитать по доверительной вероятности р=70%).

7.Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение.

1.Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе и на соответствующую трендовую модель.

Для выявления аномальных наблюдений воспользуемся методом Ирвина:

где среднеквадратическое отклонение рассчитываем с использованием формул:

; .

Расчётные значения и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказывается больше табличных, то соответствующее значение уt уровня ряда считается аномальным. При п=9 для уровня значимость значение критерия Ирвина равно 1,5. Все расчётные значения представим в таблице:

Таблица 4.1

t ()2 1

10 -21,4

438,4 - - 2 14

-17,4 286,9 4 0,27

3 21 -10,4 98,6

7 0,48

4 24 -7,4 48,0

3 0,20 5 33 1,6

4,0 9 0,61 6 41

9,6 100,9

8 0,54 7 44 12,6

170,2 3 0,20 8

47 15,6 257,5 3

0,20

9 49 17,6 325,8

4 0,27 ? 283 -

1730,2 - - Отсюда < 1,5, что означает данный временной ряд, не содержит аномальных наблюдений.

2.Построим линейную модель . Промежуточные расчёты параметров линейной модели приведём в табл.

Таблица 4.2

t

- (-) 1 10

-4 16 -21,4 85,8

10,24 -0,24 2 14

-3 9

-17,4 52,3 15,54

-1,54 3 21 -2

4 -10,4 20,9 20,84

0,16

4 24 -1 1 -7,4

7,4 26,14 -2,14

5 33 0 0 1,6

0,0 31,44

1,56 6 41 1 1

9,6 9,6 36,74 4,26

7 44 2 4 12,6

25,1

42,04 1,96 8 47

3 9 15,6 46,7

47,34 -0,34 9 49

4 16

17,6 70,2 52,64

-3,64 ? 283 -

60 - 318,0 283,0

-

Таким образом, линейная модель имеет вид: =4,94+5,3t. Последовательно подставляя в модель вместо фактора t его значения от 1 до n, получаем расчётные значения уровней :=4,94+5,3·1=10,24

=4,94+5,3·2=15,54

Отклонения расчётных значений от фактических наблюдений находим по формуле: =- (t=1,2,.9).

3.Построим адаптивную модель Брауна . Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи метода наименьших квадратов.

Таблица 4.3

Оценка начальных значений параметров модели Брауна

t - (-) 1

10 -2 4 -10,4

20,8

2 14 -1 1 -6,4

6,4 3 21 0 0

0,6 0 4 24 1

1 3,6

3,6 5 33 2 4

12,6 25,2 ? 102

- 10 - 56

Возьмём k=1 и ?=1 -a=1-0,4=0,6.

шаг 1 при t=1

(1)= Остальные шаги отражены в таблице 4.4:

Таблица 4.4

Оценка параметров модели

t 0 -

3,6 5,6 - 1 1

10 9,7 6,1 9,2

0,8 2

14 14,7 4,9 15,8

-1,8 3 21 20,5

5,8 19,6 1,4 4

24 24,8

4,3 26,3 -2,3 5

33 31,6 6,8 29,2

3,8 6 41 40,1

8,4 38,4

2,6 7 44 45,6

5,6 48,5 -4,5 8

47 48,5 2,9 51,2

-4,2

9 49 49,9 1,4

51,4 -2,4 Таким образом, на последнем шаге получена модель:

при а=0,4 Адаптивная модель Брауна

(параметр сглаживания равен 0,4)

Возьмём k=1 и ?=1 -а=1-0,7=0,3. Расчёт представим в табл.4.5:

Таблица 4.4

Оценка параметров модели

t

0 - 3,6 5,6

- 1 1 10 9,9

6,3 9,2 0,8 2

14 14,2

4,3 16,3 -2,3 3

21 20,8 6,6 18,5

2,5 4 24 24,3

3,5 27,3

-3,3 5 33 32,5

8,2 27,8 5,2 6

41 41,0 8,4 40,8

0,2 7

44 44,5 3,5 49,4

-5,4 8 47 47,1

2,6 48,0 -1,0 9

49 49,1

2,0 49,7 -0,7

На последнем шаге получена модель: при а =0,7

Адаптивная модель Брауна

(параметр сглаживания равен 0,7.

