Всё для Учёбы — студенческий файлообменник
1 монета
doc

Курсовая «Статистические методы обработки экспериментальных данных» по Теории вероятностей и математической статистике (Джваршейшвили И. А.)

Вариант № 1

0;3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21

5 7 8 11 14 16 13

21;24 24;27 27;30 30;33

10 7 5 4

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

i – порядковый номер;

Ii – интервал разбиения;

xi – середина интервала Ii;

ni – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii);

wi = - относительная частота (n = - объём выборки);

Hi = - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала Ii).

i Ii xi ni wi Hi

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 0;3

3;6 6;9 9;12 12;15

15;18

18;21 21;24 24;27

27;30 30;33 1.5

4.5 7.5 10.5 13.5

16.5

19.5 22.5 25.5

28.5 31.5 5 7 8

11 14 16 13 10

7 5

4 0,05 0,07 0,08

0,11 0,14 0,16

0,13 0,10 0,07

0,05

0,04 0,016 0,023

0.026 0,036 0,046

0,053 0,043 0,033

0,023

0,016 0,013

Объём выборки:

n = =100,

wi = ;

контроль: =1

Длина интервала

разбиения (шаг):

h = 2 ,

Hi =

 : 100 1,00

Статистическим распределением называется соответствие между результатами наблюдений (измерений) и их частотами и относительными частотами. Интервальное распределение – это наборы троек (Ii ; ni ; wi) для всех номеров i, а точечное – наборы троек (xi ; ni ; wi). Таким образом, в таблице имеются оба – и интервальное, и точечное - статистическое распределения.

Далее, строим полигон и гистограмму относительных частот.

Полигон.

Гистограмма.

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания xi) соединяют точки (xi ; wi). Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале Ii, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте wi; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна Hi = wi/h – плотности относительной частоты. Полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения.

2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и

дисперсии.

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

- для математического ожидания

= (выборочная средняя),

- для дисперсии

s2 = (исправленная выборочная),

где n – объём выборки, ni – частота значения xi .

Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

MX  , DX  s2 .

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.

i xi ni xi ni (xi - )2 ni

1 2 3 4 5 6

7 8

9 10 11 1.5 4.5

7.5 10.5 13.5 16.5

19.5 22.5 25.5

28.5

31.5 5 7 8 11

14 16 13 10 7

5 4 7,5 31,5 60

115,5

189 264 253,5 225

178,5 142,5 126 41,64

18,66 8,88 2,68

0,42

0,02 0,98 4,31

13,08 31,60 60,60

= = = 15.93

s2 = = =

= = 1,847

 : 100 1593 182.901

3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.

При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и , где

Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:

Вариант № 1 – нормальное распределение.

4.Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров а и σ и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

MX = а ,

DX =

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX  , DX  s2 , что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

Теперь необходимо вычислить значения f(xi) плотности f (x) при (в серединах интервалов). Для этого воспользуемся следующей схемой:

значения функции

xi

1.5 4.5

7.5 10.5 13.5 16.5

19.5

22.5 25.5 28.5

31.5 -7,81 -6,18

-4,56 -2,93 -1,31

0,30

1,93 3,55 5,18

6,80 8,42 0

0 0 0,0055 0,1691

0,3814

0,0620 0.0007 0

0 0 0 0 0

0,0029 0,0914 0,2063

0,0335

0,0004 0 0 0

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi; f(x )) и соединяем их плавной кривой.

5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.

Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием 2 («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.

5.1. Группировка исходных данных.

Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через I ( - греческая буква «ню») количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что I = n.

Отметим, что критерий 2 будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n100;

2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. i 5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки zi , где z1  z2  …  zi – 1 , т.е. само разбиение имеет вид

(-   z0; z1) ,  z1; z2) ,  z2; z3) , … ,  zi – 1; zi   ).

После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - , а самой правой на +  (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

zi –1; zi - ; 3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18

i 5 7 8 11 14 26

18;21 21;24 24;27 27;30 30;33

13 10 7 5 4

5.2 Вычисление теоретических частот.