Параметр сглаживания а=0,4 намного лучше адаптируется к изменению ряда наблюдения.

4.Оценим адекватность построенных моделей.

р > р > 2 , так как правая часть неравенства равна 2, т.е. неравенство выполняется. Можно сделать вывод, что свойство случайности ряда остатков подтверждается.

Для проверки независимости уровней ряда остатков вычисляем значение критерия Дарбина-Уотса по формуле:

Расчёт представлен в таблице ниже. Критерий d=1,16, так как и попал в интервал (0,98-1,36), то по данному критерию нельзя сделать вывод о выполнении свойства независимости. Необходимо вычислить коэффициент автокорреляции первого порядка:

= 0,26

фактическое значение больше табличного. Это означает, что в ряду динамики имеется автокорреляция, следовательно, модель по этому критерию неадекватна. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяем при помощи R/S критерия: .

Размах вариации: , а среднее квадратическое отклонение

Следовательно, R/S=3,34. Это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (2,7-3,7). Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Таблица 4.5

Анализ ряда остатков

Проверяемое свойство

Используемые статистики

Граница

Вывод

наименование

значение

нижняя верхняя

Независимость

d-критерий Дарбина-Уотсона

d=1,16 0,98 1,36

Нельзя сделать вывод по этому критерию [r(1)]>0,36

r(1) коэфициент автокорреляции

-0,4 0,36 Неадекватна

Случайность

Критерий пиков поворотных точек

4>2

2 Адекватна

Нормальность

R/Sкритерия

2,9 2,7

3,7 Адекватна

Вывод: модель статистически неадекватна

5.Оценим адекватность линейной модели . Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Сформулируем остаточную последовательность в таблице.

Таблица 4.6

t Точки пиков

()? 1 10

10,24 -0,24 - 0,06

2,40

2 14 15,54 -1,54

1 2,37 1,30 1,69

11,00 3 21 20,84

0,16

0 0,03 -1,70 2,89

0,76 4 24 26,14

-2,14 1 4,58 2,30

5,29

8,92 5 33 31,44

1,56 0 2,43 -3,70

13,69 4,73 6 41

36,74

4,26 1 18,15 -2,70

7,29 10,39 7 44

42,04 1,96 0 3,84

2,30

5,29 4,45 8 47

47,34 -0,34 0 0,12

2,30 5,29 0,72

9 49

52,64 -3,64 1 13,25

3,30 10,89 7,43

? 283 283,0 -

44,82

52,32 Проверку случайности проводим на основе критерия пиков (поворотных точек) их количество равно 4.

График остатков линейной модели

6.Осуществим прогноз спроса на следующие две недели.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Ширину доверительного интервала находим по формуле:

. .

Коэффициент является табличным значением 1 - статистикм Стьюдента. Доверительная вероятность равна 70%,=1,05

В таблице ниже сводим результаты прогнозных оценок линейной модели:

Таблица 4.7

Прогнозные оценки линейной модели

Время(n+k) U(k)

Прогноз

Формула Верхняя граница

Нижняя граница

10 U(1)=3,27 57,94

Прогноз+1U(1)

61,21 54,67 11

U(2)=3,46

63,24 Прогноз+1U(2)

66,7 59,78

7.Фактические значения показателя. Результаты моделирования и прогнозирования представляем графически.

Линейная трендовая модель

График подбора линейной модели

Преобразовательный график подбора линейной модели

Результаты моделирования и прогнозирования

Список использованной литературы

1.Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчётов в среде EXCEL/Практикум: Учебное пособие/ И. В. Орлова М.:Финстатинформ, 2000г.

2. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие/ И. В. Орлова - М.:Финстатинформ,2004г.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебное пособие/ Под ред. В.В. Федосеева - М.: ЮНИТИ,2000г.

1

Показать полностью…
Похожие документы в приложении