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты I определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

= n  pi ,

где n – количество испытаний, а pi   zi –1  x  zi - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1  i  1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

В данном варианте принята гипотеза о нормальном распределении случайной величины. В этом случае теоретические вероятности вычисляются по формуле:

где:

средняя;

s – исправленная выборочная дисперсия;

функция Лапласа.

Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице:

n = 100; = 15,93; s = 1,847

i Концы промежутков Аргументы функции

Ф0 Значения функции

Ф0 =npi

zi -1 zi

Ф0(ui-1) Ф0(ui)

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 

3 6

9 12 15 18 21

24 27 30 3 6 9

12 15 18 21 24

27 30

+  -7,00

-5,37 -3,75 -2,12

-0,50 1,12 2,74

4,37

5,99 7,61 -7,00

-5,37 -3,75 -2,12

-0,50 1,12 2,74

4,37

5,99 7,61 +∞

-0,5000 -0,5000

-0,5000 -0,4999

-0,4830

-0,1915 0,3686 0,4969

0,5000 0,5000 0,5000

-0,5000 -0,5000

-0,4999

-0,4830 -0,1915

0,3686 0,4969 0,5000

0,5000 0,5000 0,5000

0 0

0,0001 0,0169 0,2915

0,5601 0,1283 0,0031

0 0 0 0 0 0,01

1,69

29,15 56,01 12,83

0,31 0 0 0 : 1,0000 100,00

5.3 Статистика 2 и вычисление ее значения по опытным данным.

Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина

,

называемая статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда 2 , причем 2 = 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях 2 ; при этом значение 2 тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

Прежде чем рассказать о применении статистики 2 к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через 2набл..

i i

1 2

3 4 5 6 7 8

9 10 11 5 7

8 11 14 16 13

10 7

5 4 0 0 0,01

1,69 29,15 56,01

12,83 0,31 0 0

0 -

- 6384,01 51,28

7,87 28,58 0,002

302,89 - - - : 100 100 3,8459

2набл. = 6774,64

5.4. Распределение статистики 2.

Случайная величина имеет 2 – распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид

где cr – которая положительная постоянная ( cr определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение 2 с r степенями свободы, будет обозначаться .

Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины в любой промежуток.

Вернемся теперь к статистике . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности pi и теоретические частоты = n  pi )

Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при распределение статистики стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 11, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это а и  для нормального распределения.

Следовательно

5.5. Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.

Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика принимает только не отрицательные значения (всегда 2 ), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при для каждого i).

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .

Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством .

Область принятия Критическая область

гипотезы

0 Как же найти критическое значение ?

Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие { } должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :

называется уровнем значимости.

Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем как уровень уравнения

с неизвестной x. Поскольку распределение статистики близко при к - распределению с r степенями свободы, то

и приближенное значение можно найти из уравнения

Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x , при котором площадь под графиком функции (плотности - распределения) над участком равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и r,что при необходимости отражают и в обозначениях: ).

Зададим уровень значимости как = 0,05 (условие курсовой работы) .

Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:

1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n  100).

2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков

так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической

частотой ) оказалось не менее пяти (т.е.  5 при каждом i).

3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).

4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности pi и теоретические частоты = n  pi попадания значений случайной величины в i-й промежуток.

5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики , обозначаемое через 2набл..

6) Определяют число r степеней свободы.

7) Используя заданное значение уровня значимости и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .

8) Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез:

если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, т.е. , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.

5.6. Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте.

Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице:

Название величины Обозначение и числовое значение величины

Уровень значимости (задан в условии) = 0,05

Количество промежутков разбиения l =11

Число степеней свободы r=8

Критическое значение (находится по таблице) = 15,51

Наблюдаемое значение критерия 2набл. = 6774,64

ВЫВОД Гипотеза не принимается для данного 1 варианта, поскольку : 6774,64>> 15,51

Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости = 0,05 означает, что

,

т.е. вероятность события { } очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.

2. Иногда вместо уровня значимости задается надежность :

т.е. - это вероятность попадания значений статистики в область принятия гипотезы. Поскольку события

{ } и

противоположны, то

Показать полностью…
Похожие документы в приложении